Картографический цилиндр

В математике , в частности в алгебраической топологии , цилиндр отображения [1] непрерывной функции между топологическими пространствами и является отношением ф {\displaystyle f} Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y}

М ф = ( ( [ 0 , 1 ] × Х ) ⨿ И ) / ∼ {\displaystyle M_{f}=(([0,1]\times X)\amalg Y)\,/\,\sim }

где обозначает непересекающееся объединение , а ~ — отношение эквивалентности , порожденное ⨿ {\displaystyle \amalg}

( 0 , х ) ∼ ф ( х ) для каждого  х ∈ Х . {\displaystyle (0,x)\sim f(x)\quad {\text{для каждого }}x\in X.}

То есть, цилиндр отображения получается путем склеивания одного конца с с помощью отображения . Обратите внимание , что «верх» цилиндра гомеоморфен , а «низ» — это пространство . Обычно пишут для , и используют обозначение или для построения цилиндра отображения. То есть, пишут М ф {\displaystyle М_{ж}} Х × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} И {\displaystyle Y} ф {\displaystyle f} { 1 } × Х {\displaystyle \{1\}\times X} Х {\displaystyle X} ф ( Х ) ⊂ И {\displaystyle f(X)\subset Y} М ф {\displaystyle Мф} М ф {\displaystyle М_{ж}} ⊔ ф {\displaystyle \sqcup _{f}} ∪ ф {\displaystyle \чашка _{f}}

М ф = ( [ 0 , 1 ] × Х ) ∪ ф И {\displaystyle Mf=([0,1]\times X)\cup _{f}Y}

с индексированным символом чашки, обозначающим эквивалентность. Цилиндр отображения обычно используется для построения конуса отображения , полученного путем сжатия одного конца цилиндра в точку. Цилиндры отображения являются центральными для определения кофибраций . С ф {\displaystyle Сф}

Основные свойства

Нижний Y — это деформационный ретракт . Проекция разделяется (через ), а деформационный ретракт определяется как: М ф {\displaystyle М_{ж}} М ф → И {\displaystyle M_{f}\to Y} И ∋ у ↦ у ∈ И ⊂ М ф {\displaystyle Y\ni y\mapsto y\in Y\subset M_ {f}} Р {\displaystyle R}

Р : М ф × я → М ф {\displaystyle R:M_{f}\times I\rightarrow M_{f}}
( [ т , х ] , с ) ↦ [ с ⋅ т , х ] , ( у , с ) ↦ у {\displaystyle ([t,x],s)\mapsto [s\cdot t,x],(y,s)\mapsto y}

(где точки остаются фиксированными, поскольку для всех ). И {\displaystyle Y} [ 0 , х ] = [ с ⋅ 0 , х ] {\displaystyle [0,x]=[s\cdot 0,x]} с {\displaystyle с}

Отображение является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда «вершина» является сильным деформационным ретрактом . [2] Можно вывести явную формулу для сильного деформационного ретракта. [3] ф : Х → И {\displaystyle f:X\to Y} { 1 } × Х {\displaystyle \{1\}\times X} М ф {\displaystyle М_{ж}}

Примеры

Картографический цилиндр пучка волокон

Для пучка волокон с волокном цилиндр отображения π : П → Х {\displaystyle \pi :P\to X} Ф {\displaystyle F}

М π = ( ( [ 0 , 1 ] × П ) ∐ Х ) / ∼ {\displaystyle M_{\pi }=(([0,1]\times P)\coprod X)/\sim }

имеет отношение эквивалентности

( 0 , п х ) ∼ ( 0 , д х ) {\displaystyle (0,p_{x})\sim (0,q_{x})}

для . Тогда существует каноническое отображение, отправляющее точку в точку , давая расслоение волокон п х , д х ∈ Ф х {\displaystyle p_{x},q_{x}\in F_{x}} [ я , п х , х ] ∈ М π {\displaystyle [i,p_{x},x]\in M_{\pi }} х ∈ Х {\displaystyle x\in X}

п : М π → Х {\displaystyle p:M_{\pi }\to X}

чье волокно — это конус . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что волокно над точкой — это фактор-пространство С Ф {\displaystyle CF} х ∈ Х {\displaystyle x\in X}

[ 0 , 1 ] × П ∐ { х } / ∼ {\displaystyle [0,1]\times P\coprod \{x\}/\sim }

где каждая точка эквивалентна. { 0 } × П {\displaystyle \{0\}\times P}

Интерпретация

Цилиндр отображения можно рассматривать как способ замены произвольного отображения эквивалентным кофибрилляцией в следующем смысле:

При заданном отображении цилиндр отображения представляет собой пространство вместе с корасслоением и сюръективной гомотопической эквивалентностью (действительно, Y является деформационным ретрактом ) , таким образом, что композиция равна f . ф : Х → И {\displaystyle f\двоеточие от X до Y} М ф {\displaystyle М_{ж}} ф ~ : Х → М ф {\displaystyle {\tilde {f}}\двоеточие X\to M_{f}} М ф → И {\displaystyle M_{f}\to Y} М ф {\displaystyle М_{ж}} Х → М ф → И {\displaystyle X\to M_{f}\to Y}

Таким образом, пространство Y заменяется гомотопически эквивалентным пространством , а отображение f — поднятым отображением . Эквивалентно, диаграмма М ф {\displaystyle М_{ж}} ф ~ {\displaystyle {\тильда {ф}}}

ф : Х → И {\displaystyle f\двоеточие от X до Y}

заменяется диаграммой

ф ~ : Х → М ф {\displaystyle {\tilde {f}}\двоеточие X\to M_{f}}

вместе с гомотопической эквивалентностью между ними.

Конструкция позволяет заменить любое отображение топологических пространств гомотопически эквивалентным корасслоением.

Обратите внимание, что поточечно кофибрилляция является замкнутым включением .

Приложения

Цилиндры отображения являются довольно распространенными гомотопическими инструментами. Одним из применений цилиндров отображения является применение теорем о включении пространств к общим отображениям, которые могут не быть инъективными .

Следовательно, теоремы или методы (такие как гомология , когомология или теория гомотопии ), которые зависят только от гомотопического класса пространств и соответствующих отображений, могут применяться при условии, что и что на самом деле имеет место включение подпространства . ф : Х → И {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y} X ⊂ Y {\displaystyle X\subset Y} f {\displaystyle f}

Другая, более интуитивная привлекательность конструкции заключается в том, что она соответствует обычному ментальному образу функции как «отправки» точек в точки и, следовательно, встраивания внутрь, несмотря на тот факт, что функция не обязательно должна быть взаимно-однозначной. X {\displaystyle X} Y , {\displaystyle Y,} X {\displaystyle X} Y , {\displaystyle Y,}

Категорическое применение и интерпретация

Можно использовать отображающий цилиндр для построения гомотопических копределов : [ требуется ссылка ] это следует из общего утверждения, что любая категория со всеми выталкивателями и коуравнителями имеет все копределы . То есть, если задана диаграмма, замените отображения корасслоениями (используя отображающий цилиндр), а затем возьмите обычный поточечный предел (нужно быть немного более осторожным, но отображающие цилиндры являются компонентом).

Наоборот, отображающий цилиндр является гомотопическим выталкиванием диаграммы, где и . f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} id X : X → X {\displaystyle {\text{id}}_{X}\colon X\to X}

Картографический телескоп

Дана последовательность карт

X 1 → f 1 X 2 → f 2 X 3 → ⋯ {\displaystyle X_{1}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{2}{\xrightarrow {f_{2}}}X_{3}\to \cdots }

отображающий телескоп — это гомотопический прямой предел . Если все отображения уже являются кофибрациями (например, для ортогональных групп ), то прямой предел — это объединение, но в общем случае необходимо использовать отображающий телескоп. Отображающий телескоп — это последовательность отображающих цилиндров, соединенных концом к концу. Изображение конструкции выглядит как стопка все более крупных цилиндров, как телескоп. O ( n ) ⊂ O ( n + 1 ) {\displaystyle O(n)\subset O(n+1)}

Формально его определяют как

( ∐ i [ 0 , 1 ] × X i ) / ( ( 0 , x i ) ∼ ( 1 , f i ( x i ) ) ) . {\displaystyle {\Bigl (}\coprod _{i}[0,1]\times X_{i}{\Bigr )}/((0,x_{i})\sim (1,f_{i}(x_{i}))).}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология . Кембридж: Cambridge Univ. Pr. стр. 2. ISBN 0-521-79540-0.
  2. ^ Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология . Кембридж: Cambridge Univ. Pr. стр. 15. ISBN 0-521-79540-0.
  3. ^ Агуадо, Алекс. «Краткая заметка о отображении цилиндров». arXiv : 1206.1277 [math.AT].
  • May, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-2265-1183-2.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mapping_cylinder&oldid=1206520768"