Групповые действия

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Direct sum Free product Wreath product Group homomorphisms kernel image simple finite infinite continuous multiplicative additive cyclic abelian dihedral nilpotent solvable Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

В математике многие наборы преобразований образуют группу при композиции функций ; например, вращения вокруг точки на плоскости. Часто бывает полезно рассматривать группу как абстрактную группу и говорить, что имеется групповое действие абстрактной группы, которое состоит в выполнении преобразований группы преобразований. Причина различения группы и преобразований заключается в том, что, как правило, группа преобразований структуры действует также на различные связанные структуры; например, указанная выше группа вращений действует также на треугольники, преобразуя треугольники в треугольники.

Формально групповое действие группы G на множестве S — это групповой гомоморфизм из G в некоторую группу (по композиции функций ) функций из S в себя.

Если группа действует на структуру, она обычно действует и на объекты, построенные из этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидово пространство , а также на нарисованные в нем фигуры; в частности, она действует на множество всех треугольников . Аналогично, группа симметрий многогранника действует на вершины , ребра и грани многогранника.

Действие группы на векторном пространстве называется представлением группы. В случае конечномерного векторного пространства оно позволяет отождествить многие группы с подгруппами общей линейной группы GL( n , K ) , группы обратимых матриц размерности n над полем K .

Симметрическая группа S _n действует на любое множество с n элементами, переставляя элементы множества. Хотя группа всех перестановок множества формально зависит от множества, концепция группового действия позволяет рассматривать одну группу для изучения перестановок всех множеств с одинаковой мощностью .

Если G — группа с единичным элементом e , а X — множество, то ( левое ) групповое действие α группы G на X — это функция

${\displaystyle \alpha \colon G\times X\to X,}$

который удовлетворяет следующим двум аксиомам : ^[1]

Личность:	${\displaystyle \alpha (e,x)=x}$
Совместимость:	${\displaystyle \alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)}$

для всех g и h в G и всех x в X.

Тогда говорят, что группа G действует на X (слева). Множество X вместе с действием G называется ( левым ) G - множеством .

Может быть удобно с точки зрения обозначений каррировать действие α , так что вместо этого можно получить набор преобразований α _g  : X → X с одним преобразованием α _g для каждого элемента группы g ∈ G. Тогда отношения тождественности и совместимости будут иметь вид

${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$

и

${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$

где ∘ — это композиция функций . Вторая аксиома затем утверждает, что композиция функций совместима с групповым умножением; они образуют коммутативную диаграмму . Эту аксиому можно сократить еще больше и записать как α _g ∘ α _h = α _gh .

С учетом вышеизложенного понимания, очень часто вообще избегают писать α и заменяют его либо точкой, либо вообще ничем. Таким образом, α ( g , x ) можно сократить до g ⋅ x или gx , особенно когда действие ясно из контекста. Тогда аксиомы таковы:

${\displaystyle e{\cdot }x=x}$

${\displaystyle g{\cdot }(h{\cdot }x)=(gh){\cdot }x}$

Из этих двух аксиом следует, что для любого фиксированного g в G функция из X в себя, которая отображает x в g ⋅ x , является биекцией , с обратной биекцией — соответствующим отображением для g ⁻¹ . Следовательно, можно эквивалентно определить групповое действие G на X как групповой гомоморфизм из G в симметрическую группу Sym( X ) всех биекций из X в себя. ^[2]

Аналогично, правое групповое действие G на X является функцией

${\displaystyle \alpha \colon X\times G\to X,}$

который удовлетворяет аналогичным аксиомам: ^[3]

Личность:	${\displaystyle \alpha (x,e)=x}$
Совместимость:	${\displaystyle \alpha (\alpha (x,g),h)=\alpha (x,gh)}$

(при этом α ( x , g ) часто сокращается до xg или x ⋅ g , когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

Личность:	${\displaystyle x{\cdot }e=x}$
Совместимость:	${\displaystyle (x{\cdot }g){\cdot }h=x{\cdot }(gh)}$

для всех g и h в G и всех x в X.

Разница между левым и правым действием заключается в порядке, в котором произведение gh действует на x . Для левого действия сначала действует h , а затем g — во-вторых. Для правого действия сначала действует g , а затем h — во-вторых. Благодаря формуле ( gh ) ⁻¹ = h ⁻¹ g ⁻¹ левое действие может быть построено из правого действия путем композиции с обратной операцией группы. Кроме того, правое действие группы G на X можно рассматривать как левое действие ее противоположной группы G ^op на X .

Таким образом, для установления общих свойств групповых действий достаточно рассматривать только левые действия. Однако существуют случаи, когда это невозможно. Например, умножение группы индуцирует как левое действие, так и правое действие на саму группу — умножение слева и справа соответственно.

Пусть G — группа, действующая на множестве X. Действие называетсяверный илиэффективно , если g ⋅ x = x для всех x ∈ X влечет, что g = e _G. Эквивалентно,гомоморфизмиз G в группу биекций X , соответствующий действию, являетсяинъективным.

Действие называетсясвободный (илиполурегулярныйилисвободный от неподвижной точки), если утверждение, что g ⋅ x = x для некоторого x ∈ X, уже подразумевает, что g = e _G. Другими словами, никакой нетривиальный элемент G не фиксирует точку X. Это гораздо более сильное свойство, чем точность.

Например, действие любой группы на себя левым умножением свободно. Это наблюдение подразумевает теорему Кэли о том, что любая группа может быть вложена в симметрическую группу (которая бесконечна, когда группа бесконечна). Конечная группа может действовать точно на множестве размера, намного меньшего, чем ее мощность (однако такое действие не может быть свободным). Например, абелева 2-группа ( Z / 2 Z ) ⁿ (мощности 2 ⁿ ) действует точно на множестве размера 2 n . Это не всегда так, например, циклическая группа Z / 2 ⁿ Z не может действовать точно на множестве размера меньше 2 ⁿ .

В общем случае наименьшее множество, на котором может быть определено точное действие, может сильно различаться для групп одинакового размера. Например, три группы размера 120 — это симметрическая группа S ₅ , икосаэдрическая группа A ₅ × Z / 2 Z и циклическая группа Z / 120 Z . Наименьшие множества, на которых могут быть определены точные действия для этих групп, имеют размер 5, 7 и 16 соответственно.

Действие G на X называетсятранзитивным , если для любых двух точек x , y ∈ X существует g ∈ G такой, что g ⋅ x = y .

Действие - этопросто транзитивный (илирезко транзитивный, илирегулярное ), если оно одновременно транзитивно и свободно. Это означает, что при заданных x , y ∈ X элемент g в определении транзитивности является единственным. Если на X действует просто транзитивно группа G , то оно называетсяглавным однородным пространствомдля G или G -торсором.

Для целого числа n ≥ 1 действие равноn -транзитивным , еслиXимеет по крайней мереnэлементов, и для любой пары изn-кортежей(x₁, ...,x _n ), (y₁, ...,y _n ) ∈X ⁿ с попарно различными элементами (то естьx _i ≠x _j ,y _i ≠y _j приi≠j) существуетg∈Gтакой, чтоg⋅x _i =y _i дляi= 1, ...,n. Другими словами, действие на подмножествеX ⁿ кортежей без повторяющихся элементов является транзитивным. Дляn= 2, 3это часто называют двойной, соответственно тройной, транзитивностью. Класс2-транзитивных групп(то есть подгрупп конечной симметрической группы, действие которой 2-транзитивно) и, в более общем смысле,кратно транзитивных группхорошо изучен в теории конечных групп.

Действие - этоостро n -транзитивно , когда действие над кортежами без повторяющихся вхождений в X ⁿ является остро транзитивным.

Действие симметрической группы X транзитивно, фактически n -транзитивно для любого n вплоть до мощности X. Если X имеет мощность n , действие знакопеременной группы является ( n − 2) -транзитивным, но не ( n − 1) -транзитивным.

Действие общей линейной группы векторного пространства V на множестве V ∖ {0} ненулевых векторов транзитивно, но не 2-транзитивно (аналогично для действия специальной линейной группы, если размерность v не менее 2). Действие ортогональной группы евклидова пространства не транзитивно на ненулевых векторах, но транзитивно на единичной сфере .

Действие G на X называется примитивным, если не существует разбиения X , сохраняемого всеми элементами G, за исключением тривиальных разбиений (разбиения на одну часть и его двойственного разбиения на синглетоны ).

Предположим, что X — топологическое пространство , а действие G осуществляется гомеоморфизмами .

Действие является блуждающим , если каждый x ∈ X имеет окрестность U такую, что существует лишь конечное число g ∈ G с g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ . ^[4]

В более общем смысле, точка x ∈ X называется точкой разрыва для действия G , если существует открытое подмножество U ∋ x такое, что существует только конечное число g ∈ G с g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ . Область разрыва действия — это множество всех точек разрыва. Эквивалентно, это наибольшее G -устойчивое открытое подмножество Ω ⊂ X такое, что действие G на Ω является блуждающим. ^[5] В динамическом контексте это также называется блуждающим множеством .

Действие является собственно разрывным , если для каждого компактного подмножества K ⊂ X существует только конечное число g ∈ G, таких что g ⋅ K ∩ K ≠ ∅ . Это строго сильнее, чем блуждание; например, действие Z на R ² ∖ {(0, 0)}, заданное как n ⋅( x , y ) = (2 ⁿ x , 2 ^{− n} y ), является блуждающим и свободным, но не является собственно разрывным. ^[6]

Действие преобразований палубы фундаментальной группы локально односвязного пространства на накрывающем пространстве является блуждающим и свободным. Такие действия можно охарактеризовать следующим свойством: каждый x ∈ X имеет окрестность U такую, что g ⋅ U ∩ U = ∅ для каждого g ∈ G ∖ { e _G } . ^[7] Действия с этим свойством иногда называют свободно разрывными , а наибольшее подмножество, на котором действие свободно разрывно, тогда называют свободным регулярным множеством . ^[8]

Действие группы G на локально компактном пространстве X называется кокомпактным , если существует компактное подмножество A ⊂ X такое , что X = G ⋅ A. Для собственно разрывного действия кокомпактность эквивалентна компактности факторпространства G \ X.

Теперь предположим, что G — топологическая группа , а X — топологическое пространство, на котором она действует посредством гомеоморфизмов. Действие называется непрерывным, если отображение G × X → X непрерывно для топологии произведения .

Действие, как говорят,собственным, если отображение G × X → X × X , определенное соотношением( g , x ) ↦ ( x , g ⋅ x )являетсясобственным.^[9]Это означает, что для данных компактных множеств K , K ′множество g ∈ G таких, что g ⋅ K ∩ K ′ ≠ ∅,является компактным. В частности, это эквивалентно собственной разрывности G —дискретная группа.

Говорят, что он локально свободен , если существует окрестность U точки e _G такая, что g ⋅ x ≠ x для всех x ∈ X и g ∈ U ∖ { e _G } .

Действие называется строго непрерывным, если орбитальное отображение g ↦ g ⋅ x непрерывно для любого x ∈ X. Вопреки тому, что следует из названия, это более слабое свойство, чем непрерывность действия. ^{[ необходима цитата ]}

Если G — группа Ли , а X — дифференцируемое многообразие , то подпространство гладких точек для действия — это множество точек x ∈ X, таких, что отображение g ↦ g ⋅ x является гладким . Существует хорошо развитая теория действий групп Ли , т.е. действий, которые гладки на всем пространстве.

Если g действует линейными преобразованиями на модуль над коммутативным кольцом , действие называется неприводимым, если нет собственных ненулевых g -инвариантных подмодулей. Оно называется полупростым , если оно разлагается в прямую сумму неприводимых действий.

Рассмотрим группу G, действующую на множестве X.Орбита элемента x в X — это множество элементов в X, в которые x может быть перемещен элементами G. Орбита x обозначается как G ⋅ x :$${\displaystyle G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.}$$

Определяющие свойства группы гарантируют, что множество орбит (точек x в) X под действием G образуют разбиение X. Соответствующее отношение эквивалентности определяется как x ~ y тогда и только тогда, когда существует g в G с g ⋅ x = y . Тогда орбиты являются классами эквивалентности при этом отношении; два элемента x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты одинаковы, то есть G ⋅ x = G ⋅ y .

Действие группы транзитивно тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну орбиту, то есть если существует x в X с G ⋅ x = X. Это имеет место тогда и только тогда, когда G ⋅ x = X для всех x в X (при условии, что X непусто).

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G (или, реже, как G \ X ) и называетсячастное действия. В геометрических ситуациях это может быть названопространство орбит , в то время как в алгебраических ситуациях его можно назвать пространствомкоинварианты , и пишутся X _G , в отличие от инвариантов (неподвижных точек), обозначаемых X ^G : коинварианты являютсячастным, а инварианты —подмножеством. Терминология и обозначения коинвариантов используются, в частности, вгрупповых когомологияхигрупповых гомологиях, которые используют то же самое соглашение о надстрочном и подстрочном индексах.

Если Y является подмножеством X , то G ⋅ Y обозначает множество { g ⋅ y  : g ∈ G и y ∈ Y } . Подмножество Y называется инвариантным относительно G , если G ⋅ Y = Y (что эквивалентно G ⋅ Y ⊆ Y ). В этом случае G также действует на Y , ограничивая действие Y . Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если g ⋅ y = y для всех g из G и всех y из Y . Каждое подмножество, фиксированное относительно G , также инвариантно относительно G , но не наоборот.

Каждая орбита является инвариантным подмножеством X , на котором G действует транзитивно . Обратно, любое инвариантное подмножество X является объединением орбит. Действие G на X транзитивно тогда и только тогда , когда все элементы эквивалентны, что означает, что существует только одна орбита.

G -инвариантный элемент X - это x ∈ X такой, что g ⋅ x = x для всех g ∈ G. Множество всех таких x обозначается X ^G и называется G -инвариантами X. Когда X является G -модулем , X ^G является нулевой группой когомологий G с коэффициентами в X , а высшие группы когомологий являются производными функторами функтора G -инвариантов .

При наличии g в G и x в X с g ⋅ x = x говорят, что « x является неподвижной точкой g » или что « g фиксирует x » . Для каждого x в XПодгруппа стабилизаторов G относительно x (также называемаягруппой изотропииилималой группой^[10]) — это множество всех элементов в G , которые фиксируют x : ЭтоподгруппаG, хотя обычно не нормальная. Действие G на X свободнотогда и только тогда, когда все стабилизаторы тривиальны. Ядро N гомоморфизма с симметрической группой, G → Sym( X ), задается пересечениемстабилизаторовG x _для всех x из X . Если N тривиально, действие называется точным (или эффективным ) .$${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}$$

Пусть x и y — два элемента в X , и пусть g — элемент группы, такой что y = g ⋅ x . Тогда две группы стабилизаторов G _x и G _y связаны соотношением G _y = gG _x g ⁻¹ . Доказательство: по определению, h ∈ G _y тогда и только тогда, когда h ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Применение g ⁻¹ к обеим сторонам этого равенства дает ( g ⁻¹ hg )⋅ x = x ; то есть g ⁻¹ hg ∈ G _x . Противоположное включение следует аналогично, если взять h ∈ G _x и x = g ⁻¹ ⋅ y .

Выше говорится, что стабилизаторы элементов в одной и той же орбите сопряжены друг с другом. Таким образом, с каждой орбитой мы можем связать класс сопряженности подгруппы G (то есть множество всех сопряженных элементов подгруппы). Пусть ( H ) обозначает класс сопряженности H . Тогда орбита O имеет тип ( H ) , если стабилизатор G _x некоторого/любого x из O принадлежит ( H ) . Максимальный тип орбиты часто называют главным типом орбиты .

Орбиты и стабилизаторы тесно связаны. Для фиксированного x в X рассмотрим отображение f  : G → X, заданное формулой g ↦ g ⋅ x . По определению изображение f ( G ) этого отображения является орбитой G ⋅ x . Условие того, что два элемента имеют один и тот же образ, заключается в том, что Другими словами, f ( g ) = f ( h ) тогда и только тогда, когда g и h лежат в одном и том же смежном классе для подгруппы стабилизатора G _x . Таким образом, волокно f ⁻¹ ({ y }) функции f над любым y в G ⋅ x содержится в таком смежном классе, и каждый такой смежный класс также встречается как волокно. Поэтому f индуцирует биекцию между множеством G / G _x смежных классов для подгруппы стабилизатора и орбитой G ⋅ x , которая отправляет gG _x ↦ g ⋅ x . ^[11] Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты .$${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}$$

Если G конечен, то теорема о стабилизаторе орбиты вместе с теоремой Лагранжа дает, другими словами, длину орбиты x , умноженную на порядок ее стабилизатора, как порядок группы . В частности, это означает, что длина орбиты является делителем порядка группы.$${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,}$$

Пример: Пусть G — группа простого порядка p, действующая на множестве X с k элементами. Поскольку каждая орбита имеет либо 1 , либо p элементов, существует по крайней мере k mod p орбит длины 1 , которые являются G -инвариантными элементами. Более конкретно, k и число G -инвариантных элементов сравнимы по модулю p . ^[12]

Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда X также конечен).

Пример: Мы можем использовать теорему о стабилизаторе орбиты для подсчета автоморфизмов графа . Рассмотрим кубический граф , как показано на рисунке, и пусть G обозначает его группу автоморфизмов . Тогда G действует на множество вершин {1, 2, ..., 8} , и это действие транзитивно, как можно увидеть, составив вращения вокруг центра куба. Таким образом, по теореме о стабилизаторе орбиты, | G | = | G ⋅ 1 | | G ₁ | = 8 | G ₁ | . Применяя теорему теперь к стабилизатору G ₁ , мы можем получить | G ₁ | = | ( G ₁ ) ⋅ 2 | | ( G ₁ ) ₂ | . Любой элемент G , фиксирующий 1, должен отправить 2 либо в 2, 4, либо в 5. В качестве примера таких автоморфизмов рассмотрим поворот вокруг диагональной оси через 1 и 7 на 2 π /3 , который переставляет 2, 4, 5 и 3, 6, 8 и фиксирует 1 и 7. Таким образом, | ( G ₁ ) ⋅ 2 | = 3 . Применение теоремы в третий раз дает | ( G ₁ ) ₂ | = | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | | (( G ₁ ) ₂ ) ₃ | . Любой элемент G , фиксирующий 1 и 2, должен отправить 3 либо в 3, либо в 6. Отражение куба в плоскости через 1, 2, 7 и 8 является таким автоморфизмом, отправляющим 3 в 6, таким образом, | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | = 2 . Также видно, что (( G ₁ ) ₂ ) ₃ состоит только из тождественного автоморфизма, поскольку любой элемент G , фиксирующий 1, 2 и 3, должен также фиксировать все остальные вершины, поскольку они определяются их смежностью с 1, 2 и 3. Объединяя предыдущие вычисления, мы теперь можем получить | G | = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48 .

Результат, тесно связанный с теоремой о стабилизаторе орбиты, — это лемма Бернсайда : где X ^g — множество точек, зафиксированных g . Этот результат в основном полезен, когда G и X конечны, когда его можно интерпретировать следующим образом: число орбит равно среднему числу точек, зафиксированных на элемент группы.$${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$$

Фиксируя группу G , множество формальных разностей конечных G -множеств образует кольцо, называемое кольцом Бернсайда группы G , где сложение соответствует несвязному объединению , а умножение — декартову произведению .

• TheТривиальное действие любой группы G на любом множестве X определяется соотношением g ⋅ x = x для всех g из G и всех x из X ;то есть каждый элемент группы индуцируеттождественную перестановкуна X. ^[13]
• В каждой группе G левое умножение является действием G на G : g ⋅ ​​x = gx для всех g , x в G. Это действие является свободным и транзитивным (регулярным) и составляет основу быстрого доказательства теоремы Кэли — что каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы перестановок множества G.
• В каждой группе G с подгруппой H левое умножение является действием G на множестве смежных классов G / H : g ⋅ ​​aH = gaH для всех g , a из G. В частности, если H не содержит нетривиальных нормальных подгрупп G , то это индуцирует изоморфизм из G в подгруппу группы перестановок степени [ G  : H ] .
• В каждой группе G сопряжение является действием G на G : g ⋅ ​​x = gxg ⁻¹ . Для варианта правого действия обычно используется экспоненциальная запись: x ^g = g ⁻¹ xg ; она удовлетворяет ( x ^g ) ^h = x ^gh .
• В каждой группе G с подгруппой H сопряжение — это действие G на сопряженные элементы H : g ⋅ ​​K = gKg ⁻¹ для всех g из G и K сопряженных элементов H.
• Действие Z на множестве X однозначно определяет и определяется автоморфизмом X , заданным действием 1. Аналогично , действие Z / 2 Z на X эквивалентно данным инволюции X.
• Симметрическая группа S _n и ее подгруппы действуют на множестве {1, ..., n }, переставляя его элементы
• Группа симметрии многогранника действует на множество вершин этого многогранника. Она также действует на множество граней или множество ребер многогранника.
• Группа симметрии любого геометрического объекта действует на множество точек этого объекта.
• Для координатного пространства V над полем F с группой единиц F * отображение F * × V → V , заданное формулой a × ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) ↦ ( ax ₁ , ax ₂ , ..., ax _n ) , является групповым действием, называемым скалярным умножением .
• Группа автоморфизмов векторного пространства (или графа , или группы, или кольца...) действует на векторное пространство (или множество вершин графа, или группы, или кольца...).
• Общая линейная группа GL( n , K ) и ее подгруппы, в частности ее подгруппы Ли (включая специальную линейную группу SL( n , K ) , ортогональную группу O( n , K ) , специальную ортогональную группу SO( n , K ) и симплектическую группу Sp( n , K ) ) являются группами Ли , действующими на векторном пространстве K ⁿ . Групповые операции задаются путем умножения матриц из групп на векторы из K ⁿ .
• Общая линейная группа GL( n , Z ) действует на Z ⁿ естественным матричным действием. Орбиты ее действия классифицируются наибольшим общим делителем координат вектора в Z ⁿ .
• Аффинная группа действует транзитивно на точках аффинного пространства , а подгруппа V аффинной группы (то есть векторного пространства) имеет транзитивное и свободное (то есть регулярное ) действие на эти точки; ^[14] действительно, это можно использовать, чтобы дать определение аффинного пространства .
• Проективная линейная группа PGL( n + 1, K ) и ее подгруппы, в частности ее подгруппы Ли, которые являются группами Ли, действующими на проективном пространстве P ⁿ ( K ) . Это фактор действия общей линейной группы на проективном пространстве. Особенно примечательна PGL(2, K ) , симметрия проективной прямой, которая является строго 3-транзитивной, сохраняющей перекрестное отношение ; группа Мёбиуса PGL(2, C ) представляет особый интерес.
• Изометрии плоскости действуют на множество 2D-изображений и узоров, таких как узоры обоев . Определение можно сделать более точным, указав, что подразумевается под изображением или узором, например, функция положения со значениями в наборе цветов. Изометрии на самом деле являются одним из примеров аффинной группы (действия). ^{[ сомнительно – обсудить ]}
• Множества, на которые действует группа G, образуют категорию G -множеств , в которой объектами являются G -множества, а морфизмами - гомоморфизмы G -множеств: функции f  : X → Y такие, что g ⋅( f ( x )) = f ( g ⋅ x ) для любого g из G .
• Группа Галуа расширения поля L / K действует на поле L, но имеет лишь тривиальное действие на элементы подполя K. Подгруппы Gal( L / K ) соответствуют подполям L , содержащим K , то есть промежуточным расширениям полей между L и K .
• Аддитивная группа действительных чисел ( R , +) действует на фазовое пространство « хорошо себя ведущих » систем в классической механике (и в более общих динамических системах ) посредством временного сдвига : если t находится в R , а x находится в фазовом пространстве, то x описывает состояние системы, а t + x определяется как состояние системы t секунд спустя, если t положительно, или − t секунд назад, если t отрицательно.
• Аддитивная группа действительных чисел ( R , +) действует на множество действительных функций действительной переменной различными способами, причем ( t ⋅ f )( x ) равно, например, f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe ^t ) , f ( x ) e ^t , f ( x + t ) e ^t или f ( xe ^t ) + t , но не f ( xe ^t + t ) .
• Учитывая групповое действие G на X , мы можем определить индуцированное действие G на множестве мощности X , установив g ⋅ U = { g ⋅ u  : u ∈ U } для каждого подмножества U из X и каждого g из G. Это полезно, например, при изучении действия большой группы Матье на 24-множестве и при изучении симметрии в некоторых моделях конечных геометрий .
• Кватернионы с нормой 1 ( версоры ), как мультипликативная группа, действуют на R ³ : для любого такого кватерниона z = cos α /2 + v sin α /2 отображение f ( x ) = z x z ^* является вращением против часовой стрелки на угол α вокруг оси, заданной единичным вектором v ; z является тем же вращением; см. кватернионы и пространственное вращение . Это не точное действие, потому что кватернион −1 оставляет все точки там, где они были, как и кватернион 1 .
• Для данных левых G -множеств X , Y существует левое G -множество Y ^X , элементами которого являются G -эквивариантные отображения α  : X × G → Y , и с левым G -действием, заданным как g ⋅ α = α ∘ (id _X × – g ) (где « – g » обозначает правое умножение на g ). Это G -множество обладает тем свойством, что его неподвижные точки соответствуют эквивариантным отображениям X → Y ; в более общем смысле, это экспоненциальный объект в категории G -множеств.

Понятие группового действия можно закодировать группоидом действия G ′ = G ⋉ X , связанным с групповым действием. Стабилизаторами действия являются вершинные группы группоида, а орбиты действия — его компоненты.

Если X и Y — два G -множества, то морфизм из X в Y — это функция f  : X → Y такая, что f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) для всех g из G и всех x из X. Морфизмы G -множеств также называются эквивариантными отображениями или G - отображениями .

Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм f является биективным, то его обратный также является морфизмом. В этом случае f называется изоморфизмом , а два G -множества X и Y называются изоморфными ; для всех практических целей изоморфные G -множества неразличимы.

Некоторые примеры изоморфизмов:

• Каждое регулярное действие G изоморфно действию G на G, заданному левым умножением.
• Каждое свободное действие G изоморфно G × S , где S — некоторое множество, а G действует на G × S левым умножением на первую координату. ( S можно рассматривать как множество орбит X / G. )
• Каждое транзитивное действие G изоморфно левому умножению на G на множестве левых смежных классов некоторой подгруппы H группы G. ( H можно рассматривать как группу стабилизатора любого элемента исходного G -множества.)

При таком понятии морфизма совокупность всех G -множеств образует категорию ; эта категория является топосом Гротендика (фактически, если предположить классическую металогику , этот топос будет даже булевым).

Мы также можем рассматривать действия моноидов на множествах, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биективные отображения и отношения эквивалентности. См. действие полугруппы .

Вместо действий на множествах мы можем определить действия групп и моноидов на объектах произвольной категории: начать с объекта X некоторой категории, а затем определить действие на X как гомоморфизм моноида в моноид эндоморфизмов X. Если X имеет базовое множество , то все определения и факты, изложенные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств, мы получим представления групп таким образом.

Мы можем рассматривать группу G как категорию с одним объектом, в которой каждый морфизм обратим . ^[15] Тогда (левое) действие группы есть не что иное, как (ковариантный) функтор из G в категорию множеств , а представление группы есть функтор из G в категорию векторных пространств . ^[16] Тогда морфизм между G -множествами есть естественное преобразование между функторами действия группы. ^[17] По аналогии, действие группоида есть функтор из группоида в категорию множеств или в некоторую другую категорию.

В дополнение к непрерывным действиям топологических групп на топологических пространствах, часто также рассматриваются гладкие действия групп Ли на гладких многообразиях , регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия групповых схем на схемах . Все это примеры групповых объектов, действующих на объекты соответствующей категории.

• 
  Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной октаэдрической группы.
• 
  Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной икосаэдрической группы.

• График усиления
• Группа с операторами
• Измеримые групповые действия
• Моноидное действие
• Развитие Янг-Деруйтс

• Ашбахер, Майкл (2000). Теория конечных групп . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78675-1. МР  1777008.
• Даммит, Дэвид; Ричард Фут (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. ISBN 0-471-43334-9.
• Эйе, Минкинг; Чанг, Шоу-Тэ (2010). Курс абстрактной алгебры . World Scientific. ISBN 978-981-4271-88-2.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1, г-н  1867354.
• Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп . Graduate Texts in Mathematics 148 (4-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Смит, Джонатан Д. Х. (2008). Введение в абстрактную алгебру . Учебники по математике. CRC Press. ISBN 978-1-4200-6371-4.
• Капович, Майкл (2009), Гиперболические многообразия и дискретные группы , Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, стр. xxvii+467, ISBN 978-0-8176-4912-8, ЗБЛ  1180.57001
• Маскит, Бернард (1988), Кляйнианские группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 287, Springer-Verlag, стр. XIII+326, Zbl  0627.30039
• Перроне, Паоло (2024), Начальная теория категорий , World Scientific, doi :10.1142/9789811286018_0005, ISBN 978-981-12-8600-1
• Терстон, Уильям (1980), Геометрия и топология трехмерных многообразий, заметки лекций в Принстоне, стр. 175, архивировано из оригинала 27.07.2020 , извлечено 08.02.2016
• Терстон, Уильям П. (1997), Трехмерная геометрия и топология. Том 1. , Princeton Mathematical Series, том 35, Princeton University Press, стр. x+311, Zbl  0873.57001
• Том Дик, Таммо (1987), Группы преобразований, Исследования де Грютера по математике, том. 8, Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания, с. 29, номер домена : 10.1515/9783110858372.312, ISBN 978-3-11-009745-0, МР  0889050

• «Действие группы на многообразии», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Групповое действие». Математический мир .