Метод конечных объемов для нестационарного течения

Нестационарные потоки характеризуются как потоки, в которых свойства жидкости зависят от времени. Это отражается в основных уравнениях, поскольку производная по времени свойств отсутствует. Для изучения метода конечных объемов для нестационарного потока есть некоторые основные уравнения [1] >

Основное уравнение

Уравнение сохранения для переноса скаляра в нестационарном потоке имеет общий вид [2]

∂ ρ ϕ ∂ т + див ⁡ ( ρ ϕ υ ) = див ⁡ ( Г град ⁡ ϕ ) + С ϕ {\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)=\operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)+S_{\phi }}

ρ {\displaystyle \ро} — плотность , — консервативная форма потока всей жидкости, — коэффициент диффузии, — источник. — чистая скорость потока из элемента жидкости ( конвекция ), — скорость увеличения из -за диффузии , — скорость увеличения из -за источников. ϕ {\displaystyle \фи}
Г {\displaystyle \Гамма} С {\displaystyle S} див ⁡ ( ρ ϕ υ ) {\displaystyle \operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)} ϕ {\displaystyle \фи}
див ⁡ ( Г град ⁡ ϕ ) {\displaystyle \operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)} ϕ {\displaystyle \фи}
С ϕ {\displaystyle S_{\phi}} ϕ {\displaystyle \фи}

∂ ρ ϕ ∂ т {\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}} Скорость увеличения элемента жидкости (переходный процесс), ϕ {\displaystyle \фи}

Первый член уравнения отражает нестационарность течения и отсутствует в случае стационарных течений. Конечно-объемное интегрирование определяющего уравнения осуществляется по контрольному объему, а также по конечному временному шагу ∆t.

∫ с в ∫ т т + Δ т ( ∂ ρ ϕ ∂ т г т ) г В + ∫ т т + Δ т ∫ А ( н . ρ ϕ ты г А ) г т = ∫ т т + Δ т ∫ А ( н ⋅ ( Г град ⁡ ϕ ) г А ) г т + ∫ т т + Δ т ∫ с в С ϕ г В г т {\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left({\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n.{\rho \phi u}\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n\cdot \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S_{\phi }\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}

Интеграция контрольного объема стационарной части уравнения похожа на интеграцию уравнения стационарного состояния . Нам нужно сосредоточиться на интеграции нестационарной составляющей уравнения. Чтобы почувствовать технику интегрирования, мы обратимся к одномерному нестационарному уравнению теплопроводности . [3]

ρ с ∂ Т ∂ т = ∂ ∂ х к ∂ Т ∂ х + С {\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {k\partial T}{\partial x}}+S}

∫ т т + Δ т ∫ с в ρ с ∂ Т ∂ т г В г т = ∫ т т + Δ т ∫ с в ∂ ∂ х к ∂ Т ∂ х г В г т + ∫ т т + Δ т ∫ с в С г В г т {\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {k\partial T}{\partial x}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}

∫ е ж ∫ т т + Δ т ( ρ с ∂ Т ∂ т г т ) г В = ∫ т т + Δ т [ ( к А ∂ Т ∂ х ) е − ( к А ∂ Т ∂ х ) ж ] г т + ∫ т т + Δ т С ¯ Δ В г т {\displaystyle \int _{e}^{w}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{e}-\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{w}\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t}

Теперь, придерживаясь предположения, что температура в узле преобладает во всем контрольном объеме, левую часть уравнения можно записать как [4]

∫ с в ∫ т т + Δ т ( ρ с ∂ Т ∂ т г т ) г В = ρ с ( Т П − Т П О ) Δ В {\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{O}\right)\Delta V}

Используя схему обратного дифференцирования первого порядка , мы можем записать правую часть уравнения как

ρ с ( Т П − Т П 0 ) Δ В = ∫ т т + Δ т [ ( К е А Т Э − Т П δ х П Э ) − ( К ж А Т П − Т Вт δ х Вт П ) ] г т + ∫ т т + Δ т С ¯ Δ В г т {\displaystyle \rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)\Delta V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(K_{e}A{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}A{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t}

Теперь для оценки правой части уравнения мы используем весовой параметр от 0 до 1 и записываем интегрирование θ {\displaystyle \тета} Т П {\displaystyle T_{P}}

я Т = ∫ т т + Δ т Т П г т = [ θ Т П + ( 1 − θ ) Т П 0 ] Δ т {\displaystyle I_{T}=\int _{t}^{t+\Delta t}T_{P}\,\mathrm {d} t=\left[\theta T_{P}+\left(1-\theta \right){T_{P}}^{0}\right]\Delta t}

Теперь точная форма окончательного дискретизированного уравнения зависит от значения . Поскольку дисперсия равна 0< <1, схема, которая будет использоваться для вычисления, зависит от значения Таким образом\\ Θ {\displaystyle \Theta } Θ {\displaystyle \Theta } Θ {\displaystyle \Theta } T P {\displaystyle T_{P}} Θ {\displaystyle \Theta } ρ c ( T P − T P 0 ) Δ t Δ x = θ [ ( K e T E − T P δ x P E ) − ( K w T P − T W δ x W P ) ] + ( 1 − θ ) [ ( K e T E − T P δ x P E ) − ( K w T P − T W δ x W P ) ] + S ¯ Δ x {\displaystyle \rho c{\frac {\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)}{\Delta t}}\Delta x=\theta [\left(K_{e}{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)]+(1-\theta )[\left(K_{e}{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)]+{\bar {S}}\Delta x}

Разные схемы

1. Явная схема В явной схеме исходный член линеаризуется как . Подставляем, чтобы получить явную дискретизацию, т.е.: [5] b = S u + S P T P 0 {\displaystyle b=S_{u}+{S_{P}}{T_{P}}^{0}} θ = 0 {\displaystyle \theta =0}

a P T P = a w T w 0 + a e T e 0 + [ a P 0 − ( a w + a e − S P ) ] T P 0 + S u {\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{w}{T_{w}}^{0}+a_{e}{T_{e}}^{0}+\left[{a_{P}}^{0}-\left(a_{w}+a_{e}-S_{P}\right)\right]{T_{P}}^{0}+S_{u}}

где . Стоит отметить, что правая сторона содержит значения на старом временном шаге, и, следовательно, левая сторона может быть вычислена путем прямого сопоставления во времени. Схема основана на обратном дифференцировании, и ее ошибка усечения ряда Тейлора имеет первый порядок по времени. Все коэффициенты должны быть положительными. Для постоянного k и равномерного шага сетки это условие можно записать как a P = a P 0 {\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}} δ x P E = δ x W P = Δ x {\displaystyle \delta x_{PE}=\delta x_{WP}=\Delta x}

ρ c Δ x Δ t > 2 K Δ x {\displaystyle \rho c{\frac {\Delta x}{\Delta t}}>{\frac {2K}{\Delta x}}}

Это неравенство устанавливает строгое условие на максимальный временной шаг, который может быть использован, и представляет собой серьезное ограничение для схемы. Улучшение пространственной точности становится очень дорогим, поскольку максимально возможный временной шаг должен быть уменьшен как квадрат [6] Δ x {\displaystyle \Delta x}

2. Схема Кранка-Николсона  : метод Кранка-Николсона получается из установки . Дискретизированное нестационарное уравнение теплопроводности становится θ = 1 2 {\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}}

a P T P = a E [ T E + T E 0 2 ] + a W [ T W + T W 0 2 ] + [ a P 0 − a E 2 − a W 2 ] T P 0 + b {\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{E}\left[{\frac {T_{E}+{T_{E}}^{0}}{2}}\right]+a_{W}\left[{\frac {T_{W}+{T_{W}}^{0}}{2}}\right]+\left[{a_{P}}^{0}-{\frac {a_{E}}{2}}-{\frac {a_{W}}{2}}\right]{T_{P}}^{0}+b}

Где a P = a W + a E 2 + a P 0 − S P 2 {\displaystyle a_{P}={\frac {a_{W}+a_{E}}{2}}+{a_{P}}^{0}-{\frac {S_{P}}{2}}}

Поскольку в уравнении присутствует более одного неизвестного значения T на новом временном уровне, метод является неявным, и на каждом временном шаге необходимо решать одновременные уравнения для всех узловых точек. Хотя схемы, включающие схему Кранка-Николсона, безусловно устойчивы для всех значений временного шага, для физически реалистичных и ограниченных результатов важнее гарантировать, что все коэффициенты положительны. Это имеет место, если коэффициент удовлетворяет следующему условию 1 2 < θ < 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}<\theta <1} T P 0 {\displaystyle {T_{P}}^{0}}

a P 0 = [ a E + a W 2 ] {\displaystyle {a_{P}}^{0}=\left[{\frac {a_{E}+a_{W}}{2}}\right]}

что приводит к

Δ t < ρ c Δ x 2 K {\displaystyle \Delta t<\rho c{\frac {\Delta x^{2}}{K}}}

Crank-Nicolson основан на центральном дифференцировании и, следовательно, имеет точность второго порядка по времени. Общая точность вычисления зависит также от практики пространственного дифференцирования, поэтому схема Crank-Nicolson обычно используется в сочетании с пространственным центральным дифференцированием

3. Полностью неявная схема , когда значение Ѳ установлено равным 1, мы получаем полностью неявную схему. Дискретизированное уравнение: [7]

a P T P = a W T W + a E T E + a P 0 T P 0 + S u {\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{W}T_{W}+a_{E}T_{E}+{a_{P}}^{0}{T_{P}}^{0}+S_{u}}

a P = a P 0 + a W + a E − S P {\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}+a_{W}+a_{E}-S_{P}}

Обе стороны уравнения содержат температуры на новом временном шаге, и система алгебраических уравнений должна быть решена на каждом временном уровне. Процедура перехода по времени начинается с заданного начального поля температур . Система уравнений решается после выбора временного шага . Затем решение назначается и процедура повторяется для продвижения решения на еще один временной шаг. Видно, что все коэффициенты положительны, что делает неявную схему безусловно устойчивой для любого размера временного шага. Поскольку точность схемы только первого порядка по времени, для обеспечения точности результатов необходимы малые временные шаги. Неявный метод рекомендуется для общих расчетов переходных процессов из-за его надежности и безусловной устойчивости. T 0 {\displaystyle T^{0}} Δ t {\displaystyle \Delta t} T {\displaystyle T} T 0 {\displaystyle T^{0}}

Ссылки

  1. ^ https://books.google.com/books+finite+volume+method+for+unsteady+flows . Получено 10 ноября 2013 г. . {{cite web}}: Отсутствует или пусто |title=( помощь ) [ мертвая ссылка ]
  2. ^ Введение в вычислительную гидродинамику Х.К. Верстиг и В. Малаласекра Глава 8 стр. 168
  3. ^ Введение в вычислительную гидродинамику Х.К. Верстиг и В. Малаласекера Глава 8 стр. 169
  4. ^ Ким, Донджу; Чой, Хэчон (2000-08-10). «Метод конечного объема второго порядка с точностью по времени для нестационарного потока несжимаемой жидкости на гибридных неструктурированных сетках». Журнал вычислительной физики . 162 (2): 411–428. Bibcode : 2000JCoPh.162..411K. doi : 10.1006/jcph.2000.6546.
  5. ^ Введение в вычислительную гидродинамику Х.К. Верстиг и В. Малаласекера Глава 8 стр. 171
  6. ^ http://opencourses.emu.edu.tr/mod/resource/view.php?id=489 тема 7
  7. ^ http://opencourses.emu.edu.tr/course/view.php?id=27&lang=ru тема 7
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Finite_volume_method_for_unsteady_flow&oldid=1176713829"