Теорема Дольда–Тома

В алгебраической топологии теорема Дольда-Тома утверждает, что гомотопические группы бесконечного симметричного произведения связного комплекса CW совпадают с его редуцированными группами гомологий. Наиболее распространенная версия ее доказательства состоит в демонстрации того, что композиция функторов гомотопической группы с бесконечным симметричным произведением определяет редуцированную теорию гомологии. Одним из основных инструментов, используемых при этом, являются квазирасслоения . Теорема была обобщена различными способами, например, теоремой Альмгрена об изоморфизме .

Существует несколько других теорем, устанавливающих отношения между гомотопией и гомологией, например, теорема Гуревича . Другой подход дается стабильной гомотопической теорией . Благодаря теореме Фрейденталя о подвеске можно увидеть, что последняя фактически определяет гомологическую теорию. Тем не менее, ни одна из них не позволяет напрямую свести гомологию к гомотопии. Это преимущество теоремы Дольда-Тома делает ее особенно интересной для алгебраической геометрии .

Теорема Дольда-Тома. Для связного CW-комплекса X имеем π _n SP( X ) ≅ H̃ _n ( X ), где H̃ _n обозначает редуцированную гомологию, а SP обозначает бесконечное симметричное произведение.

Также очень полезно, что существует изоморфизм φ : π _n SP( X ) → H̃ _n ( X ), который совместим с гомоморфизмом Гуревича h : π _n ( X ) → H̃ _n ( X ), что означает, что имеется коммутативная диаграмма

где i _* — отображение, индуцированное включением i : X = SP ¹ ( X ) → SP( X ).

Следующий пример иллюстрирует, что требование, чтобы X был комплексом CW, нельзя отбросить с ходу: Пусть X = CH ∨ CH будет клиновой суммой двух копий конуса над гавайской серьгой . Предполагается, что общая точка двух копий — это точка 0 ∈ H , пересекающая каждую окружность. С одной стороны, H ₁ ( X ) — бесконечная группа ^[1], тогда как H ₁ ( CH ) тривиальна. С другой стороны, π ₁ (SP( X )) ≅ π ₁ (SP( C H )) × π ₁ (SP( C H )) справедливо, поскольку φ : SP( X ) × SP( Y ) → SP( X ∨ Y ), определяемое соотношением φ([ x ₁ , ..., x _n ], [ y ₁ , ..., y _n ]) = ([ x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n ]), является гомеоморфизмом для компактных X и Y .

Но это означает, что либо π ₁ (SP( C H )) ≅ H ₁ ( C H ), либо π ₁ (SP( X )) ≅ H ₁ ( X ) не выполняется.

Требуется показать, что семейство функторов h _n = π _n ∘ SP определяет теорию гомологии . Дольд и Том выбрали в своем первоначальном доказательстве небольшую модификацию аксиом Эйленберга-Стинрода , а именно, назвав семейство функторов ( h̃ _n ) _{n ∈ N 0} из категории базисных, связных CW-комплексов в категорию абелевых групп редуцированной теорией гомологии, если они удовлетворяют

1. Если f ≃ g : X → Y , то f _* = g _* : h̃ _n ( X ) → h̃ _n ( Y ), где ≃ обозначает точечную гомотопическую эквивалентность .
2. Существуют естественные граничные гомоморфизмы ∂ : h̃ _n ( X / A ) → h̃ _{n −1} ( A ) для каждой пары ( X , A ) с X и A связанными, что дает точную последовательность
   ${\displaystyle \qquad \dots \xrightarrow {\partial } {\tilde {h}}_{n}(A)\xrightarrow {i_{*}} {\tilde {h}}_{n}(X)\xrightarrow {q_{*}} {\tilde {h}}_{n}(X/A)\xrightarrow {\partial } {\tilde {h}}_{n-1}(A)\xrightarrow {i_{*}} \dots }$
   где i : A → X — включение, а q : X → X / A — фактор-отображение.
3. h̃ _n ( S ¹ ) = 0 для n ≠ 1, где S ¹ обозначает окружность.
4. Пусть ( X _λ ) — система компактных подпространств пунктированного пространства X, содержащего базисную точку. Тогда ( X _λ ) — прямая система вместе с включениями. Обозначим через соответственно включение, если X _λ ⊂ X _μ . h̃ _n ( X _λ ) — также прямая система с морфизмами . Тогда гомоморфизм${\displaystyle i_{\lambda }\colon X_{\lambda }\to X}$${\displaystyle i_{\lambda }^{\mu }\двоеточие X_{\lambda }\to X_{\mu }}$${\displaystyle {i_{\lambda }^{\mu }}_{*}}$
   ${\ displaystyle \ qquad i_ {*} \ двоеточие \ varinjlim {\ tilde {h}} _ {n} (X_ {\lambda }) \ to {\ tilde {h}} _ {n} (X),}$
   индуцированный должен быть изоморфизмом.${\displaystyle i_{\лямбда *}}$

Можно показать, что для редуцированной теории гомологии ( h̃ _n ) _{n ∈ N 0} существует естественный изоморфизм h̃ _n ( X ) ≅ H̃ _n ( X ; G ) с G = h̃ ₁ ( S ¹ ). ^[2]

Очевидно, что h _n — функтор, удовлетворяющий свойству 1, поскольку SP — гомотопический функтор. Более того, третье свойство очевидно, поскольку SP( S ¹ ) ≃ S ¹ . Так что остается только проверить аксиомы 2 и 4. Суть этого начинания будет в первом пункте. Здесь в игру вступают квазирасслоения :

Цель состоит в том, чтобы доказать, что отображение p _* : SP( X ) → SP( X / A ), индуцированное фактор-отображением p : X → X / A , является квазирасслоением для пары CW ( X , A ), состоящей из связных комплексов. Прежде всего, поскольку каждый комплекс CW гомотопически эквивалентен симплициальному комплексу, ^[3] X и A можно считать симплициальными комплексами . Кроме того, X будет заменен цилиндром отображения включения A → X . Это ничего не изменит, поскольку SP является гомотопическим функтором. Достаточно доказать по индукции, что p _*  : En → B _n является квазирасслоением с B _n = SP ⁿ ( X / A ) и E _n = p _* ⁻¹ ( _{B n} ). Для n = 0 это выполняется тривиально. На шаге индукции B _n разлагается на открытую окрестность B _{n −1} и B _n − B _{n −1} и показывается, что эти два множества вместе со своим пересечением различаются, т. е. что p, ограниченное каждым из прообразов этих трех множеств, является квазирасслоением. Можно показать, что тогда B _n уже само различается. Следовательно, p _* действительно является квазирасслоением на всем SP( X ), и длинная точная последовательность такого множества подразумевает, что аксиома 2 выполняется, поскольку выполняется p _* ⁻¹ ([e]) ≅ SP( A ).

Можно задаться вопросом, не является ли p _* даже расслоением. Однако это оказывается не так: возьмем произвольный путь x _t для t ∈ [0, 1) в X − A, приближающийся к некоторой точке a ∈ A , и интерпретируем его как путь в X / A ⊂ SP( X / A ). Тогда любой подъем этого пути в SP( X ) имеет вид x _t α _t с α _t ∈ A для каждого t . Но это означает, что его конечная точка a α ₁ кратна a , следовательно, отличается от базовой точки, поэтому свойство подъема гомотопии не выполняется.

Проверка четвертой аксиомы, в отличие от предыдущей, осуществляется достаточно элементарно.

Следует иметь в виду, что существует множество различных доказательств, хотя это, по-видимому, самое популярное. Например, доказательства были установлены с помощью факторизационной гомологии или симплициальных множеств . Можно также доказать теорему, используя другие понятия теории гомологии (например, аксиомы Эйленберга-Стинрода).

Для проверки совместимости с гомоморфизмом Гуревича достаточно показать, что утверждение справедливо для X = S ⁿ . Это потому, что тогда получается призма

для каждого элемента [ f ] ∈ π _n ( X ), представленного отображением f : S ⁿ → X . Все стороны, за исключением, возможно, нижней, коммутируют в этой диаграмме. Следовательно, видно, что вся диаграмма коммутирует при рассмотрении, где 1 ∈ π _n ( S ⁿ ) ≅ Z отображается в. Однако, используя изоморфизмы подвески для гомотопических и соответственно гомологических групп, задача сводится к демонстрации утверждения для S ¹ . Но в этом случае включение SP ¹ ( S ¹ ) → SP( S ¹ ) является гомотопической эквивалентностью.

Одним из прямых следствий теоремы Дольда-Тома является новый способ вывода последовательности Майера-Виеториса . Результат получается путем формирования гомотопического квадрата выталкивания включений пересечения A ∩ B двух подпространств A , B ⊂ X в сами A и B. Затем к этому квадрату применяется SP и, наконец, π _* к полученному квадрату выталкивания. ^[4]

Другое приложение — это новое доказательство теоремы, впервые сформулированной Муром. Оно в основном предицирует следующее:

Теорема. Линейно связное, коммутативное и ассоциативное H-пространство X со строго единичным элементом имеет слабый гомотопический тип обобщенного пространства Эйленберга-Маклейна .

Обратите внимание, что SP( Y ) обладает этим свойством для каждого связного CW-комплекса Y и, следовательно, имеет слабый гомотопический тип обобщенного пространства Эйленберга-Маклейна. Теорема сводится к утверждению, что все k -инварианты линейно-связного, коммутативного и ассоциативного H-пространства со строгой единицей обращаются в нуль.

Пусть G _n = π _n ( X ). Тогда существуют отображения M ( G _n , n ) → X, индуцирующие изоморфизм на π _{n ,} если n ≥ 2, и изоморфизм на H _{1 ,} если n = 1 для пространства Мура M ( G _n , n ). ^[5] Они дают отображение

${\displaystyle \bigvee _{n}M(G_{n},n)\to X}$

если взять карты, сохраняющие базовую точку. Тогда специальная структура H-пространства X дает карту

${\displaystyle f\colon \operatorname {SP} \left(\bigvee _{n}M(G_{n},n)\right)\to X}$

дается суммированием образов координат. Но поскольку существуют естественные гомеоморфизмы

${\displaystyle \operatorname {SP} \left(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha }\right)\cong \prod _{\alpha }\operatorname {SP} (X_{\alpha }),}$

где Π обозначает слабое произведение, f индуцирует изоморфизмы на π _n для n ≥ 2. Но поскольку π ₁ ( X ) → π ₁ SP( X ) = H ₁ ( X ), индуцированное включением X → SP( X ), является гомоморфизмом Гуревича, и поскольку H-пространства имеют абелевы фундаментальные группы, f также индуцирует изоморфизмы на π ₁ . Благодаря теореме Дольда-Тома каждое SP( M ( G _n , n )) теперь является пространством Эйленберга-Маклейна K ( G _n , n ). Это также подразумевает, что естественное включение слабого произведения Π _n SP( M ( G _n , n )) в декартово произведение является слабой гомотопической эквивалентностью. Следовательно, X имеет слабый гомотопический тип обобщенного пространства Эйленберга-Маклейна.

Что отличает теорему Дольда-Тома от других альтернативных оснований гомологии, таких как когомологии Чеха или Александра-Спанье, так это то, что она представляет особый интерес для алгебраической геометрии, поскольку позволяет переформулировать гомологию только с использованием гомотопии. Поскольку применение методов алгебраической топологии может быть весьма проницательным в этой области, пытаются перенести их в алгебраическую геометрию. Этого можно достичь для теории гомотопии, но для теории гомологии только довольно ограниченным образом, используя формулировку через пучки . Таким образом, теорема Дольда-Тома дает основание гомологии, имеющее алгебраический аналог. ^[6]

• Агилар, Марсело; Гитлер, Самуэль; Прието, Карлос (2008). Алгебраическая топология с гомотопической точки зрения . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22489-3.
• Бандклайдер, Лорен (2019), «Теорема Дольда-Тома через гомологию факторизации», Журнал гомотопии и связанных источников , 14 (2): 579–593 , doi : 10.1007/s40062-018-0219-1 , S2CID  256333418
• Дольд, Альбрехт; Том, Рене (1958), «Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte», Annals of Mathematics , Second Series, 67 (2): 239–281 , doi : 10.2307/1970005, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970005, MR  0097062
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79540-1.
• Мэй, Дж. Питер (1990), «Слабые эквивалентности и квазирасслоения», Группы самоэквивалентностей и смежные темы , Конспект лекций по математике, т. 1425, стр.  91–101 , doi :10.1007/BFb0083834, ISBN 978-3-540-52658-2
• Piccinini, Renzo A. (1992). Лекции по теории гомотопии . Elsevier. ISBN 9780080872827.
• Спаниер, Эдвин (1959), «Бесконечные симметричные произведения, функциональные пространства и двойственность», Annals of Mathematics , 69 (1): 142– 198, doi :10.2307/1970099, JSTOR  1970099

• Почему теорема Дольда-Тома? на MathOverflow
• Теорема Дольда-Тома для бесконечных категорий? на MathOverflow
• Структура группы в пространствах Эйленберга-Маклейна на StackExchange