Общее правило Лейбница

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Формулы редукции Дифференцируем под знаком интеграла алгоритм Риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Переменный Власть Биномиальный Тейлор Тесты на сходимость Предел слагаемого (тест термина) Соотношение Корень Интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Переменный ряд Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Дивергенция Завиток Лапласиан Направленная производная Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Дивергенция обобщенный Стокса Разложение Гельмгольца
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Экстерьер Геометрический Определения Частичная производная Множественный интеграл Интеграл линии Поверхностный интеграл Интеграл объема якобианский Гессен
Передовой Исчисление в евклидовом пространстве Обобщенные функции Лимит распределений
Специализированный Дробный Маллиавен Стохастический Вариации
Разное Предварительное исчисление История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Математический анализ Нестандартный анализ
в т е

В исчислении общее правило Лейбница [ ^1], названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , обобщает правило произведения (которое также известно как «правило Лейбница»). Оно гласит, что если и являются n -кратно дифференцируемыми функциями , то произведение также является n -кратно дифференцируемым и его n -я производная определяется как, где — биномиальный коэффициент , а обозначает j -ю производную функции f (и, в частности, ).${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$$${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$$${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$${\displaystyle f^{(j)}}$${\displaystyle f^{(0)}=f}$

Правило можно доказать, используя правило произведения и математическую индукцию .

Если, например, n = 2 , правило дает выражение для второй производной произведения двух функций:$${\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}$$

Формулу можно обобщить до произведения m дифференцируемых функций f ₁ ,..., f _m . где сумма распространяется на все m -кортежи ( k ₁ ,..., k _m ) неотрицательных целых чисел с и являются коэффициентами полинома . Это похоже на формулу полинома из алгебры.$${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$$${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$$${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$$

Доказательство общего правила Лейбница проводится по индукции. Пусть и будут -раз дифференцируемыми функциями. Базовый случай, когда утверждает, что: что является обычным правилом произведения и, как известно, является истинным. Далее, предположим, что утверждение справедливо для фиксированного , то есть, что${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$$${\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}$$${\displaystyle n\geq 1,}$$${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}$$

Тогда, И поэтому утверждение справедливо для , и доказательство завершено.$${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle n+1}$

При использовании многоиндексной записи частных производных функций нескольких переменных правило Лейбница формулируется в более общем виде:$${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}$$

Эту формулу можно использовать для вывода формулы, которая вычисляет символ композиции дифференциальных операторов. Фактически, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточно много раз) и Поскольку R также является дифференциальным оператором, символ R задается как:${\displaystyle R=P\circ Q.}$$${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$$

Прямой расчет теперь дает:$${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}$$

Эта формула обычно известна как формула Лейбница. Она используется для определения композиции в пространстве символов, тем самым индуцируя кольцевую структуру.

• Биномиальная теорема  – Алгебраическое разложение степеней двучлена
• Вывод (дифференциальная алгебра)  – Алгебраическое обобщение производной
• Производная  – Мгновенная скорость изменения (математика)
• Дифференциальная алгебра  – Алгебраическое исследование дифференциальных уравнений
• Треугольник Паскаля  – Треугольный массив биномиальных коэффициентов в математике
• Правило произведения  – Формула производной произведения
• Правило частного  – Формула производной отношения функций