Теорема Гуревича
Дает гомоморфизм из гомотопических групп в гомологические группы

В математике теорема Гуревича является основным результатом алгебраической топологии , связывающим теорию гомотопии с теорией гомологии посредством отображения, известного как гомоморфизм Гуревича . Теорема названа в честь Витольда Гуревича и обобщает более ранние результаты Анри Пуанкаре .

Формулировка теорем

Теоремы Гуревича являются ключевым связующим звеном между гомотопическими группами и группами гомологий .

Абсолютная версия

Для любого линейно связного пространства X и положительного целого числа n существует групповой гомоморфизм

час ∗ : π н ( Х ) → ЧАС н ( Х ) , {\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}

называемый гомоморфизмом Гуревича , из n -й гомотопической группы в n -ю гомологическую группу (с целыми коэффициентами). Он задается следующим образом: выбирается канонический генератор , тогда гомотопический класс отображений переводится в . ты н ∈ ЧАС н ( С н ) {\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})} ф ∈ π н ( Х ) {\displaystyle f\in \pi _{n}(X)} ф ∗ ( ты н ) ∈ ЧАС н ( Х ) {\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}

Теорема Гуревича устанавливает случаи, в которых гомоморфизм Гуревича является изоморфизмом .

  • Для , если X является -связным (то есть: для всех ), то для всех , и отображение Гуревича является изоморфизмом. [1] : 366, Теор.4.32  Это подразумевает, в частности, что гомологическая связность равна гомотопической связности , когда последняя не меньше 1. Кроме того, отображение Гуревича является эпиморфизмом в этом случае. [1] : 390, ?  н ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ( н − 1 ) {\displaystyle (n-1)} π я ( Х ) = 0 {\displaystyle \пи _{i}(X)=0} я < н {\displaystyle я<н} ЧАС я ~ ( Х ) = 0 {\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0} я < н {\displaystyle я<н} час ∗ : π н ( Х ) → ЧАС н ( Х ) {\displaystyle h_{*}\colon \пи _{n}(X)\to H_{n}(X)} час ∗ : π н + 1 ( Х ) → ЧАС н + 1 ( Х ) {\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}
  • Для гомоморфизм Гуревича индуцирует изоморфизм между абелианизацией первой гомотопической группы ( фундаментальной группы ) и первой группой гомологий. н = 1 {\displaystyle n=1} час ~ ∗ : π 1 ( Х ) / [ π 1 ( Х ) , π 1 ( Х ) ] → ЧАС 1 ( Х ) {\displaystyle {\tilde {h}}_{*}\colon \пи _{1}(X)/[\пи _{1}(X),\пи _{1}(X)]\to H_{1}(X)}

Относительная версия

Для любой пары пространств и целого числа существует гомоморфизм ( Х , А ) {\displaystyle (X,A)} к > 1 {\displaystyle к>1}

час ∗ : π к ( Х , А ) → ЧАС к ( Х , А ) {\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)}

от относительных гомотопических групп к относительным гомологическим группам. Относительная теорема Гуревича утверждает, что если и связаны , а пара -связана, то для и получается из путем вынесения за скобки действия . Это доказано, например, в работе Уайтхеда (1978) по индукции, доказывающей в свою очередь абсолютную версию и лемму о сложении гомотопий. Х {\displaystyle X} А {\displaystyle А} ( н − 1 ) {\displaystyle (n-1)} ЧАС к ( Х , А ) = 0 {\displaystyle H_{k}(X,A)=0} к < н {\displaystyle к<н} ЧАС н ( Х , А ) {\displaystyle H_{n}(X,A)} π n ( X , A ) {\displaystyle \pi _{n}(X,A)} π 1 ( A ) {\displaystyle \pi _{1}(A)}

Эта относительная теорема Гуревича была переформулирована Брауном и Хиггинсом (1981) как утверждение о морфизме

π n ( X , A ) → π n ( X ∪ C A ) , {\displaystyle \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\cup CA),}

где обозначает конус . Это утверждение является частным случаем теоремы о гомотопическом вырезании , включающей индуцированные модули для ( скрещенные модули, если ), которая сама по себе выводится из высшей гомотопической теоремы Ван Кампена для относительных гомотопических групп, доказательство которой требует разработки методов кубического высшего гомотопического группоида фильтрованного пространства. C A {\displaystyle CA} A {\displaystyle A} n > 2 {\displaystyle n>2} n = 2 {\displaystyle n=2}

Триадическая версия

Для любой триады пространств (т.е. пространства X и подпространств A , B ) и целого числа существует гомоморфизм ( X ; A , B ) {\displaystyle (X;A,B)} k > 2 {\displaystyle k>2}

h ∗ : π k ( X ; A , B ) → H k ( X ; A , B ) {\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)}

от триадных гомотопических групп к триадным гомологическим группам. Обратите внимание, что

H k ( X ; A , B ) ≅ H k ( X ∪ ( C ( A ∪ B ) ) ) . {\displaystyle H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).}

Триадическая теорема Гуревича утверждает, что если X , A , B , и связаны, пары и являются -связанными и -связанными соответственно, а триада -связанной , то для и получается из вынесением за скобки действия и обобщенных произведений Уайтхеда. Доказательство этой теоремы использует высшую гомотопическую теорему типа Ван Кампена для триадических гомотопических групп, которая требует понятия фундаментальной -группы n -куба пространств. C = A ∩ B {\displaystyle C=A\cap B} ( A , C ) {\displaystyle (A,C)} ( B , C ) {\displaystyle (B,C)} ( p − 1 ) {\displaystyle (p-1)} ( q − 1 ) {\displaystyle (q-1)} ( X ; A , B ) {\displaystyle (X;A,B)} ( p + q − 2 ) {\displaystyle (p+q-2)} H k ( X ; A , B ) = 0 {\displaystyle H_{k}(X;A,B)=0} k < p + q − 2 {\displaystyle k<p+q-2} H p + q − 1 ( X ; A ) {\displaystyle H_{p+q-1}(X;A)} π p + q − 1 ( X ; A , B ) {\displaystyle \pi _{p+q-1}(X;A,B)} π 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)} cat n {\displaystyle \operatorname {cat} ^{n}}

Симплициальная версия набора

Теорема Гуревича для топологических пространств может быть сформулирована также для n -связных симплициальных множеств, удовлетворяющих условию Кана. [2]

Рациональная теорема Гуревича

Рациональная теорема Гуревича: [3] [4] Пусть X — односвязное топологическое пространство с для . Тогда отображение Гуревича π i ( X ) ⊗ Q = 0 {\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0} i ≤ r {\displaystyle i\leq r}

h ⊗ Q : π i ( X ) ⊗ Q ⟶ H i ( X ; Q ) {\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}

индуцирует изоморфизм для и сюръекцию для . 1 ≤ i ≤ 2 r {\displaystyle 1\leq i\leq 2r} i = 2 r + 1 {\displaystyle i=2r+1}

Примечания

  1. ^ ab Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79160-1
  2. ^ Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999), Simplicial Homotopy Theory , Progress in Mathematics, т. 174, Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, III.3.6, 3.7
  3. ^ Клаус, Стефан; Крек, Маттиас (2004), «Быстрое доказательство рациональной теоремы Гуревича и вычисление рациональных гомотопических групп сфер», Математические труды Кембриджского философского общества , 136 (3): 617– 623, Bibcode : 2004MPCPS.136..617K, doi : 10.1017/s0305004103007114, S2CID  119824771
  4. ^ Картан, Анри ; Серр, Жан-Пьер (1952), «Пространства волокон и гомотопические группы, II, Приложения», Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 2 ( 34): 393–395

Ссылки

  • Браун, Рональд (1989), «Триадические теоремы Ван Кампена и теоремы Гуревича», Алгебраическая топология (Эванстон, Иллинойс, 1988) , Contemporary Mathematics, т. 96, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр.  39–57 , doi :10.1090/conm/096/1022673, ISBN 9780821851029, МР  1022673
  • Браун, Рональд; Хиггинс, П.Дж. (1981), «Теоремы о копределах для относительных гомотопических групп», Журнал чистой и прикладной алгебры , 22 : 11– 41, doi : 10.1016/0022-4049(81)90080-3, ISSN  0022-4049
  • Браун, Р.; Лодей, Дж.-Л. (1987), «Гомотопическое вырезание и теоремы Гуревича для n-кубов пространств», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 54 : 176–192 , CiteSeerX  10.1.1.168.1325 , doi :10.1112/plms/s3-54.1.176, ISSN  0024-6115
  • Браун, Р.; Лодей, Дж.-Л. (1987), «Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств», Топология , 26 (3): 311– 334, doi :10.1016/0040-9383(87)90004-8, ISSN  0040-9383
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hurewicz_theorem&oldid=1268327618"