Изделия для интерьера
Отображение из p-форм в p-1-формы

В математике внутреннее произведение (также известное как внутренняя производная , внутреннее умножение , внутреннее умножение , внутренняя производная , оператор вставки или внутренняя производная ) — это (анти)вывод степени −1 на внешней алгебре дифференциальных форм на гладком многообразии . Внутреннее произведение, названное в противовес внешнему произведению , не следует путать со внутренним произведением . Внутреннее произведение иногда записывается как [1] й Х ω {\displaystyle \iota _{X}\omega } Х ⌟ ω . {\displaystyle X\mathbin {\lrcorner } \omega .}

Определение

Внутреннее произведение определяется как контракция дифференциальной формы с векторным полем . Таким образом, если - векторное поле на многообразии , то - отображение , которое отправляет -форму в -форму, определяемую свойством, что для любых векторных полей Х {\displaystyle X} М , {\displaystyle М,} й Х : Ω п ( М ) → Ω п − 1 ( М ) {\displaystyle \iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)} п {\displaystyle p} ω {\displaystyle \омега} ( п − 1 ) {\displaystyle (p-1)} й Х ω {\displaystyle \iota _{X}\omega } ( й Х ω ) ( Х 1 , … , Х п − 1 ) = ω ( Х , Х 1 , … , Х п − 1 ) {\displaystyle (\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)} Х 1 , … , Х п − 1 . {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}.}

Когда — скалярное поле (0-форма), по соглашению. ω {\displaystyle \омега} й Х ω = 0 {\displaystyle \iota _{X}\omega =0}

Внутреннее произведение является единственным антивыводом степени −1 на внешней алгебре таким, что на одномерных формах , где — дуальность, спаривание между и вектором Явно, если — -форма и — -форма, то Приведенное выше соотношение говорит о том, что внутреннее произведение подчиняется градуированному правилу Лейбница . Операция, удовлетворяющая линейности и правилу Лейбница, называется выводом. α {\displaystyle \альфа} й Х α = α ( Х ) = ⟨ α , Х ⟩ , {\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha,X\rangle,} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \,\cdot,\cdot \,\rangle} α {\displaystyle \альфа} Х . {\displaystyle X.} β {\displaystyle \бета} п {\displaystyle p} γ {\displaystyle \гамма} д {\displaystyle д} й Х ( β ∧ γ ) = ( й Х β ) ∧ γ + ( − 1 ) п β ∧ ( й Х γ ) . {\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=\left(\iota _{X}\beta \right)\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge \left(\iota _{X}\gamma \right).}

Характеристики

Если в локальных координатах векторное поле задается выражением ( х 1 , . . . , х н ) {\displaystyle (x_{1},...,x_{n})} Х {\displaystyle X}

Х = ф 1 ∂ ∂ х 1 + ⋯ + ф н ∂ ∂ х н {\displaystyle X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}

тогда внутреннее произведение задается выражением , где — форма, полученная путем исключения из . й Х ( г х 1 ∧ . . . ∧ г х н ) = ∑ г = 1 н ( − 1 ) г − 1 ф г г х 1 ∧ . . . ∧ г х г ^ ∧ . . . ∧ г х н , {\displaystyle \iota _{X}(dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n},} г х 1 ∧ . . . ∧ г х г ^ ∧ . . . ∧ г х н {\displaystyle dx_{1}\клин ...\клин {\widehat {dx_{r}}}\клин ...\клин dx_{n}} г х г {\displaystyle dx_{r}} г х 1 ∧ . . . ∧ г х н {\displaystyle dx_{1}\клин ...\клин dx_{n}}

По антисимметрии форм, и т.д. Это можно сравнить с внешней производной , которая имеет свойство й Х й И ω = − й И й Х ω , {\ displaystyle \ iota _ {X} \ iota _ {Y} \ omega =- \ iota _ {Y} \ iota _ {X} \ omega,} й Х ∘ й Х = 0. {\displaystyle \iota _ {X} \circ \iota _ {X} = 0.} г , {\displaystyle д,} г ∘ г = 0. {\displaystyle d\circ d=0.}

Внутреннее произведение относительно коммутатора двух векторных полей удовлетворяет тождеству Доказательство. Для любой k-формы и аналогично для другого результата. Х , {\displaystyle X,} И {\displaystyle Y} й [ Х , И ] = [ Л Х , й И ] = [ й Х , Л И ] . {\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right]=\left[\iota _{X},{\mathcal {L}}_{Y}\right].} Ω {\displaystyle \Омега} Л Х ( й И Ω ) − й И ( Л Х Ω ) = ( Л Х Ω ) ( И , − ) + Ω ( Л Х И , − ) − ( Л Х Ω ) ( И , − ) = й Л Х И Ω = й [ Х , И ] Ω {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\Omega)-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\Omega) = ({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)+\Omega ({\mathcal {L}}_{X}Y,-)-({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)=\iota _{{\mathcal {L}}_{X}Y}\Omega =\iota _{[X,Y]}\Omega }

Картан идентичность

Внутреннее произведение связывает внешнюю производную и производную Ли дифференциальных форм с помощью формулы Картана (также известной как тождество Картана , гомотопическая формула Картана [2] или магическая формула Картана ) : Л Х ω = г ( й Х ω ) + й Х г ω = { г , й Х } ω . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}

где использовался антикоммутатор . Это тождество определяет дуальность между внешними и внутренними производными. Тождество Картана важно в симплектической геометрии и общей теории относительности : см. карту моментов . [3] Формула гомотопии Картана названа в честь Эли Картана . [4]

Доказательство прямым вычислением [5]

Поскольку векторные поля локально интегрируемы, мы всегда можем найти локальную систему координат, такую, что векторное поле будет соответствовать частной производной по первой координате, т. е . . ( ξ 1 , … , ξ н ) {\displaystyle (\xi ^{1},\точки,\xi ^{n})} Х {\displaystyle X} Х = ∂ 1 {\displaystyle X=\partial _{1}}

В силу линейности внутреннего произведения, внешней производной и производной Ли достаточно доказать магическую формулу Картана для мономиальных -форм. Имеются только два случая: к {\displaystyle к}

Случай 1: Прямое вычисление дает: α = а г ξ 1 ∧ г ξ 2 ∧ ⋯ ∧ г ξ к {\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{1}\клин d\xi ^{2}\клин \точки \клин d\xi ^{k}} й Х α = а г ξ 2 ∧ ⋯ ∧ г ξ к , г ( й Х α ) = ( ∂ 1 а ) г ξ 1 ∧ г ξ 2 ∧ ⋯ ∧ г ξ к + ∑ я = к + 1 н ( ∂ я а ) г ξ я ∧ г ξ 2 ∧ ⋯ ∧ г ξ к , г α = ∑ я = к + 1 н ( ∂ я а ) г ξ я ∧ г ξ 1 ∧ г ξ 2 ∧ ⋯ ∧ г ξ к , й Х ( г α ) = − ∑ я = к + 1 н ( ∂ я а ) г ξ я ∧ г ξ 2 ∧ ⋯ ∧ г ξ к , Л Х α = ( ∂ 1 а ) г ξ 1 ∧ г ξ 2 ∧ ⋯ ∧ г ξ к . {\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=a\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d(\iota _{X}\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}+\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d\alpha &=\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\\iota _{X}(d\alpha )&=-\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}.\end{aligned}}}

Случай 2: Прямое вычисление дает: α = a d ξ 2 ∧ d ξ 3 ∧ ⋯ ∧ d ξ k + 1 {\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{2}\wedge d\xi ^{3}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}} ι X α = 0 , d α = ( ∂ 1 a ) d ξ 1 ∧ d ξ 2 ∧ ⋯ ∧ d ξ k + 1 + ∑ i = k + 2 n ( ∂ i a ) d ξ i ∧ d ξ 2 ∧ ⋯ ∧ d ξ k + 1 , ι X ( d α ) = ( ∂ 1 a ) d ξ 2 ∧ ⋯ ∧ d ξ k + 1 , L X α = ( ∂ 1 a ) d ξ 2 ∧ ⋯ ∧ d ξ k + 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=0,\\d\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}+\sum _{i=k+2}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\\iota _{X}(d\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}.\end{aligned}}}

Доказательство с помощью абстрактной алгебры, приписываемое Шиинг-Шен Черну [4]

Внешняя производная является антивыводом на внешней алгебре. Аналогично, внутреннее произведение с векторным полем также является антивыводом. С другой стороны, производная Ли является выводом. d {\displaystyle d} ι X {\displaystyle \iota _{X}} X {\displaystyle X} L X {\displaystyle L_{X}}

Антикоммутатор двух антивыводов является выводом.

Чтобы показать, что два вывода на внешней алгебре равны, достаточно показать, что они согласуются на наборе генераторов. Локально внешняя алгебра порождается 0-формами (гладкими функциями ) и их дифференциалами, точными 1-формами ( ). Проверьте магическую формулу Картана для этих двух случаев. f {\displaystyle f} d f {\displaystyle df}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Символ ⨼ — это U+2A3C INTERIOR PRODUCT в Unicode.
  2. ^ Ту, раздел 20.5.
  3. ^ Есть еще одна формула, называемая «формулой Картана». См. алгебра Стинрода .
  4. ^ ab «Волшебная формула Картана» принадлежит Эли или Анри?, MathOverflow , 21.09.2010 , получено 25.06.2018
  5. ↑ Элементарное доказательство магической формулы Картана , Олег Зубелевич.

Ссылки

  • Теодор Франкель, Геометрия физики: Введение ; Издательство Кембриджского университета, 3-е изд., 2011 г.
  • Лоринг В. Ту, Введение в многообразия , 2e, Springer. 2011. doi :10.1007/978-1-4419-7400-6
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Interior_product&oldid=1249123324"