Гипотеза Леопольда

В алгебраической теории чисел гипотеза Леопольдта , выдвинутая Х.-В. Леопольдтом  (1962, 1975), утверждает, что p-адический регулятор числового поля не обращается в нуль. P-адический регулятор является аналогом обычного регулятора, определяемого с использованием p-адических логарифмов вместо обычных логарифмов, введенных Х.-В. Леопольдтом  (1962).

Формулировка

Пусть K — числовое поле , и для каждого простого числа P из K, превышающего некоторое фиксированное рациональное простое число p , пусть U P обозначает локальные единицы в P , а U 1, P обозначает подгруппу главных единиц в U P. Задайте

У 1 = ∏ П | п У 1 , П . {\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.}

Тогда пусть E 1 обозначает множество глобальных единиц ε , которые отображаются в U 1 посредством диагонального вложения глобальных единиц в  E .

Так как является конечно- индексной подгруппой глобальных единиц, то это абелева группа ранга , где - число действительных вложений и число пар комплексных вложений. Гипотеза Леопольдта утверждает, что -модульный ранг замыкания вложенного диагонально в также Э 1 {\displaystyle E_{1}} г 1 + г 2 − 1 {\displaystyle r_{1}+r_{2}-1} г 1 {\displaystyle r_{1}} К {\displaystyle К} г 2 {\displaystyle r_{2}} З п {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Э 1 {\displaystyle E_{1}} У 1 {\displaystyle U_{1}} г 1 + г 2 − 1. {\displaystyle r_{1}+r_{2}-1.}

Гипотеза Леопольдта известна в частном случае, когда является абелевой надстройкой или абелевой надстройкой мнимого квадратичного числового поля : Ax (1965) свел абелев случай к p-адической версии теоремы Бейкера , которая была вскоре доказана Brumer (1967). Mihăilescu  (2009, 2011) объявил о доказательстве гипотезы Леопольдта для всех CM-расширений . К {\displaystyle К} В {\displaystyle \mathbb {Q} } В {\displaystyle \mathbb {Q} }

Колмез  (1988) выразил остаток p -адической дзета-функции Дедекинда полностью вещественного поля при s =  1 в терминах p -адического регулятора. Как следствие, гипотеза Леопольдта для этих полей эквивалентна их p -адическим дзета-функциям Дедекинда, имеющим простой полюс при s  = 1.

Ссылки

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Leopoldt%27s_conjecture&oldid=1195291999"