Формализм стабилизатора, поддерживающего запутывание

В теории квантовой коммуникации формализм стабилизатора с помощью запутывания представляет собой метод защиты квантовой информации с помощью запутывания, разделяемого отправителем и получателем до того, как они передадут квантовые данные по квантовому каналу связи. Он расширяет стандартный формализм стабилизатора , включая разделяемое запутывание (Brun et al. 2006). Преимущество кодов стабилизатора с помощью запутывания состоит в том, что отправитель может использовать свойства исправления ошибок произвольного набора операторов Паули . Операторы Паули отправителя не обязательно должны образовывать абелеву подгруппу группы Паули над кубитами . Отправитель может разумно использовать свои общие биты , так что глобальный стабилизатор будет абелевым и, таким образом, образует допустимый квантовый код исправления ошибок .${\displaystyle \Пи^{n}}$${\displaystyle n}$

Мы рассматриваем конструкцию кода с использованием запутывания (Brun et al. 2006). Предположим, что имеется неабелева подгруппа размера . Применение фундаментальной теоремы симплектической геометрии (лемма 1 в первой внешней ссылке) утверждает, что существует минимальный набор независимых генераторов для со следующими коммутационными соотношениями:${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \Pi ^{n}}$${\displaystyle nk=2c+s}$${\displaystyle \left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots,{\bar {Z}}_{s+c},{\bar {X}}_{s+1},\ldots,{\bar {X}}_{s+c}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \left[{\bar {Z}}_{i},{\bar {Z}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \ \ для всех i,j,}$

${\displaystyle \left[{\bar {X}}_{i},{\bar {X}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \ \ для всех i,j,}$

${\displaystyle \left[{\bar {X}}_{i},{\bar {Z}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \ \для всех i\neq j,}$

${\displaystyle \left\{{\bar {X}}_{i},{\bar {Z}}_{i}\right\}=0\ \ \ \ \ \ для всех i.}$

Разложение в указанный выше минимальный набор генераторов определяет, что код требует вспомогательных кубитов и эбитов . Код требует эбит для каждой антикоммутирующей пары в минимальном наборе генераторов. Простая причина этого требования заключается в том, что эбит является одновременным собственным состоянием операторов Паули . Второй кубит в эбите преобразует антикоммутирующую пару в коммутирующую пару . Вышеуказанное разложение также минимизирует количество эбитов, требуемых для кода, — это оптимальное разложение.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle с}$${\displaystyle с}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \left\{XX,ZZ\right\}}$${\displaystyle \left\{X,Z\right\}}$${\displaystyle \left\{XX,ZZ\right\}}$

Мы можем разбить неабелеву группу на две подгруппы : изотропную подгруппу и подгруппу запутанности . Изотропная подгруппа является коммутирующей подгруппой и, таким образом, соответствует вспомогательным кубитам:${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}=\left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s}\right\}}$.

Элементы подгруппы запутанности входят в антикоммутирующие пары и, таким образом, соответствуют битам :${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}=\left\{{\bar {Z}}_{s+1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c},{\bar {X}}_{s+1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}\right\}}$.

Две подгруппы и играют роль в условиях исправления ошибок для формализма стабилизатора с помощью запутывания. Код с помощью запутывания исправляет ошибки в наборе, если для всех ,${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}}$${\displaystyle E_{1},E_{2}\in {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\in {\mathcal {S}}_{I}\cup \left(\Pi ^{n}-{\mathcal {Z}}\left(\left\langle {\mathcal {S}}_{I},{\mathcal {S}}_{E}\right\rangle \right)\right).}$

Работа кода с использованием запутанности выглядит следующим образом. Отправитель выполняет унитарное кодирование своих незащищенных кубитов, вспомогательных кубитов и своей половины эбитов . Незакодированное состояние является одновременным +1- собственным состоянием следующих операторов Паули :

${\displaystyle \left\{Z_{1},\ldots ,Z_{s},Z_{s+1}|Z_{1},\ldots ,Z_{s+c}|Z_{c},X_{s+1}|X_{1},\ldots ,X_{s+c}|X_{c}\right\}.}$

Операторы Паули справа от вертикальных полос указывают половину общих битов получателя . Унитарное кодирование преобразует некодированные операторы Паули в следующие кодированные операторы Паули :

${\displaystyle \left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots,{\bar {Z}}_{s},{\bar {Z}}_{s+1}|Z_{1},\ldots,{\bar {Z}}_{s+c}|Z_{c},{\bar {X}}_{s+1}|X_{1},\ldots,{\bar {X}}_{s+c}|X_{c}\right\}.}$

Отправитель передает все свои кубиты по шумному квантовому каналу . Получатель затем владеет переданными кубитами и своей половиной эбитов . Он измеряет закодированные выше операторы для диагностики ошибки. Последний шаг — исправить ошибку.

Мы можем интерпретировать скорость кода с помощью запутывания тремя различными способами (Wilde и Brun 2007b). Предположим, что квантовый код с помощью запутывания кодирует информационные кубиты в физические кубиты с помощью эбитов.${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c}$

• Скорость с использованием запутанности предполагает, что запутанность, разделяемая отправителем и получателем, свободна. Беннетт и др. делают это предположение при выводе емкости квантового канала с использованием запутанности для отправки квантовой информации. Скорость с использованием запутанности предназначена для кода с указанными выше параметрами.${\displaystyle k/n}$
• Коэффициент компромисса предполагает, что запутанность не является бесплатной, а пара коэффициентов определяет производительность. Первое число в паре — это количество бесшумных кубитов, сгенерированных за одно использование канала, а второе число в паре — это количество эбитов, потребленных за одно использование канала. Пара коэффициентов относится к коду с указанными выше параметрами. Теоретики квантовой информации вычислили асимптотические кривые компромисса, которые ограничивают область коэффициентов, в которой лежат достижимые пары коэффициентов. Конструкция для квантового блочного кода с использованием запутанности минимизирует количество эбитов при заданном фиксированном числе и соответствующих информационных кубитов и физических кубитов.${\displaystyle \left(k/n,c/n\right)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$
• Каталитическая скорость предполагает, что биты запутанности создаются за счет переданных кубитов. Бесшумный квантовый канал или кодированное использование шумного квантового канала — это два разных способа создания запутанности между отправителем и получателем. Каталитическая скорость кода составляет .${\displaystyle \left[n,k;c\right]}$${\displaystyle \left(k-c\right)/n}$

Какая интерпретация наиболее разумна, зависит от контекста, в котором мы используем код. В любом случае параметры , , и в конечном итоге управляют производительностью, независимо от того, какое определение скорости мы используем для интерпретации этой производительности.${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c}$

Мы представляем пример кода с использованием запутанности, который исправляет произвольную ошибку одного кубита (Брун и др. 2006). Предположим, что отправитель хочет использовать свойства квантовой коррекции ошибок следующей неабелевой подгруппы :${\displaystyle \Pi ^{4}}$

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}Z&X&Z&I\\Z&Z&I&Z\\X&Y&X&I\\X&X&I&X\end{array}}}$

Первые два генератора антикоммутируют. Мы получаем модифицированный третий генератор, умножая третий генератор на второй. Затем мы умножаем последний генератор на первый, второй и модифицированный третий генераторы. Свойства исправления ошибок генераторов инвариантны относительно этих операций. Модифицированные генераторы следующие:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}g_{1}&=&Z&X&Z&I\\g_{2}&=&Z&Z&I&Z\\g_{3}&=&Y&X&X&Z\\g_{4}&=&Z&Y&Y&X\end{array}}}$

Вышеуказанный набор генераторов имеет коммутационные соотношения, заданные фундаментальной теоремой симплектической геометрии:

${\displaystyle \left\{g_{1},g_{2}\right\}=\left[g_{1},g_{3}\right]=\left[g_{1},g_{4}\right]=\left[g_{2},g_{3}\right]=\left[g_{2},g_{4}\right]=\left[g_{3},g_{4}\right]=0.}$

Вышеуказанный набор генераторов унитарно эквивалентен следующим каноническим генераторам:

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}X&I&I&I\\Z&I&I&I\\I&Z&I&I\\I&I&Z&I\end{array}}}$

Мы можем добавить один бит, чтобы разрешить антикоммутативность первых двух генераторов и получить канонический стабилизатор:

${\displaystyle {\begin{array}{c}X\\Z\\I\\I\end{array}}\left\vert {\begin{array}{cccc}X&I&I&I\\Z&I&I&I\\I&Z&I&I\\I&I&Z&I\end{array}}\right.}$

Получатель Боб владеет кубитом слева, а отправитель Алиса владеет четырьмя кубитами справа. Следующее состояние является собственным состоянием вышеуказанного стабилизатора

${\displaystyle \left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{BA}\left\vert 00\right\rangle ^{A}\left\vert \psi \right\rangle ^{A}.}$

где — кубит, который отправитель хочет закодировать. Затем унитарное кодирование поворачивает канонический стабилизатор к следующему набору глобально коммутирующих генераторов:${\displaystyle \left\vert \psi \right\rangle ^{A}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}X\\Z\\I\\I\end{array}}\left\vert {\begin{array}{cccc}Z&X&Z&I\\Z&Z&I&Z\\Y&X&X&Z\\Z&Y&Y&X\end{array}}\right.}$

Приемник измеряет вышеуказанные генераторы после получения всех кубитов для обнаружения и исправления ошибок.

Продолжаем предыдущий пример. Мы подробно описываем алгоритм определения схемы кодирования и оптимального числа битов для кода с использованием запутывания — этот алгоритм впервые появился в приложении к (Wilde and Brun 2007a), а затем в приложении к (Shaw et al. 2008). Операторы в приведенном выше примере имеют следующее представление в виде двоичной матрицы (см. статью о коде стабилизатора ):

${\displaystyle H=\left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\1&1&0&1\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right].}$

Назовем матрицу слева от вертикальной черты « матрицей», а матрицу справа от вертикальной черты — « матрицей».${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

Алгоритм состоит из операций со строками и столбцами в указанной выше матрице. Операции со строками не влияют на свойства исправления ошибок кода, но имеют решающее значение для достижения оптимального разложения из фундаментальной теоремы симплектической геометрии. Операции, доступные для манипулирования столбцами указанной выше матрицы, — это операции Клиффорда. Операции Клиффорда сохраняют группу Паули при сопряжении. Вентиль CNOT, вентиль Адамара и фазовый вентиль генерируют группу Клиффорда. Вентиль CNOT от кубита к кубиту добавляет столбец к столбцу в матрице и добавляет столбец к столбцу в матрице. Вентиль Адамара на кубите меняет местами столбец в матрице со столбцом в матрице и наоборот. Фазовый вентиль на кубите добавляет столбец в матрице к столбцу в матрице. Три вентиля CNOT реализуют операцию обмена кубитов. Эффект обмена на кубитах и ​​заключается в том, чтобы поменять местами столбцы и в матрицах и .${\displaystyle \Pi ^{n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$

Алгоритм начинается с вычисления симплектического произведения между первой строкой и всеми остальными строками. Подчеркнем, что симплектическое произведение здесь является стандартным симплектическим произведением. Оставьте матрицу как есть, если первая строка не симплектически ортогональна второй строке или если первая строка симплектически ортогональна всем остальным строкам. В противном случае поменяйте местами вторую строку с первой доступной строкой, которая не симплектически ортогональна первой строке. В нашем примере первая строка не симплектически ортогональна второй, поэтому мы оставляем все строки как есть.

Расположите первую строку так, чтобы верхний левый элемент в матрице был единицей. CNOT, swap, Adamard или комбинации этих операций могут достичь этого результата. Мы можем получить этот результат в нашем примере, поменяв местами кубиты один и два. Матрица становится${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&1&1&0\\1&1&0&1\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right].}$

Выполните CNOT, чтобы очистить записи в матрице в верхней строке справа от самой левой записи. Эти записи уже равны нулю в этом примере, поэтому нам не нужно ничего делать. Перейдите к очистке записей в первой строке матрицы . Выполните фазовый вентиль, чтобы очистить самую левую запись в первой строке матрицы, если она равна единице. В этом случае она равна нулю, поэтому нам не нужно ничего делать. Затем мы используем Адамара и CNOT, чтобы очистить другие записи в первой строке матрицы .${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

Выполняем вышеуказанные операции для нашего примера. Выполняем Адамара на кубитах два и три. Матрица становится

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\\0&1&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&1&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&1\end{array}}\right].}$

Выполнить CNOT от кубита один к кубиту два и от кубита один к кубиту три. Матрица становится

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{array}}\right].}$

Первая строка завершена. Теперь приступаем к очистке записей во второй строке. Выполняем Адамара на кубитах один и четыре. Матрица становится

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&1&0&1\\1&1&1&0\\1&1&1&0\end{array}}\right].}$

Выполнить CNOT от кубита один к кубиту два и от кубита один к кубиту четыре. Матрица становится

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&1&1\\1&0&1&1\end{array}}\right].}$

Первые две строки теперь завершены. Им нужен один бит, чтобы компенсировать их антикоммутативность или их неортогональность относительно симплектического произведения.

Теперь мы выполняем «ортогонализацию Грама-Шмидта» относительно симплектического произведения. Добавляем строку один к любой другой строке, которая имеет единицу в качестве самого левого элемента в своей матрице. Добавляем строку два к любой другой строке, которая имеет единицу в качестве самого левого элемента в своей матрице. Для нашего примера мы добавляем строку один к строке четыре и добавляем строку два к строкам три и четыре. Матрица становится${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{array}}\right].}$

Первые две строки теперь симплектически ортогональны всем остальным строкам согласно фундаментальной теореме симплектической геометрии. Мы продолжаем с тем же алгоритмом для следующих двух строк. Следующие две строки симплектически ортогональны друг другу, поэтому мы можем работать с ними по отдельности. Выполняем Адамара на кубите два. Матрица становится

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&1\\0&1&1&1\end{array}}\right].}$

Выполнить CNOT от кубита два до кубита три и от кубита два до кубита четыре. Матрица становится

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right].}$

Выполнить фазовый вентиль на кубите два:

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right].}$

Выполнить операцию Адамара на кубите три, а затем CNOT от кубита два к кубиту три:

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

Добавьте строку три к строке четыре и выполните операцию Адамара над кубитом два:

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right].}$

Выполнить Адамара на кубите четыре, затем CNOT от кубита три до кубита четыре. Закончить выполнением Адамара на кубите три:

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right].}$

Вышеуказанная матрица теперь соответствует каноническим операторам Паули. Добавление половины бита к стороне приемника дает канонический стабилизатор, одновременное +1-собственное состояние которого является вышеуказанным состоянием. Вышеуказанные операции в обратном порядке переводят канонический стабилизатор в закодированный стабилизатор.

• Brun, T. ; Devetak, I.; Hsieh, M.-H. (2006-10-20). «Исправление квантовых ошибок с помощью запутывания». Science . 314 (5798). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): 436– 439. arXiv : quant-ph/0610092 . Bibcode :2006Sci...314..436B. doi :10.1126/science.1131563. ISSN  0036-8075. PMID  17008489. S2CID  18106089.
• Мин-Сю Сье. Теория кодирования с помощью запутывания. Кандидатская диссертация, Университет Южной Калифорнии, август 2008 г. Доступно по адресу https://arxiv.org/abs/0807.2080
• Марк М. Уайлд. Квантовое кодирование с запутанностью. Кандидатская диссертация, Университет Южной Калифорнии, август 2008 г. Доступно по адресу https://arxiv.org/abs/0806.4214
• Hsieh, Min-Hsiu; Devetak, Igor; Brun, Todd (2007-12-19). "Коды с исправлением квантовых ошибок с помощью общей запутанности". Physical Review A. 76 ( 6): 062313. arXiv : 0708.2142 . Bibcode : 2007PhRvA..76f2313H. doi : 10.1103/physreva.76.062313. ISSN  1050-2947. S2CID  119155178.
• Кремский, Айзек; Хси, Мин-Хсиу; Брун, Тодд А. (2008-07-21). "Классическое улучшение квантово-ошибочно-коррекционных кодов". Physical Review A . 78 (1): 012341. arXiv : 0802.2414 . Bibcode :2008PhRvA..78a2341K. doi :10.1103/physreva.78.012341. ISSN  1050-2947. S2CID  119252610.
• Wilde, Mark M.; Brun, Todd A. (2008-06-19). "Оптимальные формулы запутывания для квантового кодирования с использованием запутывания". Physical Review A. 77 ( 6): 064302. arXiv : 0804.1404 . Bibcode : 2008PhRvA..77f4302W. doi : 10.1103/physreva.77.064302. ISSN  1050-2947. S2CID  118411793.
• Wilde, Mark M.; Krovi, Hari; Brun, Todd A. (2010). «Convolutional entanglement distillation» (перегонка сверточной запутанности). Международный симпозиум IEEE по теории информации 2010 г. IEEE. стр.  2657–2661 . arXiv : 0708.3699 . doi :10.1109/isit.2010.5513666. ISBN 978-1-4244-7892-7.
• Wilde, Mark M.; Brun, Todd A. (2010-04-30). "Квантовое свёрточное кодирование с использованием запутанности". Physical Review A. 81 ( 4): 042333. arXiv : 0712.2223 . Bibcode : 2010PhRvA..81d2333W. doi : 10.1103/physreva.81.042333. ISSN  1050-2947. S2CID  8410654.
• Wilde, Mark M.; Brun, Todd A. (2010-06-08). «Квантовое свёрточное кодирование с разделяемой запутанностью: общая структура». Quantum Information Processing . 9 (5). Springer Science and Business Media LLC: 509– 540. arXiv : 0807.3803 . doi : 10.1007/s11128-010-0179-9. ISSN  1570-0755. S2CID  18185704.
• Шоу, Билал; Уайлд, Марк М.; Орешков, Огнян; Кремский, Айзек; Лидар, Дэниел А. (18.07.2008). «Кодирование одного логического кубита в шесть физических кубитов». Physical Review A. 78 ( 1): 012337. arXiv : 0803.1495 . Bibcode : 2008PhRvA..78a2337S. doi : 10.1103/physreva.78.012337. ISSN  1050-2947. S2CID  40040752.