Дельтовидная кривая
Кривая рулетки, составленная из окружностей, радиусы которых отличаются в 3 или 1,5 раза
  Фиксированный внешний круг
  Катящийся круг (1/3 радиуса внешнего круга)
  Дельтовидная кривая, образованная путем очерчивания окружной точки на катящейся окружности

В геометрии дельтовидная кривая , также известная как трикуспоидная кривая или кривая Штейнера , является гипоциклоидой с тремя остриями . Другими словами, это рулетка, созданная точкой на окружности , катящейся без скольжения по внутренней стороне окружности с радиусом в три или полтора раза больше ее . Она названа в честь заглавной греческой буквы дельта (Δ), на которую она похожа.

В более широком смысле дельтоид может относиться к любой замкнутой фигуре с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми к внешней стороне, что делает внутренние точки невыпуклым множеством . [1]

Уравнения

Гипоциклоиду можно представить (с точностью до вращения и поступательного движения ) следующими параметрическими уравнениями :

х = ( б − а ) потому что ⁡ ( т ) + а потому что ⁡ ( б − а а т ) {\displaystyle x=(ba)\cos(t)+a\cos \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,}
у = ( б − а ) грех ⁡ ( т ) − а грех ⁡ ( б − а а т ) , {\displaystyle y=(ba)\sin(t)-a\sin \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,,}

где a — радиус катящейся окружности, b — радиус окружности, внутри которой катится вышеупомянутая окружность, а t изменяется от нуля до 6π . (На иллюстрации выше b = 3a, очерчивая дельтовидную мышцу.)

В комплексных координатах это становится

з = 2 а е я т + а е − 2 я т {\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it}} .

Переменную t можно исключить из этих уравнений, получив декартово уравнение

( х 2 + у 2 ) 2 + 18 а 2 ( х 2 + у 2 ) − 27 а 4 = 8 а ( х 3 − 3 х у 2 ) , {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,}

так что дельтоид — это плоская алгебраическая кривая степени четыре. В полярных координатах это становится

г 4 + 18 а 2 г 2 − 27 а 4 = 8 а г 3 потому что ⁡ 3 θ . {\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}

Кривая имеет три особенности, каспы, соответствующие . Параметризация выше подразумевает, что кривая рациональна, что подразумевает, что она имеет нулевой род . т = 0 , ± 2 π 3 {\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi {3}}}

Отрезок линии может скользить каждым концом по дельтовидной мышце и оставаться касательным к дельтовидной мышце. Точка касания обходит дельтовидную мышцу дважды, в то время как каждый конец обходит ее один раз.

Двойная кривизна дельтовидной мышцы

х 3 − х 2 − ( 3 х + 1 ) у 2 = 0 , {\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}

которая имеет двойную точку в начале координат, которую можно сделать видимой для построения графика с помощью воображаемого поворота y ↦ iy, что дает кривую

х 3 − х 2 + ( 3 х + 1 ) у 2 = 0 {\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}

с двойной точкой в ​​начале координат действительной плоскости.

Площадь и периметр

Площадь дельтовидной мышцы равна , где a — радиус катящейся окружности; таким образом, площадь дельтовидной мышцы в два раза больше площади катящейся окружности. [2] 2 π а 2 {\displaystyle 2\пи а^{2}}

Периметр (общая длина дуги) дельтовидной мышцы составляет 16 а . [2]

История

Обычные циклоиды изучались Галилео Галилеем и Марином Мерсенном еще в 1599 году, но циклоидальные кривые были впервые задуманы Оле Рёмером в 1674 году при изучении наилучшей формы зубьев шестерен. Леонард Эйлер заявляет о первом рассмотрении фактической дельтоиды в 1745 году в связи с оптической проблемой.

Приложения

Дельтовидные мышцы возникают в нескольких областях математики. Например:

  • Множество комплексных собственных значений нестохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
  • Поперечное сечение множества нестохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
  • Множество возможных следов унитарных матриц, принадлежащих группе SU (3), образует дельтоид.
  • Пересечение двух дельтоидов параметризует семейство комплексных матриц Адамара шестого порядка.
  • Набор всех линий Симсона данного треугольника образует огибающую в форме дельтоида. Это известно как дельтоид Штейнера или гипоциклоида Штейнера в честь Якоба Штейнера, который описал форму и симметрию кривой в 1856 году. [3]
  • Огибающая биссектрис треугольника — дельтоид (в более широком смысле , определенном выше) с вершинами в серединах медиан . Стороны дельтоида — дуги гипербол , асимптотические к сторонам треугольника. [ 4 ] [1]
  • Дельтовидная мышца была предложена в качестве решения проблемы иглы Какея .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ "Биссектрисы площади треугольника". www.se16.info . Получено 26 октября 2017 г. .
  2. ^ ab Weisstein, Eric W. "Deltoid". Из MathWorld --A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html
  3. ^ Локвуд
  4. ↑ Данн, Дж. А. и Претти, Дж. А., «Деление треугольника пополам», Mathematical Gazette 56, май 1972 г., 105–108.
  • EH Lockwood (1961). "Глава 8: Дельтовидная мышца". Книга кривых . Cambridge University Press.
  • J. Dennis Lawrence (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. стр. 131–134. ISBN 0-486-60288-5.
  • Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии издательства Penguin. Нью-Йорк: Penguin Books. С. 52. ISBN 0-14-011813-6.
  • «Трикусповидный» в индексе знаменитых кривых MacTutor
  • «Дельтоид» в MathCurve
  • Соколов, ДД (2001) [1994], "Кривая Штейнера", Энциклопедия математики , Издательство EMS
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Дельтовидная_кривая&oldid=1212969039"