Дираковская материя

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Ноябрь 2019 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Термин «материя Дирака» относится к классу систем конденсированных сред , которые могут быть эффективно описаны уравнением Дирака . Несмотря на то, что само уравнение Дирака было сформулировано для фермионов , квазичастицы, присутствующие в материи Дирака, могут иметь любую статистику. Как следствие, материю Дирака можно разделить на фермионную, бозонную или анионную материю Дирака. Яркими примерами материи Дирака ^{[1] [2] [3] [4] [5]} являются графен и другие полуметаллы Дирака , топологические изоляторы , полуметаллы Вейля , различные высокотемпературные сверхпроводники с -волновым спариванием и жидкий гелий-3 . Эффективная теория таких систем классифицируется по определенному выбору массы Дирака, скорости Дирака, гамма-матриц и кривизны пространства-времени . Универсальная трактовка класса материи Дирака в терминах эффективной теории приводит к общим чертам относительно плотности состояний , теплоемкости и примесного рассеяния.${\displaystyle д}$

Члены класса дираковской материи существенно различаются по своей природе. Однако все примеры дираковской материи объединены сходством в рамках алгебраической структуры эффективной теории, их описывающей.

Общее определение дираковской материи — это система конденсированного вещества, в которой квазичастичные возбуждения могут быть описаны в искривленном пространстве-времени обобщенным уравнением Дирака:

${\displaystyle \left[i\hbar v_{\rm {D}}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }d_{\mu }(p)-mv_{\rm {D}}^{2}\right]\Psi =0.}$

В приведенном выше определении обозначает ковариантный вектор , зависящий от -мерного импульса ( измерения пространства -времени), является вирбеином, описывающим кривизну пространства, массу квазичастицы и скорость Дирака. Обратите внимание, что поскольку в дираковской материи уравнение Дирака дает эффективную теорию квазичастиц, энергия из массового члена равна , а не массе покоя массивной частицы. относится к набору матриц Дирака , где определение для построения задается антикоммутационным соотношением,${\displaystyle d_{\mu }}$${\displaystyle (d+1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle e_{a}^{\mu }}$${\displaystyle m}$${\displaystyle v_{\rm {D}}}$${\displaystyle mv_{\rm {D}}^{2}}$${\displaystyle mc^{2}}$${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }I_{d}.}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$— метрика Минковского с сигнатурой (+ - - -) и — единичная матрица размерности -1. Во всех уравнениях используется неявное суммирование по и ( конвенция Эйнштейна ). Кроме того, — волновая функция . Объединяющей чертой всей дираковской материи является матричная структура уравнения, описывающего возбуждения квазичастиц.${\displaystyle I_{d}}$${\displaystyle d\times d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Psi }$

В пределе, где , то есть ковариантная производная , получается обычная дираковская материя. Однако это общее определение позволяет описывать материю с дисперсионными соотношениями более высокого порядка и в искривленном пространстве-времени, пока эффективный гамильтониан демонстрирует матричную структуру, специфичную для уравнения Дирака .${\displaystyle d_{\mu }(p)=D_{\mu }}$

Большинство экспериментальных реализаций материи Дирака на сегодняшний день находятся в пределе, который, следовательно, определяет традиционную материю Дирака, в которой квазичастицы описываются уравнением Дирака в искривленном пространстве-времени ,${\displaystyle d_{\mu }(p)=D_{\mu }}$

${\displaystyle \left[i\hbar v_{\rm {D}}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }D_{\mu }-mv_{\rm {D}}^{2}\right]\Psi =0.}$

Здесь обозначает ковариантную производную . Например, для плоской метрики энергия свободной дираковской частицы существенно отличается от классической кинетической энергии, где энергия пропорциональна квадрату импульса:${\displaystyle D_{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Free~Dirac~particle:\;} E&=\pm {\sqrt {\hbar ^{2}v_{\rm {D}}^{2}\mathbf {k} ^{2}+m^{2}c^{4}}}\\\mathrm {Kinetic\;energy:\;} E&={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{2}}={\frac {|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}.\end{aligned}}}$

Скорость Дирака дает градиент дисперсии при больших импульсах , это масса частицы или объекта. В случае безмассовой материи Дирака, такой как фермионные квазичастицы в графене или полуметаллах Вейля , соотношение энергии и импульса линейно,${\displaystyle v_{\rm {D}}}$${\displaystyle E-k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=\hbar v_{\rm {D}}|\mathbf {k} |}$

Таким образом, традиционная материя Дирака включает все системы, которые имеют линейное пересечение или линейное поведение в некоторой области соотношения энергии и импульса. Они характеризуются особенностями, напоминающими «X», иногда наклоненными или перекошенными, а иногда с зазором между верхней и нижней частями (точки поворота которых становятся закругленными, если источником зазора является массовый член).${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$

Общие характеристики и некоторые конкретные примеры обычной дираковской материи обсуждаются в следующих разделах.

Дираковская материя, особенно фермионная Дираковская материя имеет большой потенциал для технологических приложений. Например, Нобелевская премия по физике 2010 года была присуждена Андре Гейму и Константину Новоселову «за новаторские эксперименты, касающиеся материала графен». В официальном пресс-релизе Шведской королевской академии наук говорится, что ^[6]

[...] теперь становится возможным огромное разнообразие практических приложений, включая создание новых материалов и производство инновационной электроники. Графеновые транзисторы, как прогнозируется, будут существенно быстрее современных кремниевых транзисторов и приведут к созданию более эффективных компьютеров.

—  Шведская королевская академия наук

В общем, свойства безмассовой фермионной дираковской материи можно контролировать, сдвигая химический потенциал с помощью легирования или в рамках полевой установки. Настраивая химический потенциал , можно точно контролировать количество присутствующих состояний, поскольку плотность состояний изменяется вполне определенным образом с энергией.

Кроме того, в зависимости от конкретной реализации материала Дирака, может быть возможным введение массового члена , который открывает щель в спектре - запрещенную зону . В общем случае, массовый член является результатом нарушения определенной симметрии системы. Размер запрещенной зоны можно точно контролировать, контролируя силу массового члена.${\displaystyle m}$

Плотность состояний -мерной материи Дирака вблизи точки Дирака масштабируется как , где - энергия частицы. ^[7] Исчезающая плотность состояний для квазичастиц в материи Дирака имитирует физику полуметаллов для физического измерения . В двумерных системах, таких как графен и топологические изоляторы, плотность состояний дает V-образную форму по сравнению с постоянным значением для массивных частиц с дисперсией .${\displaystyle d}$${\displaystyle N(\epsilon )\propto |\epsilon |^{d-1}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle d>1}$${\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m}$

Экспериментальные измерения плотности состояний вблизи точки Дирака стандартными методами, такими как сканирующая туннельная микроскопия, часто отличаются от теоретической формы из-за эффектов беспорядка и взаимодействий. ^[8]

Удельная теплоемкость, теплоемкость на единицу массы, описывает энергию, необходимую для изменения температуры образца. Низкотемпературная электронная удельная теплоемкость дираковского вещества отличается от встречающейся для обычных металлов. ^[7] Поэтому для систем, физическая размерность которых больше 1, удельная теплоемкость может обеспечить четкую сигнатуру базовой дираковской природы квазичастиц.${\displaystyle C(T\to 0)\sim T^{d}}$${\displaystyle C(T\to 0)\sim T}$

Квантование Ландау относится к квантованию циклотронных орбит заряженных частиц в магнитных полях. В результате заряженные частицы могут занимать только орбиты с дискретными значениями энергии, называемые уровнями Ландау. Для 2-мерных систем с перпендикулярным магнитным полем энергия для уровней Ландау для обычной материи, описываемой уравнением Шредингера и материей Дирака, определяется как ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ordinary\;matter:\;} E&=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\\\mathrm {Dirac\;Matter:\;} E&=\hbar \omega _{c}{\sqrt {|n|}}.\end{aligned}}}$

Здесь — циклотронная частота , которая линейно зависит от приложенного магнитного поля и заряда частицы. Существуют две отличительные особенности квантования уровня Ландау для 2D-фермионов Шредингера (обычная материя) и 2D-фермионов Дирака. Во-первых, энергия для фермионов Шредингера линейно зависит от целого квантового числа , тогда как для фермионов Дирака она показывает зависимость от квадратного корня. Это ключевое различие играет важную роль в экспериментальной проверке материи Дирака. ^{[9] [10]} Кроме того, для существует нулевой уровень энергии для фермионов Дирака, который не зависит от циклотронной частоты и от приложенного магнитного поля. Например, существование нулевого уровня Ландау приводит к квантовому эффекту Холла , где проводимость Холла квантуется при полуцелых значениях. ^{[11] [7]}${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle \omega _{c}}$

В контексте фермионных квазичастиц скорость Дирака идентична скорости Ферми; в бозонных системах скорость Ферми не существует, поэтому скорость Дирака является более общим свойством таких систем.

Графен представляет собой двумерную кристаллическую аллотропную модификацию углерода , в которой атомы углерода расположены в сотовой решетке . Каждый атом углерода образует -связи с тремя соседними атомами, которые лежат в плоскости графена под углами 120. Эти связи опосредованы тремя из четырех электронов углерода , в то время как четвертый электрон, занимающий орбиталь , опосредует внеплоскостную π -связь , которая приводит к электронным зонам на уровне Ферми . Уникальные транспортные свойства и полуметаллическое состояние графена являются результатом делокализованных электронов, занимающих эти p _z орбитали. ^[12]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle ^{\circ }}$${\displaystyle \mathrm {p} _{z}}$

Полуметаллическое состояние соответствует линейному пересечению энергетических зон в точках и гексагональной зоны Бриллюэна графена . В этих двух точках электронная структура может быть эффективно описана гамильтонианом${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$

${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}\left(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y}\right).}$

Здесь и — две из трех матриц Паули . Фактор указывает, центрирован ли гамильтониан на или долине в углу гексагональной зоны Бриллюэна . Для графена скорость Дирака составляет около эВ . ^[12] Энергетическая щель в дисперсии графена может быть получена из низкоэнергетического гамильтониана вида ${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \tau =+/-}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle \hbar v_{\rm {D}}\approx 5.8}$${\displaystyle \mathrm {\AA} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y})+M\sigma _{z},\end{aligned}}}$

который теперь содержит массовый член . Существует несколько различных способов введения массового члена, и результаты имеют разные характеристики. ^{[13] [14]} Наиболее практичный подход к созданию зазора (введению массового члена) — это нарушение симметрии подрешетки решетки, где каждый атом углерода немного отличается от своих ближайших, но идентичен своим следующим ближайшим соседям; эффект, который может быть результатом эффектов субстрата.${\displaystyle M}$

Топологический изолятор — это материал, который ведет себя как изолятор внутри (в объеме), но поверхность которого содержит проводящие состояния. Это свойство представляет собой нетривиальный, защищенный симметрией топологический порядок . Как следствие, электроны в топологических изоляторах могут перемещаться только по поверхности материала. В объеме невзаимодействующего топологического изолятора уровень Ферми расположен в зазоре между зонами проводимости и валентной зоной . На поверхности существуют особые состояния в пределах энергетической щели в объеме , которые можно эффективно описать гамильтонианом Дирака:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\mathbf {k} \times {\boldsymbol {\sigma }})\cdot {\hat {\mathbf {z} }}\end{aligned}}}$

где нормаль к поверхности и находится в реальном спиновом базисе. Однако, если мы вращаем спин унитарным оператором , , мы придем к стандартной записи гамильтониана Дирака, . Такие конусы Дирака, возникающие на поверхности 3-мерных кристаллов, наблюдались экспериментально, например: селенид висмута (Bi Se ), ^{[15] [16]} теллурид олова (SnTe) ^[17] и многие другие материалы. ^[18]${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle {\mathbf {\sigma } }}$${\displaystyle U={\rm {diag}}[1,i]}$${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\mathbf {k} }}$${\displaystyle _{2}}$${\displaystyle _{3}}$

Низкоэнергетические свойства некоторых полупроводниковых монослоев дихалькогенидов переходных металлов можно описать двумерным массивным (щелевым) гамильтонианом Дирака с дополнительным членом, описывающим сильную спин-орбитальную связь : ^{[19] [20] [21] [22]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y})+\Delta \sigma _{z}+\lambda (1-\sigma _{z})\tau s+(\alpha +\beta \sigma _{z})(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}).\end{aligned}}}$

Спин-орбитальная связь обеспечивает большое расщепление спина в валентной зоне и указывает на спиновую степень свободы. Что касается графена, то он дает степень свободы долины — будь то вблизи точки или гексагональной зоны Бриллюэна. Монослои дихалькогенидов переходных металлов часто обсуждаются в связи с возможными применениями в долинной электронике .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle s}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{\prime }}$

Полуметаллы Вейля , например, арсенид тантала (TaAs) и родственные материалы, ^{[23] [24] [25] [26] [27] [28]} силицид стронция (SrSi ) ^[29], имеют гамильтониан, который очень похож на гамильтониан графена, но теперь включает все три матрицы Паули, а линейные пересечения происходят в 3D:${\displaystyle _{2}}$

${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y}+k_{z}\sigma _{z}).}$

Поскольку присутствуют все три матрицы Паули , нет никакой другой матрицы Паули, которая могла бы открыть щель в спектре, и поэтому точки Вейля топологически защищены. ^[7] Наклон линейных конусов таким образом, что скорость Дирака меняется, приводит к полуметаллам Вейля типа II. ^{[30] [31]} Одной из отличительных, экспериментально наблюдаемых особенностей полуметаллов Вейля является то, что поверхностные состояния образуют дуги Ферми, поскольку поверхность Ферми не образует замкнутую петлю.

В то время как уравнение Вейля изначально было выведено для нечетных пространственных измерений, обобщение состояния фермиона Вейля 3D в 2D приводит к особому топологическому состоянию материи, обозначенному как 2D полуметаллы Вейля. 2D полуметаллы Вейля являются спин-поляризованными аналогами графена, которые обещают доступ к топологическим свойствам фермионов Вейля в (2+1)-мерном пространстве-времени. В 2024 году в эпитаксиальном монослое висмутена был обнаружен собственный 2D полуметалл Вейля со спин-поляризованными конусами Вейля и топологическими струнами Ферми (1D аналог дуг Ферми). ^[32]

В кристаллах, симметричных относительно инверсии и обращения времени , электронные энергетические зоны вырождены дважды. Это вырождение называется вырождением Крамерса . Поэтому полуметаллы с линейными пересечениями двух энергетических зон (двукратное вырождение) при энергии Ферми демонстрируют четырехкратное вырождение в точке пересечения. Эффективный гамильтониан для этих состояний можно записать как

${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}\left({\begin{array}{cc}\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&-\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\end{array}}\right).}$

Это имеет точно матричную структуру дираковской материи. Примерами экспериментально реализованных дираковских полуметаллов являются висмутид натрия (Na Bi) ^{[33] [34] [35]} и арсенид кадмия (Cd As ) ^{[36] [37] [38]}${\displaystyle _{3}}$${\displaystyle _{3}}$${\displaystyle _{2}}$

В то время как исторический интерес был сосредоточен на фермионных квазичастицах, которые имеют потенциал для технологических приложений, особенно в электронике, математическая структура уравнения Дирака не ограничивается статистикой частиц . Это привело к недавнему развитию концепции бозонной дираковской материи.

В случае бозонов не существует принципа исключения Паули , ограничивающего возбуждения вблизи химического потенциала (энергия Ферми для фермионов), поэтому необходимо включить всю зону Бриллюэна . При низких температурах бозоны будут собираться в точке с самой низкой энергией, -точке нижней зоны. Энергия должна быть добавлена, чтобы возбудить квазичастицы в окрестности линейной точки пересечения.${\displaystyle \Gamma }$

Несколько примеров дираковской материи с фермионными квазичастицами встречаются в системах, где есть гексагональная кристаллическая решетка; поэтому бозонные квазичастицы на гексагональной решетке являются естественными кандидатами на бозонную дираковскую материю. Фактически, базовая симметрия кристаллической структуры сильно ограничивает и защищает возникновение линейных пересечений зон. Типичными бозонными квазичастицами в конденсированном веществе являются магноны , фононы , поляритоны и плазмоны .

Существующие примеры бозонной дираковской материи включают галогениды переходных металлов , такие как CrX (X = Cl, Br, I), где спектр магнонов демонстрирует линейные пересечения, ^[39] гранулированные сверхпроводники в сотовой решетке ^[40] и гексагональные массивы полупроводниковых микрополостей, в которых размещены микрополостные поляритоны с линейными пересечениями. ^[41] Подобно графену, все эти системы имеют гексагональную структуру решетки.${\displaystyle _{3}}$

Анионная материя Дирака — это гипотетическое поле, которое на сегодняшний день довольно неисследовано. Анион — это тип квазичастицы, которая может возникать только в двумерных системах. Рассматривая бозоны и фермионы , обмен двумя частицами вносит фактор 1 или -1 в волновую функцию. Напротив, операция обмена двумя идентичными анионами вызывает глобальный сдвиг фаз. Анионы обычно классифицируются как абелевы или неабелевы, в зависимости от того, преобразуются ли элементарные возбуждения теории под абелевым представлением группы кос или под неабелевым. ^[42] Абелевы анионы были обнаружены в связи с дробным квантовым эффектом Холла . Возможная конструкция анионной материи Дирака основана на защите симметрии пересечений анионных энергетических зон. По сравнению с бозонами и фермионами ситуация становится более сложной, поскольку трансляции в пространстве не обязательно коммутируют. Кроме того, для заданных пространственных симметрий групповая структура, описывающая анион, сильно зависит от конкретной фазы обмена анионами. Например, для бозонов поворот частицы на 2 π , т. е. на 360 , не изменит ее волновую функцию. Для фермионов поворот частицы на 2 π , внесет фактор в ее волновую функцию, тогда как поворот на 4 π , т. е. поворот на 720 , даст ту же волновую функцию, что и раньше. Для анионов может потребоваться еще более высокая степень поворота, например, 6 π , 8 π и т. д., чтобы оставить волновую функцию инвариантной.${\displaystyle ^{\circ }}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle ^{\circ }}$

• конус Дирака

• Новоселов, КС; Гейм, АК (2007). «Расцвет графена». Nature Materials . 6 (3): 183– 191. Bibcode :2007NatMa...6..183G. doi :10.1038/nmat1849. PMID  17330084. S2CID  14647602.
• Hasan, MZ; Xu, S.-Y.; Neupane, M (2015). «Топологические изоляторы, топологические полуметаллы Дирака, топологические кристаллические изоляторы и топологические изоляторы Кондо». В Ortmann, F.; Roche, S.; Valenzuela, SO (ред.). Топологические изоляторы . John Wiley & Sons. стр.  55– 100. doi :10.1002/9783527681594.ch4. ISBN 9783527681594.
• Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). «Вейлевские фермионы наконец-то обнаружены». Physics World . Получено 22 ноября 2018 г.
• Ciudad, David (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный». Nature Materials . 14 (9): 863. doi : 10.1038/nmat4411 . ISSN  1476-1122. PMID  26288972.
• Вишванат, Эшвин (8 сентября 2015 г.). «Там, где вещи Вейля». Физика . 8 : 84. Bibcode : 2015PhyOJ...8...84V. doi : 10.1103/Physics.8.84 . Получено 22 ноября 2018 г.
• Цзя, Шуан; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Weyl semimetals, Fermi arcs and chiral anomaly». Nature Materials . 15 (11): 1140– 1144. arXiv : 1612.00416 . Bibcode :2016NatMa..15.1140J. doi :10.1038/nmat4787. PMID  27777402. S2CID  1115349.