Дискретизация

В прикладной математике дискретизация — это процесс перевода непрерывных функций, моделей, переменных и уравнений в дискретные аналоги. Этот процесс обычно выполняется как первый шаг к тому, чтобы сделать их пригодными для численной оценки и реализации на цифровых компьютерах. Дихотомизация — это особый случай дискретизации, в котором число дискретных классов равно 2, что позволяет аппроксимировать непрерывную переменную как бинарную переменную (создавая дихотомию для целей моделирования , как в бинарной классификации ).

Дискретизация также связана с дискретной математикой и является важным компонентом гранулярных вычислений . В этом контексте дискретизация может также относиться к модификации гранулярности переменной или категории , например, когда несколько дискретных переменных агрегируются или несколько дискретных категорий объединяются.

Всякий раз, когда непрерывные данные дискретизируются , всегда есть некоторая величина ошибки дискретизации . Цель состоит в том, чтобы уменьшить величину до уровня, который считается незначительным для целей моделирования .

Термины «дискретизация» и «квантование» часто имеют одинаковое значение , но не всегда идентичные коннотации . (В частности, эти два термина разделяют одно семантическое поле .) То же самое относится к ошибке дискретизации и ошибке квантования .

Математические методы, связанные с дискретизацией, включают метод Эйлера–Маруямы и метод нулевого порядка .

Дискретизация также связана с преобразованием непрерывных дифференциальных уравнений в дискретные разностные уравнения , пригодные для численных вычислений .

Следующая модель пространства состояний с непрерывным временем

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)}$

где v и w — непрерывные источники белого шума с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности

${\displaystyle \mathbf {w} (t)\sim N(0,\mathbf {Q} )}$

${\displaystyle \mathbf {v} (t)\sim N(0,\mathbf {R} )}$

можно дискретизировать, предполагая сохранение нулевого порядка для входного сигнала u и непрерывное интегрирование для шума v , чтобы

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathbf {A} _{d} \mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+ \mathbf {w} [к]}$

${\displaystyle \mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d} \mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [к]}$

с ковариациями

${\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim N (0, \mathbf {Q} _ {d})}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} [k] \ sim N (0, \ mathbf {R} _ {d})}$

где

${\displaystyle \mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A } )^{-1}\}_{t=T}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B } =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} }$, если не является единичным${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\тау }d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {R} _{d}=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}}$

и — время выборки, хотя — транспонированная матрица . Уравнение для дискретизированного шума измерения является следствием того, что непрерывный шум измерения определяется спектральной плотностью мощности. ^[1]${\displaystyle Т}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Хитрый трюк для вычисления A _d и B _d за один шаг заключается в использовании следующего свойства: ^{[2] : стр. 215}

${\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

Где и — дискретизированные матрицы пространства состояний.${\displaystyle \mathbf {A} _{d}}$${\displaystyle \mathbf {B} _{d}}$

Численная оценка немного сложнее из-за матричного экспоненциального интеграла. Однако ее можно вычислить, сначала построив матрицу и вычислив ее экспоненту ^[3]${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T}$

${\displaystyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}$

Затем шум дискретизированного процесса оценивается путем умножения транспонированного нижнего правого разбиения G на верхнее правое разбиение G :

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}$

Начиная с непрерывной модели

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

мы знаем, что матричная экспонента равна

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$

и путем предварительного умножения модели мы получаем

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

который мы признаем как

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

и путем интеграции..

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

что является аналитическим решением непрерывной модели.

Теперь мы хотим дискретизировать приведенное выше выражение. Мы предполагаем, что u постоянна в течение каждого временного шага.

${\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

Мы распознаем выражение в скобках как , и второй член можно упростить, заменив его функцией . Обратите внимание, что . Мы также предполагаем, что является постоянным во время интеграла , что в свою очередь дает${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$${\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau }$${\displaystyle d\tau =-dv}$${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}}$

что является точным решением проблемы дискретизации.

Когда является единственным числом, последнее выражение все еще можно использовать, заменив его разложением Тейлора ,${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}}$

${\displaystyle e^{{\mathbf {A} }T}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}.}$

Это дает

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{{\mathbf {A} }T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{{\mathbf {A} }v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\mathbf {A} }^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k],\end{matrix}}}$

какая форма используется на практике.

Точная дискретизация иногда может быть неразрешимой из-за тяжелых матричных экспоненциальных и интегральных операций. Гораздо проще вычислить приближенную дискретную модель, основанную на ней для малых временных шагов . Тогда приближенное решение становится:${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]}$

Это также известно как метод Эйлера , который также известен как прямой метод Эйлера. Другие возможные приближения — это , также известный как обратный метод Эйлера и , который известен как билинейное преобразование или преобразование Тастина. Каждое из этих приближений имеет различные свойства устойчивости. Билинейная трансформация сохраняет неустойчивость непрерывной системы.${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}$${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}$

В статистике и машинном обучении дискретизация относится к процессу преобразования непрерывных признаков или переменных в дискретизированные или номинальные признаки. Это может быть полезно при создании функций массы вероятности.

В теории обобщенных функций дискретизация возникает как частный случай теоремы о свертке для умеренных распределений.

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*\operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot \operatorname {III} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\alpha \cdot \operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*\operatorname {III} }$

где — гребень Дирака , — дискретизация, — периодизация , — быстро убывающее темперированное распределение (например, дельта-функция Дирака или любая другая функция с компактным носителем ), — гладкая , медленно растущая обычная функция (например, функция, которая постоянна , или любая другая функция с ограниченной полосой частот ), а — (унитарное, обычное частотное) преобразование Фурье . Функции , которые не являются гладкими, можно сделать гладкими с помощью смягчителя перед дискретизацией.${\displaystyle \operatorname {III} }$${\displaystyle \cdot \operatorname {III} }$${\displaystyle *\operatorname {III} }$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \alpha }$

Например, дискретизация функции, которая постоянно , дает последовательность , которая, интерпретируемая как коэффициенты линейной комбинации дельта -функций Дирака , образует гребень Дирака . Если дополнительно применить усечение , то получатся конечные последовательности, например . Они дискретны как по времени, так и по частоте.${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [..,1,1,1,..]}$${\displaystyle [1,1,1,1]}$

• Дискретное событийное моделирование
• Дискретное пространство
• Дискретное время и непрерывное время
• Метод конечных разностей
• Метод конечных объемов для нестационарного течения
• Сглаживание
• Стохастическое моделирование
• Исчисление шкалы времени

• Роберт Гровер Браун и Патрик YC Хванг (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана (3-е изд.). ISBN 978-0471128397.
• Чи-Цон Чен (1984). Теория и проектирование линейных систем . Филадельфия, Пенсильвания, США: Saunders College Publishing. ISBN 978-0030716911.
• C. Van Loan (июнь 1978 г.). «Вычисление интегралов с участием матричной экспоненты» (PDF) . IEEE Transactions on Automatic Control . 23 (3): 395–404. doi :10.1109/TAC.1978.1101743. hdl : 1813/7095 .
• RH Middleton & GC Goodwin (1990). Цифровое управление и оценка: единый подход . Prentice Hall. стр. 33f. ISBN 978-0132116657.

• Дискретизация в геометрии и динамике: исследования по дискретизации дифференциальной геометрии и динамики