Делитель

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Июнь 2015 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике делителем целого числа , также называемым множителем , является целое число , которое можно умножить на некоторое целое число, чтобы получить [ ^1]. В этом случае также говорят, что является кратным Целое число делится или делится без остатка на другое целое число, если является делителем ; это означает, что деление на не дает остатка.${\displaystyle n,}$${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle м}$${\displaystyle сущ.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle м.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle м}$${\displaystyle м}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle м}$

Целое число делится на ненулевое целое число, если существует целое число такое, что Это записывается как${\displaystyle n}$${\displaystyle м}$${\displaystyle к}$${\displaystyle n=км.}$

${\displaystyle м\мид н.}$

Это можно прочитать так: делит является делителем является множителем или кратно Если не делит, то запись будет ^{[2] [3]}${\displaystyle м}$${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle м}$${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle м}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle м.}$${\displaystyle м}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle m\not \mid н.}$

Существуют два соглашения, различающиеся тем, допускается ли нулевое значение:${\displaystyle м}$

• При соглашении без дополнительных ограничений для каждого целого числа ^{[2] [3]}${\displaystyle м,}$ ${\displaystyle м\середина 0}$${\displaystyle м.}$
• При условии, что ненулевое число будет равно нулю, для каждого ненулевого целого числа ^{[4] [5]}${\displaystyle м}$${\displaystyle м\середина 0}$${\displaystyle м.}$

Делители могут быть как отрицательными , так и положительными, хотя часто этот термин ограничивается положительными делителями. Например, существует шесть делителей числа 4: 1, 2, 4, −1, −2 и −4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).

1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными , а целые числа, не делящиеся на 2, называются нечетными .

1, −1 и называются тривиальными делителями Делитель , который не является тривиальным делителем, называется нетривиальным делителем (или строгим делителем ^[6] ). Ненулевое целое число с хотя бы одним нетривиальным делителем называется составным числом , в то время как единицы −1 и 1 и простые числа не имеют нетривиальных делителей.${\displaystyle n}$${\displaystyle -n}$${\displaystyle сущ.}$${\displaystyle n}$

Существуют правила делимости , которые позволяют распознавать определенные делители числа по его цифрам.

• 7 является делителем 42, потому что так мы можем сказать: Также можно сказать, что 42 делится на 7, 42 кратно 7 , 7 делит 42 или 7 является множителем 42.${\displaystyle 7\times 6=42,}$${\displaystyle 7\середина 42.}$
• Нетривиальные делители числа 6 — 2, −2, 3, −3.
• Положительные делители числа 42 — 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Множество всех положительных делителей числа 60, частично упорядоченное по делимости, имеет диаграмму Хассе :${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$

Вот несколько элементарных правил:

• Если и то есть, делимость является транзитивным отношением .${\displaystyle a\середина b}$${\displaystyle b\mid c,}$${\displaystyle a\mid c;}$
• Если и , то или (То есть и являются ассоциированными элементами .)${\displaystyle a\середина b}$${\displaystyle b\mid a,}$${\displaystyle а=б}$${\displaystyle а=-b.}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$
• Если и то выполняется, как и ^[a]. Однако, если и то выполняется не всегда (например, и , но 5 не делит 6).${\displaystyle a\середина b}$${\displaystyle a\mid c,}$${\displaystyle a\mid (b+c)}$${\displaystyle a\mid (bc).}$${\displaystyle a\середина b}$${\displaystyle c\mid b,}$${\displaystyle (a+c)\mid b}$${\displaystyle 2\середина 6}$${\displaystyle 3\середина 6}$
• ${\displaystyle a\mid b\если и только если ac\mid bc}$для ненулевого . Это следует непосредственно из записи .${\displaystyle с}$${\displaystyle ka=b\iff kac=bc}$

Если и то ^[b] Это называется леммой Евклида .${\displaystyle a\mid bc,}$${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$${\displaystyle a\mid c.}$

Если — простое число и тогда или${\displaystyle p}$${\displaystyle p\mid ab}$${\displaystyle p\mid a}$${\displaystyle p\mid b.}$

Положительный делитель, отличный от , называется${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$правильный делитель илиаликвотная часть (например, собственные делители числа 6 — 1, 2 и 3). Число, которое не делится нацело, но оставляет остаток, иногда называют${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$аликвотная часть${\displaystyle n.}$

Целое число, единственным собственным делителем которого является 1, называется простым числом . Эквивалентно, простое число — это положительное целое число, которое имеет ровно два положительных делителя: 1 и само себя.${\displaystyle n>1}$

Любой положительный делитель является произведением простых делителей , возведенных в некоторую степень. Это следствие основной теоремы арифметики .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Число называется совершенным , если оно равно сумме своих собственных делителей, недостаточным , если сумма его собственных делителей меньше , и избыточным, если эта сумма превышает.${\displaystyle n}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n.}$

Общее количество положительных делителей является мультипликативной функцией , то есть когда два числа и являются взаимно простыми , то Например, ; восемь делителей числа 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако количество положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа и имеют общий делитель, то может быть неверным, что Сумма положительных делителей является другой мультипликативной функцией (например, ). Обе эти функции являются примерами функций делителей .${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n),}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

Если разложение на простые множители задано как${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

тогда число положительных делителей равно${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

и каждый из делителей имеет вид

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

где для каждого${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Для каждого натурального${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

Также, ^[7]

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

где — константа Эйлера–Маскерони . Одной из интерпретаций этого результата является то, что случайно выбранное положительное целое число n имеет среднее количество делителей около Однако это результат вкладов чисел с «аномально большим количеством» делителей .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \ln n.}$

В определениях, которые допускают, чтобы делитель был равен 0, отношение делимости превращает множество неотрицательных целых чисел в частично упорядоченное множество , которое является полной дистрибутивной решеткой . Наибольший элемент этой решетки равен 0, а наименьший — 1. Операция пересечения ∧ задается наибольшим общим делителем , а операция соединения ∨ — наименьшим общим кратным . Эта решетка изоморфна двойственной решетке подгрупп бесконечной циклической группы Z.${\displaystyle \mathbb {N} }$

• Арифметические функции
• Алгоритм Евклида
• Дробь (математика)
• Факторизация целых чисел
• Таблица делителей – Таблица простых и непростых делителей для чисел от 1 до 1000.
• Таблица простых множителей – Таблица простых множителей для чисел от 1 до 1000
• Унитарный делитель