Дендроид (топология)
В математике дендроид — это тип топологического пространства , удовлетворяющий следующим свойствам: оно наследственно уникогерентно (то есть каждый подконтинуум X уникогерентен), дугообразно связно и образует континуум . [1] Термин дендроид был введен Брониславом Кнастером, читавшим лекции во Вроцлавском университете , [2] хотя эти пространства ранее изучались Каролем Борсуком и другими. [3] [4]
Борсук (1954) доказал, что дендроиды обладают свойством неподвижной точки : каждая непрерывная функция от дендроида до себя имеет неподвижную точку. [3] Кук (1970) доказал, что каждый дендроид является древовидным , то есть он имеет произвольно тонкие открытые оболочки, нерв которых является деревом. [1] [5] Более общий вопрос о том, обладает ли каждый древовидный континуум свойством неподвижной точки, поставленный Бингом (1951), [6] был решен отрицательно Дэвидом П. Беллами, который привел пример древовидного континуума без свойства неподвижной точки. [7]
В оригинальной публикации Кнастера о дендроидах в 1961 году он поставил проблему характеристики дендроидов, которые могут быть вложены в евклидову плоскость . Эта проблема остается открытой. [2] [8] Другая проблема, поставленная в том же году Кнастером, о существовании несчетного набора дендроидов со свойством, что ни один дендроид в наборе не имеет непрерывной сюръекции на любой другой дендроид в наборе, была решена Минком (2010) и Исласом (2007), которые привели пример такого семейства. [9] [10]
Локально связанный дендроид называется дендритом . Конус над множеством Кантора (называемый веером Кантора ) является примером дендроида, который не является дендритом. [11]
Ссылки
- ^ Кук, Х. (1995), Continua: с Хьюстонским проблемным сборником, заметки лекций по чистой и прикладной математике, т. 170, CRC Press, стр. 31, ISBN 9780824796501
- ^ ab Charatonik, Janusz J. (1997), "Работы Бронислава Кнастера (1893–1980) по теории континуума", Справочник по истории общей топологии, т. 1 , Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., стр. 63–78 , MR 1617581.
- ^ аб Борсук, К. (1954), «Теорема о неподвижных точках», Бюллетень полонезной академии наук. Класс тройной. , 2 : 17–20.
- ^ Лелек, А (1961), «О плоских дендроидах и их конечных точках в классическом смысле» (PDF) , Fund. Math. , 49 (3): 301–319 , doi : 10.4064/fm-49-3-301-319.
- ^ Кук, Х. (1970), «Древовидность дендроидов и λ-дендроидов», Fundamenta Mathematicae , 68 : 19–22 , doi : 10.4064/fm-68-1-19-22 , MR 0261558.
- ^ Бинг, Р. Х. (1951), «Змеевидные континуумы», Duke Mathematical Journal , 18 (3): 653– 663, doi :10.1215/s0012-7094-51-01857-1, MR 0043450.
- ^ Беллами, Дэвид П. (1980), «Древовидный континуум без свойства неподвижной точки», Houston J. Math. , 6 : 1–13 , MR 0575909.
- ^ Мартинес-де-ла-Вега, Вероника ; Мартинес-Монтехано, Хорхе М. (2011), «Открытые проблемы на дендроидах», в Pearl, Elliott M. (ред.), Открытые проблемы в топологии II , Elsevier, стр. 319–334 , ISBN 9780080475295. См. в частности стр. 331.
- ^ Минц, Петр (2010), «Несчетная коллекция дендроидов, взаимно несравнимых непрерывными функциями», Хьюстонский журнал математики , 36 (4): 1185– 1205, MR 2753740. Ранее анонсировано в 2006 году.
- ^ Ислас, Карлос (2007), «Несчетное множество взаимно несравнимых плоских вееров», Topology Proceedings , 31 (1): 151– 161, MR 2363160.
- ^ Харатоник, Джей Джей; Харатоник, WJ; Миклос, С. (1990). «Слитные отображения фанатов». Математические диссертации . 301 : 1–86 .
 | Эта статья , связанная с топологией, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее. |
