Интегральное правило Лейбница

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Leibniz integral rule" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2016) (Learn how and when to remove this message)

Part of a series of articles about
Calculus
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Fundamental theorem Limits Continuity Rolle's theorem Mean value theorem Inverse function theorem
Differential Definitions Derivative (generalizations) Differential infinitesimal of a function total Concepts Differentiation notation Second derivative Implicit differentiation Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В исчислении интегральное правило Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла, названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , гласит, что для интеграла вида где и подынтегральные выражения являются функциями, зависящими от производной этого интеграла, выражается как где частная производная указывает, что внутри интеграла рассматривается только изменение с при взятии производной. ^[1]$${\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$$${\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty }$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)\\&=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle x}$

В частном случае, когда функции и являются константами и имеют значения, не зависящие от , это упрощается до:${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle a(x)=a}$${\displaystyle b(x)=b}$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$$

Если является постоянным и , что является еще одной распространенной ситуацией (например, при доказательстве формулы повторного интегрирования Коши ), интегральное правило Лейбница принимает вид:${\displaystyle a(x)=a}$${\displaystyle b(x)=x}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}$$

Этот важный результат может, при определенных условиях, использоваться для замены интегральных и частных дифференциальных операторов и особенно полезен при дифференцировании интегральных преобразований . Примером такого результата является функция генерации моментов в теории вероятностей , вариация преобразования Лапласа , которая может быть дифференцирована для генерации моментов случайной величины . Применимо ли интегральное правило Лейбница, по сути, является вопросом о замене пределов .

Правую часть можно также записать с использованием обозначений Лагранжа следующим образом:${\textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}$

Более сильные версии теоремы требуют только того, чтобы частная производная существовала почти всюду , а не того, чтобы она была непрерывной. ^[2] Эта формула является общей формой интегрального правила Лейбница и может быть выведена с использованием основной теоремы исчисления . (Первая) основная теорема исчисления является просто частным случаем приведенной выше формулы , где является константой и не зависит от${\displaystyle a(x)=a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle b(x)=x,}$${\displaystyle f(x,t)=f(t)}$${\displaystyle x.}$

Если и верхний, и нижний пределы взять за константы, то формула примет вид операторного уравнения: где — частная производная по , а — интегральный оператор по фиксированному интервалу . То есть, это связано с симметрией вторых производных , но с участием как интегралов, так и производных. Этот случай также известен как интегральное правило Лейбница.$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}}$$${\displaystyle \partial _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}}$${\displaystyle t}$

Следующие три основные теоремы о замене пределов по существу эквивалентны:

• взаимозамена производной и интеграла (дифференцирование под знаком интеграла; т. е. интегральное правило Лейбница);
• изменение порядка частных производных;
• изменение порядка интегрирования (интегрирование под знаком интеграла; т. е. теорема Фубини ).

Интегральное правило Лейбница для двумерной поверхности, движущейся в трехмерном пространстве, имеет вид ^{[3] [4]}

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}$$

где:

• F ( r , t ) — векторное поле в пространственной позиции r в момент времени t ,
• Σ — поверхность, ограниченная замкнутой кривой ∂Σ ,
• d A — векторный элемент поверхности Σ ,
• d s — векторный элемент кривой ∂Σ ,
• v — скорость движения области Σ ,
• ∇⋅ — векторная дивергенция ,
• × — векторное векторное произведение ,
• Двойные интегралы являются поверхностными интегралами по поверхности Σ , а линейный интеграл — по ограничивающей кривой ∂Σ .

Интегральное правило Лейбница можно распространить на многомерные интегралы. В двух и трех измерениях это правило более известно из области динамики жидкости как теорема Рейнольдса о переносе :$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}$$

где — скалярная функция, D ( t ) и ∂ D ( t ) обозначают изменяющуюся во времени связную область R ³ и ее границу соответственно, — эйлерова скорость границы (см. Лагранжевы и эйлеровы координаты ), а d Σ = n dS — единичная нормальная составляющая элемента поверхности .${\displaystyle F(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{b}}$

Общее утверждение интегрального правила Лейбница требует понятий из дифференциальной геометрии , в частности, дифференциальных форм , внешних производных , произведений клиньев и внутренних произведений . С этими инструментами интегральное правило Лейбница в n измерениях выглядит следующим образом ^[4] где Ω( t ) — изменяющаяся во времени область интегрирования, ω — p -форма, — векторное поле скорости, обозначает внутреннее произведение с , d _x ω — внешняя производная ω только по пространственным переменным и — производная ω по времени .$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},}$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}}$${\displaystyle i_{\mathbf {v} }}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\dot {\omega }}}$

Вышеприведенная формула может быть выведена непосредственно из того факта, что производная Ли хорошо взаимодействует с интегрированием дифференциальных форм для пространственно-временного многообразия , где внешняя производная пространства-времени равна , а поверхность имеет поле скорости пространства-времени . Поскольку имеет только пространственные компоненты, производную Ли можно упростить с помощью магической формулы Картана , которая после интегрирования по и использования обобщенной теоремы Стокса для второго члена сводится к трем искомым членам.$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,}$$${\displaystyle M=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle d\omega =dt\wedge {\dot {\omega }}+d_{x}\omega }$${\displaystyle \Omega (t)}$${\displaystyle \Psi ={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ={\mathcal {L}}_{\mathbf {v} }\omega +{\mathcal {L}}_{\frac {\partial }{\partial t}}\omega =i_{\mathbf {v} }d\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +i_{\frac {\partial }{\partial t}}d\omega =i_{\mathbf {v} }d_{x}\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +{\dot {\omega }}}$$${\displaystyle \Omega (t)}$

Пусть будет открытым подмножеством , а будет мерным пространством . Предположим, что удовлетворяет следующим условиям: ^{[5] [6] [2]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R} }$

1. ${\displaystyle f(x,\omega )}$является интегрируемой по Лебегу функцией для каждого .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x\in X}$
2. Почти для всех существует частная производная .${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle x\in X}$
3. Существует интегрируемая функция такая, что для всех и почти всех .${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Тогда, для всех ,${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .}$$

Доказательство основано на теореме о доминирующей сходимости и теореме о среднем значении (подробности ниже).

Сначала докажем случай постоянных пределов интегрирования a и b .

Мы используем теорему Фубини , чтобы изменить порядок интегрирования. Для каждого x и h , такого, что h > 0 и оба x и x + h находятся в пределах [ x ₀ , x ₁ ] , мы имеем:$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что рассматриваемые интегралы хорошо определены, поскольку непрерывны в замкнутом прямоугольнике и, следовательно, также равномерно непрерывны там; таким образом, их интегралы по dt или dx непрерывны по другой переменной и также интегрируемы по ней (по сути, это происходит потому, что для равномерно непрерывных функций можно перейти к пределу через знак интегрирования, как подробно описано ниже).${\displaystyle f_{x}(x,t)}$${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}$

Поэтому:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}}$$

Где мы определили: (мы можем заменить x ₀ здесь любой другой точкой между x ₀ и x )$${\displaystyle F(u):=\int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}$$

F дифференцируема с производной , поэтому мы можем взять предел, где h стремится к нулю. Для левой стороны этот предел равен:${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$$

Для правой части получаем: И тем самым доказываем желаемый результат:$${\displaystyle F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$

Если рассматриваемые интегралы являются интегралами Лебега , мы можем использовать теорему об ограниченной сходимости (справедливую для этих интегралов, но не для интегралов Римана ), чтобы показать, что предел можно перейти через знак интеграла.

Обратите внимание, что это доказательство слабее в том смысле, что оно показывает только, что f _x ( x , t ) интегрируема по Лебегу, но не то, что она интегрируема по Риману. В первом (более сильном) доказательстве, если f ( x , t ) интегрируема по Риману, то f _x ( x , t ) также интегрируема (и, таким образом, очевидно, также интегрируема по Лебегу).

Позволять

$${\displaystyle u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.}$$

( 1 )

По определению производной,

$${\displaystyle u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.}$$

( 2 )

Подставим уравнение ( 1 ) в уравнение ( 2 ). Разность двух интегралов равна интегралу разности, а 1/ h — константа, поэтому$${\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}}$$

Покажем теперь, что предел можно перейти через знак интеграла.

Мы утверждаем, что переход предела под знаком интеграла действителен по теореме об ограниченной сходимости (следствие теоремы о доминируемой сходимости ). Для каждого δ > 0 рассмотрим разностное отношение При фиксированном t теорема о среднем значении подразумевает, что существует z в интервале [ x , x + δ ] такое, что Непрерывность f _x ( x , t ) и компактность области вместе подразумевают, что f _x ( x , t ) ограничена. Таким образом, приведенное выше применение теоремы о среднем значении дает равномерную (независимую от ) границу на . Разностные отношения сходятся поточечно к частной производной f _x в предположении, что частная производная существует.$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.}$$$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)}$

Приведенный выше аргумент показывает, что для любой последовательности { δ _n } → 0 последовательность равномерно ограничена и сходится поточечно к f _x . Теорема об ограниченной сходимости утверждает, что если последовательность функций на множестве конечной меры равномерно ограничена и сходится поточечно, то переход предела под интегралом действителен. В частности, предел и интеграл можно поменять местами для любой последовательности { δ _n } → 0. Следовательно, предел при δ → 0 можно перейти через знак интеграла. ${\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}$

Если вместо этого мы знаем только, что существует интегрируемая функция такая, что , то и теорема о доминирующей сходимости позволяет нам переместить предел внутрь интеграла.${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$${\displaystyle |f_{\delta }(x,t)|=|f_{x}(z,t)|\leq \theta (\omega )}$

Для непрерывной действительной функции g одной действительной переменной и действительной дифференцируемой функции и одной действительной переменной,${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Это следует из цепного правила и первой фундаментальной теоремы исчисления . Определим и (нижний предел должен быть просто некоторым числом в области )$${\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,}$$$${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.}$$${\displaystyle g}$

Тогда, можно записать в виде композиции : . Правило цепочки тогда подразумевает, что По первой фундаментальной теореме исчисления , . Поэтому, подставляя этот результат выше, мы получаем искомое уравнение:${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}$$${\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).}$$${\displaystyle \Gamma '(x)=g(x)}$$${\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Примечание: Эта форма может быть особенно полезна, если дифференцируемое выражение имеет вид: Поскольку не зависит от пределов интегрирования, его можно вынести из-под знака интеграла, и указанную выше форму можно использовать с правилом произведения , т.е.$${\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)\,g(t)\,dt}$$${\displaystyle h(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)&={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\\&=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\end{aligned}}}$$

Установите , где a и b являются функциями α , которые показывают приращения Δ a и Δ b соответственно, когда α увеличивается на Δ α . Тогда,$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Форма теоремы о среднем значении , где a < ξ < b , может быть применена к первому и последнему интегралам формулы для Δ φ выше, что приводит к${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$$${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Разделим на Δ α и пусть Δ α → 0. Обратите внимание, что ξ ₁ → a и ξ ₂ → b . Мы можем перейти к пределу через знак интеграла: снова по теореме об ограниченной сходимости. Это дает общую форму интегрального правила Лейбница,$${\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,}$$$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}$$

Общая форма интегрального правила Лейбница с переменными пределами может быть выведена как следствие базовой формы интегрального правила Лейбница, правила многомерной цепи и первой фундаментальной теоремы исчисления . Предположим , что определено в прямоугольнике на плоскости, для и . Также предположим, что и частная производная являются непрерывными функциями на этом прямоугольнике. Предположим, что являются дифференцируемыми действительными функциями, определенными на , со значениями в (т.е. для каждого ). Теперь положим и ${\displaystyle f}$${\displaystyle x-t}$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle f}$${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}$$${\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]}$$$${\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]}$$

Тогда, по свойствам определенных интегралов , мы можем записать$${\displaystyle G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt=F(x,b(x))-F(x,a(x))}$$

Так как все функции дифференцируемы (см. замечание в конце доказательства), то по правилу цепочки многих переменных следует, что дифференцируема, а ее производная задается формулой: Теперь заметим, что для каждого и для каждого мы имеем, что , поскольку при взятии частной производной по отношению к , мы сохраняем фиксированным в выражении ; таким образом, применяется основная форма интегрального правила Лейбница с постоянными пределами интегрирования. Далее, по первой основной теореме исчисления мы имеем, что ; поскольку при взятии частной производной по отношению к , первая переменная фиксирована, поэтому основную теорему действительно можно применить.${\displaystyle F,a,b}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)}$$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle y}$${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$

Подставляя эти результаты в уравнение выше, получаем: как и требовалось.${\displaystyle G'(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}$$

В приведенном выше доказательстве есть технический момент, который стоит отметить: применение цепного правила к требует, чтобы уже была дифференцируемой . Именно здесь мы используем наши предположения о . Как упоминалось выше, частные производные от задаются формулами и . Поскольку является непрерывной, ее интеграл также является непрерывной функцией, ^[7] и поскольку также является непрерывной, эти два результата показывают, что обе частные производные от непрерывны. Поскольку непрерывность частных производных подразумевает дифференцируемость функции, ^[8] действительно дифференцируема.${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

В момент времени t поверхность Σ на рисунке 1 содержит набор точек, расположенных вокруг центроида . Функцию можно записать как с независимой от времени. Переменные смещаются в новую систему отсчета, прикрепленную к движущейся поверхности, с началом в . Для жестко перемещающейся поверхности пределы интегрирования тогда не зависят от времени, так что: где пределы интегрирования, ограничивающие интеграл областью Σ, больше не зависят от времени, так что дифференцирование проходит через интегрирование, чтобы воздействовать только на подынтегральное выражение: со скоростью движения поверхности, определяемой как${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),}$$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}$$

Это уравнение выражает материальную производную поля, то есть производную относительно системы координат, прикрепленной к движущейся поверхности. Найдя производную, переменные можно переключить обратно в исходную систему отсчета. Мы замечаем, что (см. статью о rot ) и что теорема Стокса приравнивает поверхностный интеграл rot по Σ к линейному интегралу по ∂Σ :$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .}$$

Знак линейного интеграла основан на правиле правой руки для выбора направления линейного элемента d s . Чтобы установить этот знак, например, предположим, что поле F указывает в положительном направлении z , а поверхность Σ является частью плоскости xy с периметром ∂Σ. Мы принимаем нормаль к Σ в положительном направлении z . Положительный обход ∂Σ тогда происходит против часовой стрелки (правило правой руки с большим пальцем вдоль оси z ). Тогда интеграл в левой части определяет положительный поток F через Σ. Предположим, что Σ перемещается в положительном направлении x со скоростью v . Элемент границы Σ, параллельный оси y , скажем, d s , заметает площадь v t × d s за время t . Если мы интегрируем вокруг границы ∂Σ против часовой стрелки, v t × d s указывает в отрицательном направлении z на левой стороне ∂Σ (где d s указывает вниз) и в положительном направлении z на правой стороне ∂Σ (где d s указывает вверх), что имеет смысл, поскольку Σ движется вправо, добавляя площадь справа и теряя ее слева. На этой основе поток F увеличивается справа от ∂Σ и уменьшается слева. Однако скалярное произведение v × F ⋅ d s = − F × v ⋅ d s = − F ⋅ v × d s . Следовательно, знак линейного интеграла принимается отрицательным.

Если v — константа, то какой результат указан. Это доказательство не рассматривает возможность деформации поверхности при ее движении.$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}$$

Лемма. Имеем:$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}$$

Доказательство. Из доказательства основной теоремы исчисления ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}}$$и$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}$$

Предположим, что a и b постоянны, и что f ( x ) включает параметр α , который постоянен при интегрировании, но может изменяться для формирования различных интегралов. Предположим, что f ( x , α ) является непрерывной функцией x и α в компактном множестве {( x , α ) : α ₀ ≤ α ≤ α ₁ и a ≤ x ≤ b }, и что частная производная f _α ( x , α ) существует и непрерывна. Если определить: то можно дифференцировать по α , дифференцируя под знаком интеграла, т. е.$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

По теореме Гейне–Кантора он равномерно непрерывен в этом множестве. Другими словами, для любого ε > 0 существует Δ α такое, что для всех значений x в [ a , b ],$${\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}$$

С другой стороны,$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}$$

Следовательно, φ ( α ) является непрерывной функцией.

Аналогично, если существует и является непрерывным, то для всех ε > 0 существует Δ α такое, что:${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )}$$${\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}$$

Поэтому, где$${\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,}$$$${\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}$$

Теперь ε → 0 при Δ α → 0, поэтому$${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

Это формула, которую мы намеревались доказать.

Теперь предположим, что a и b являются функциями α , которые принимают приращения Δ a и Δ b соответственно, когда α увеличивается на Δ α . Тогда,$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Форму теоремы о среднем значении , где a < ξ < b , можно применить к первому и последнему интегралам формулы для Δ φ выше, что приводит к${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}$$${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Разделив на Δ α , допуская Δ α → 0, замечая ξ ₁ → a и ξ ₂ → b и используя приведенный выше вывод, получаем$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx}$$$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$$

Это общая форма интегрального правила Лейбница.

Рассмотрим функцию$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.}$$

Функция под знаком интеграла не является непрерывной в точке ( x , α ) = (0, 0), а функция φ ( α ) имеет разрыв при α = 0, поскольку φ ( α ) стремится к ± π /2 при α → 0 ^± .

Если мы дифференцируем φ ( α ) по α под знаком интеграла, то получим для α ≠0. Это можно проинтегрировать (по α ), чтобы найти$${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},}$$$${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}}$$