Дифференцируемый стек

Дифференцируемый стек — это аналог в дифференциальной геометрии алгебраического стека в алгебраической геометрии . Его можно описать либо как стек над дифференцируемыми многообразиями , допускающий атлас, либо как группоид Ли с точностью до эквивалентности Мориты . [1]

Дифференцируемые стеки особенно полезны для обработки пространств с особенностями (т. е. орбифолдов, листовых пространств, фактор-пространств), которые естественным образом появляются в дифференциальной геометрии, но не являются дифференцируемыми многообразиями. Например, дифференцируемые стеки имеют приложения в теории расслоения , [2] геометрии Пуассона [3] и скрученной K-теории . [4]

Определение

Определение 1 (через группоидные расслоения)

Напомним, что категория, расслоенная на группоиды (также называемая расслоением группоидов ), состоит из категории вместе с функтором в категорию дифференцируемых многообразий таким, что С {\displaystyle {\mathcal {C}}} π : С → М ф г {\displaystyle \pi :{\mathcal {C}} \to \mathrm {Mfd} }

  1. С {\displaystyle {\mathcal {C}}} является волокнистой категорией , т.е. для любого объекта и любой стрелки существует стрелка, лежащая над ; ты {\displaystyle u} С {\displaystyle {\mathcal {C}}} В → У {\displaystyle V\to U} М ф г {\displaystyle \mathrm {Mfd} } в → ты {\displaystyle v\to u} В → У {\displaystyle V\to U}
  2. для каждого коммутативного треугольника в и каждой стрелки над и над , существует единственная стрелка над , делающая треугольник коммутативным. Вт → В → У {\displaystyle W\to V\to U} М г ф {\displaystyle \mathrm {Mdf} } ж → ты {\displaystyle w\to u} Вт → У {\displaystyle W\to U} в → ты {\displaystyle v\to u} В → У {\displaystyle V\to U} ж → в {\displaystyle w\to v} Вт → В {\displaystyle W\to V} ж → в → ты {\displaystyle w\to v\to u}

Эти свойства гарантируют, что для каждого объекта в можно определить его волокно , обозначаемое или , как подкатегорию из составленную всеми объектами , лежащими над и всеми морфизмами , лежащими над . По построению, является группоидом , что объясняет название. Стек — это расслоение группоида, удовлетворяющее дополнительным свойствам склеивания, выраженным в терминах спуска . У {\displaystyle U} М ф г {\displaystyle \mathrm {Mfd} } π − 1 ( У ) {\displaystyle \пи ^{-1}(U)} С У {\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}} С {\displaystyle {\mathcal {C}}} С {\displaystyle {\mathcal {C}}} У {\displaystyle U} С {\displaystyle {\mathcal {C}}} я г У {\displaystyle id_{U}} π − 1 ( У ) {\displaystyle \пи ^{-1}(U)}

Любое многообразие определяет свою категорию среза , объектами которой являются пары многообразия и гладкого отображения ; тогда есть группоидное расслоение, которое на самом деле также является стеком. Морфизм группоидных расслоений называется представимой субмерсией, если Х {\displaystyle X} Ф Х = ЧАС о м М г ф ( − , Х ) {\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _ {\mathrm {Mdf} }(-,X)} ( У , ф ) {\displaystyle (U,f)} У {\displaystyle U} ф : У → Х {\displaystyle f:U\to X} Ф Х → М г ф , ( У , ф ) ↦ У {\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mdf}, (U,f)\mapsto U} С → Д {\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}

  • для любого многообразия и любого морфизма расслоенное произведение представимо , т.е. оно изоморфно (для некоторого многообразия ) группоидным расслоениям; У {\displaystyle U} Ф У → Д {\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}} С × Д Ф У {\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}} Ф В {\displaystyle F_{V}} И {\displaystyle Y}
  • индуцируемое гладкое отображение является погружением . В → У {\displaystyle V\to U}

Дифференцируемый стек — это стек вместе с особым видом представимой субмерсии (каждая субмерсия , описанная выше, должна быть сюръективной ), для некоторого многообразия . Карта называется атласом, представлением или покрытием стека . [5] [6] π : С → М ф г {\displaystyle \pi :{\mathcal {C}} \to \mathrm {Mfd} } Ф Х → С {\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}} В → У {\displaystyle V\to U} Х {\displaystyle X} Ф Х → С {\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}} Х {\displaystyle X}

Определение 2 (через 2-функторы)

Напомним, что предстек (группоидов) на категории , также известный как 2 - предпучок , является 2-функтором , где — 2-категория (теоретико-множественных) группоидов , их морфизмов и естественных преобразований между ними. Стек — это предстек, удовлетворяющий дополнительным свойствам склеивания (аналогично свойствам склеивания, которым удовлетворяет пучок). Чтобы точно сформулировать такие свойства, нужно определить (пред)стеки на сайте , т.е. категорию, снабженную топологией Гротендика . С {\displaystyle {\mathcal {C}}} Х : С против → Г г п {\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } Г г п {\displaystyle \mathrm {Grp} }

Любой объект определяет стек , который связывает с другим объектом группоид морфизмов из в . Стек называется геометрическим, если существует объект и морфизм стеков (часто называемый атласом, презентацией или покрытием стека ) такие, что М ∈ О б дж ( С ) {\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})} М _ := ЧАС о м С ( − , М ) {\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _ {\mathcal {C}}(-,M)} Н ∈ О б дж ( С ) {\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})} ЧАС о м С ( Н , М ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)} N {\displaystyle N} M {\displaystyle M} X : C opp → G r p {\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } M ∈ O b j ( C ) {\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})} M _ → X {\displaystyle {\underline {M}}\to X} X {\displaystyle X}

  • морфизм представим, т.е. для каждого объекта из и любого морфизма расслоенное произведение изоморфно (для некоторого объекта ) в виде стеков; M _ → X {\displaystyle {\underline {M}}\to X} Y {\displaystyle Y} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} Y → X {\displaystyle Y\to X} M _ × X Y _ {\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}} Z _ {\displaystyle {\underline {Z}}} Z {\displaystyle Z}
  • индуцирующий морфизм удовлетворяет дополнительному свойству в зависимости от категории (например, для многообразия предполагается, что оно является погружением ). Z → Y {\displaystyle Z\to Y} C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

Дифференцируемый стек — это стек на , категории дифференцируемых многообразий (рассматриваемой как сайт с обычной топологией открытого покрытия), т.е. 2-функтор , который также является геометрическим, т.е. допускает атлас, как описано выше. [7] [8] C = M f d {\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} } X : M f d opp → G r p {\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } M _ → X {\displaystyle {\underline {M}}\to X}

Обратите внимание, что, заменяя на категорию аффинных схем , мы восстанавливаем стандартное понятие алгебраического стека . Аналогично, заменяя на категорию топологических пространств , мы получаем определение топологического стека. M f d {\displaystyle \mathrm {Mfd} } M f d {\displaystyle \mathrm {Mfd} }

Определение 3 (через эквивалентности Мориты)

Напомним, что группоид Ли состоит из двух дифференцируемых многообразий и , а также двух сюръективных субмерсий , а также частичного отображения умножения , единичного отображения и обратного отображения , удовлетворяющих групповым совместимости. G {\displaystyle G} M {\displaystyle M} s , t : G → M {\displaystyle s,t:G\to M} m : G × M G → G {\displaystyle m:G\times _{M}G\to G} u : M → G {\displaystyle u:M\to G} i : G → G {\displaystyle i:G\to G}

Два группоида Ли и эквивалентны по Морите , если между ними существует главное бирасслоение , т. е. главное правое -расслоение , главное левое -расслоение , такое, что два действия на коммутируют. Эквивалентность Морите - это отношение эквивалентности между группоидами Ли, более слабое, чем изоморфизм, но достаточно сильное, чтобы сохранить многие геометрические свойства. G ⇉ M {\displaystyle G\rightrightarrows M} H ⇉ N {\displaystyle H\rightrightarrows N} P {\displaystyle P} H {\displaystyle H} P → M {\displaystyle P\to M} G {\displaystyle G} P → N {\displaystyle P\to N} P {\displaystyle P}

Дифференцируемый стек , обозначаемый как , является классом эквивалентности Мориты некоторого группоида Ли . [5] [9] [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} G ⇉ M {\displaystyle G\rightrightarrows M}

Эквивалентность определений 1 и 2

Любая расслоенная категория определяет 2-пучок . Наоборот, любой предстек порождает категорию , чьи объекты являются парами многообразия и объекта , а чьи морфизмы являются отображениями такими, что . Это становится расслоенной категорией с функтором . C → M d f {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} } X : M d f o p p → G r p , U ↦ π − 1 ( U ) {\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)} X : M d f opp → G r p {\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } C {\displaystyle {\mathcal {C}}} ( U , x ) {\displaystyle (U,x)} U {\displaystyle U} x ∈ X ( U ) {\displaystyle x\in X(U)} ϕ : ( U , x ) → ( V , y ) {\displaystyle \phi :(U,x)\to (V,y)} X ( ϕ ) ( y ) = x {\displaystyle X(\phi )(y)=x} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C → M d f , ( U , x ) ↦ U {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U}

Свойства склеивания, определяющие стек в первом и втором определении, эквивалентны; аналогично, атлас в смысле определения 1 индуцирует атлас в смысле определения 2 и наоборот. [5]

Эквивалентность определений 2 и 3

Каждый группоид Ли порождает дифференцируемый стек , который переводит любое многообразие в категорию - торсоров на (т.е. - главных расслоений ). Любой другой группоид Ли в классе Мориты индуцирует изоморфный стек. G ⇉ M {\displaystyle G\rightrightarrows M} B G : M f d opp → G r p {\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} G ⇉ M {\displaystyle G\rightrightarrows M}

Наоборот, любой дифференцируемый стек имеет вид , т.е. он может быть представлен группоидом Ли. Точнее, если является атласом стека , то определяется группоид Ли и проверяется, что он изоморфен . X : M f d opp → G r p {\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } B G {\displaystyle BG} M _ → X {\displaystyle {\underline {M}}\to X} X {\displaystyle X} G X := M × X M ⇉ M {\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M} B G X {\displaystyle BG_{X}} X {\displaystyle X}

Теорема Доретт Пронк утверждает эквивалентность бикатегорий между дифференцируемыми стеками согласно первому определению и группоидами Ли с точностью до эквивалентности Мориты. [10]

Примеры

  • Любое многообразие определяет дифференцируемый стек , который тривиально представляется тождественным морфизмом . Стек соответствует классу эквивалентности Мориты единичного группоида . M {\displaystyle M} M _ := H o m H o m ( − , M ) {\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)} M _ → M _ {\displaystyle {\underline {M}}\to {\underline {M}}} M _ {\displaystyle {\underline {M}}} u ( M ) ⇉ M {\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}
  • Любая группа Ли определяет дифференцируемый стек , который переводит любое многообразие в категорию -главного расслоения на . Он представлен тривиальным морфизмом стека , переводящим точку в универсальное -расслоение над классифицирующим пространством . Стек соответствует классу эквивалентности Мориты , рассматриваемому как группоид Ли над точкой (т. е. классу эквивалентности Мориты любых транзитивных группоидов Ли с изотропией ). G {\displaystyle G} B G {\displaystyle BG} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} p t _ → B G {\displaystyle {\underline {pt}}\to BG} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} B G {\displaystyle BG} G ⇉ { ∗ } {\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}} G {\displaystyle G}
  • Любое слоение на многообразии определяет дифференцируемый стек через свои листовые пространства. Он соответствует классу эквивалентности Мориты группоида голономии . F {\displaystyle {\mathcal {F}}} M {\displaystyle M} H o l ( F ) ⇉ M {\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}
  • Любой орбифолд является дифференцируемым стеком, поскольку он является классом эквивалентности Мориты собственного группоида Ли с дискретными изотропиями (следовательно, конечными , поскольку изотропии собственных группоидов Ли компактны ).

Факторно-дифференцируемый стек

При заданном действии группы Ли на , ее факторный (дифференцируемый) стек является дифференциальным аналогом факторного (алгебраического) стека в алгебраической геометрии. Он определяется как стек, сопоставляющий любому многообразию категорию главных -расслоений и -эквивариантных отображений . Это дифференцируемый стек, представленный морфизмом стека, определенным для любого многообразия как a : M × G → M {\displaystyle a:M\times G\to M} M {\displaystyle M} [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} X {\displaystyle X} G {\displaystyle G} P → X {\displaystyle P\to X} G {\displaystyle G} ϕ : P → M {\displaystyle \phi :P\to M} M _ → [ M / G ] {\displaystyle {\underline {M}}\to [M/G]} X {\displaystyle X}

M _ ( X ) = H o m ( X , M ) → [ M / G ] ( X ) , f ↦ ( X × G → X , ϕ f ) {\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})}

где - -эквивариантное отображение . [7] ϕ f : X × G → M {\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M} G {\displaystyle G} ϕ f = a ∘ ( f ∘ p r 1 , p r 2 ) : ( x , g ) ↦ f ( x ) ⋅ g {\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g}

Стек соответствует классу эквивалентности Мориты группоида действия . Соответственно, можно восстановить следующие частные случаи: [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} M × G ⇉ M {\displaystyle M\times G\rightrightarrows M}

  • если - точка, то дифференцируемый стек совпадает с M {\displaystyle M} [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} B G {\displaystyle BG}
  • если действие свободно и правильно (и, следовательно, фактор является многообразием), то дифференцируемый стек совпадает с M / G {\displaystyle M/G} [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} M / G _ {\displaystyle {\underline {M/G}}}
  • если действие является собственным (и, следовательно, фактор является орбифолдом), дифференцируемый стек совпадает со стеком, определяемым орбифолдом M / G {\displaystyle M/G} [ M / G ] {\displaystyle [M/G]}

Дифференциальное пространство

Дифференцируемое пространство — это дифференцируемый стек с тривиальными стабилизаторами. Например, если группа Ли действует свободно, но не обязательно правильно на многообразии, то фактор по ней в общем случае не является многообразием, а дифференцируемым пространством.

С топологией Гротендика

Дифференцируемый стек может быть снабжен топологией Гротендика определенным образом (см. ссылку). Это дает понятие пучка над . Например, пучок дифференциальных -форм над задается как для любого в над многообразием , пусть будет пространством -форм на . Пучок называется структурным пучком на и обозначается как . поставляется с внешней производной и, таким образом, является комплексом пучков векторных пространств над : таким образом, имеется понятие когомологий де Рама для . X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} Ω X p {\displaystyle \Omega _{X}^{p}} p {\displaystyle p} X {\displaystyle X} x {\displaystyle x} X {\displaystyle X} U {\displaystyle U} Ω X p ( x ) {\displaystyle \Omega _{X}^{p}(x)} p {\displaystyle p} U {\displaystyle U} Ω X 0 {\displaystyle \Omega _{X}^{0}} X {\displaystyle X} O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} Ω X ∗ {\displaystyle \Omega _{X}^{*}} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}

Гербы

Эпиморфизм между дифференцируемыми стеками называется gerbe над , если также является эпиморфизмом. Например, если является стеком, является gerbe. Теорема Жиро утверждает, что соответствует один к одному множеству gerbe над , которые локально изоморфны и которые поставляются с тривиализациями их полос. [11] G → X {\displaystyle G\to X} X {\displaystyle X} G → G × X G {\displaystyle G\to G\times _{X}G} X {\displaystyle X} B S 1 × X → X {\displaystyle BS^{1}\times X\to X} H 2 ( X , S 1 ) {\displaystyle H^{2}(X,S^{1})} X {\displaystyle X} B S 1 × X → X {\displaystyle BS^{1}\times X\to X}

Ссылки

  1. ^ Бломанн, Кристиан (2008-01-01). "Stacky Lie Groups". Международные уведомления по математическим исследованиям . 2008. arXiv : math/0702399 . doi :10.1093/imrn/rnn082. ISSN  1687-0247 .
  2. ^ Мурдейк, Ике (1993). «Слоения, группоиды и étendues Гротендика». Преподобный акад. наук. Сарагоса . 48 (2): 5–33. МР  1268130.
  3. ^ Blohmann, Christian; Weinstein, Alan (2008). «Групповые объекты в геометрии и алгебре Пуассона». Геометрия Пуассона в математике и физике. Contemporary Mathematics. Vol. 450. American Mathematical Society. pp. 25–39. arXiv : math/0701499 . doi :10.1090/conm/450. ISBN 978-0-8218-4423-6. S2CID  16778766.
  4. ^ Ту, Жан-Луи; Сюй, Пин; Лоран-Жангу, Камилла (1 ноября 2004 г.). «Витая K-теория дифференцируемых стеков». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 37 (6): 841–910. arXiv : математика/0306138 . дои : 10.1016/j.ansens.2004.10.002. ISSN  0012-9593. S2CID  119606908 - через нумерацию древних математических документов.  [фр] .
  5. ^ abc Беренд, Кай ; Сюй, Пин (2011). «Дифференцируемые стеки и gerbes». Журнал симплектической геометрии . 9 (3): 285–341. arXiv : math/0605694 . doi :10.4310/JSG.2011.v9.n3.a2. ISSN  1540-2347. S2CID  17281854.
  6. ^ Грегори Жино, Введение в дифференцируемые стеки (и gerbes, модульные пространства …), 2013
  7. ^ ab Йохен Хейнлот: Некоторые заметки о дифференцируемых стеках , Семинары Математического института, Университет Геттингена, 2004-05, стр. 1-32.
  8. ^ Евгений Лерман, Антон Малкин, Дифференциальные символы как стеки и предварительное квантование, 2008
  9. ^ Пин Сюй, Дифференцируемые стеки, Gerbes и скрученная K-теория, 2017
  10. ^ Пронк, Доретт А. (1996). «Etendus и stacks как бикатегории дробей». Математическая композиция . 102 (3): 243–303 - через нумеризацию документов древних математиков.  [фр] .
  11. ^ Жиро, Жан (1971). «Когомологии не абелиенны». Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 179 . дои : 10.1007/978-3-662-62103-5. ISBN 978-3-540-05307-1. ISSN  0072-7830.
  • http://ncatlab.org/nlab/show/дифференциабле+стек
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Differentiable_stack&oldid=1228204107"