Комплексная матрица Адамара

Комплексная матрица Адамара — это любая комплексная матрица, удовлетворяющая двум условиям: Н × Н {\displaystyle N\times N} ЧАС {\displaystyle H}

  • унимодулярность ( модуль каждой записи равен единице): | ЧАС дж к | = 1  для  дж , к = 1 , 2 , … , Н {\displaystyle |H_{jk}|=1{\text{ для }}j,k=1,2,\dots ,N}
  • ортогональность : , ЧАС ЧАС † = Н я {\displaystyle HH^{\dagger }=NI}

где обозначает эрмитово транспонирование и является единичной матрицей . Концепция является обобщением матриц Адамара . Обратите внимание, что любая комплексная матрица Адамара может быть преобразована в унитарную матрицу путем умножения ее на ; наоборот , любая унитарная матрица, все элементы которой имеют модуль, становится комплексной матрицей Адамара при умножении на † {\displaystyle \кинжал} ЧАС {\displaystyle H} я {\displaystyle Я} ЧАС {\displaystyle H} 1 Н {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}} 1 Н {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}} Н . {\displaystyle {\sqrt {N}}.}

Комплексные матрицы Адамара возникают при изучении операторных алгебр и теории квантовых вычислений . Действительные матрицы Адамара и матрицы Адамара типа Батсона образуют частные случаи комплексных матриц Адамара.

Комплексные матрицы Адамара существуют для любого натурального числа (сравните с реальным случаем, в котором матрицы Адамара не существуют для каждого и существование неизвестно для каждого допустимого ). Например, матрицы Фурье ( комплексное сопряжение матриц ДПФ без нормирующего множителя), Н {\displaystyle N} Н {\displaystyle N} Н {\displaystyle N}

[ Ф Н ] дж к := эксп ⁡ [ 2 π я ( дж − 1 ) ( к − 1 ) / Н ] ф о г дж , к = 1 , 2 , … , Н {\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N}

принадлежат к этому классу.

Эквивалентность

Две комплексные матрицы Адамара называются эквивалентными , записанными так , если существуют диагональные унитарные матрицы и матрицы перестановок такие, что ЧАС 1 ≃ ЧАС 2 {\displaystyle H_{1}\simeq H_{2}} D 1 , D 2 {\displaystyle D_{1},D_{2}} P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}}

H 1 = D 1 P 1 H 2 P 2 D 2 . {\displaystyle H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.}

Любая комплексная матрица Адамара эквивалентна дефазированной матрице Адамара, в которой все элементы в первой строке и первом столбце равны единице.

Для и все комплексные матрицы Адамара эквивалентны матрице Фурье . Для существует непрерывное однопараметрическое семейство неэквивалентных комплексных матриц Адамара, N = 2 , 3 {\displaystyle N=2,3} 5 {\displaystyle 5} F N {\displaystyle F_{N}} N = 4 {\displaystyle N=4}

F 4 ( 1 ) ( a ) := [ 1 1 1 1 1 i e i a − 1 − i e i a 1 − 1 1 − 1 1 − i e i a − 1 i e i a ] w i t h a ∈ [ 0 , π ) . {\displaystyle F_{4}^{(1)}(a):={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}\\1&-1&1&-1\\1&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}\end{bmatrix}}{\quad {\rm {with\quad }}}a\in [0,\pi ).}

Известны следующие семейства комплексных матриц Адамара : N = 6 {\displaystyle N=6}

  • одно двухпараметрическое семейство, которое включает в себя , F 6 {\displaystyle F_{6}}
  • одно однопараметрическое семейство , D 6 ( t ) {\displaystyle D_{6}(t)}
  • однопараметрическая орбита , включающая циркулянтную матрицу Адамара , B 6 ( θ ) {\displaystyle B_{6}(\theta )} C 6 {\displaystyle C_{6}}
  • двухпараметрическая орбита, включающая предыдущие два примера , X 6 ( α ) {\displaystyle X_{6}(\alpha )}
  • однопараметрическая орбита симметричных матриц , M 6 ( x ) {\displaystyle M_{6}(x)}
  • двухпараметрическая орбита, включающая предыдущий пример , K 6 ( x , y ) {\displaystyle K_{6}(x,y)}
  • трехпараметрическая орбита, включающая все предыдущие примеры , K 6 ( x , y , z ) {\displaystyle K_{6}(x,y,z)}
  • дальнейшее построение с четырьмя степенями свободы, , дающее другие примеры, чем , G 6 {\displaystyle G_{6}} K 6 ( x , y , z ) {\displaystyle K_{6}(x,y,z)}
  • одна точка - одна из матриц Адамара типа Батсона, . S 6 ∈ H ( 3 , 6 ) {\displaystyle S_{6}\in H(3,6)}

Однако неизвестно, является ли этот список полным, но предполагается, что он является исчерпывающим (но не обязательно неисчерпывающим) списком всех комплексных матриц Адамара порядка 6. K 6 ( x , y , z ) , G 6 , S 6 {\displaystyle K_{6}(x,y,z),G_{6},S_{6}}

Ссылки

  • Хаагеруп, У. (1997). «Ортогональные максимальные абелевы *-подалгебры матриц n×n и циклические n-корни». Операторные алгебры и квантовая теория поля (Рим), 1996. Cambridge MA: International Press. стр.  296–322 . ISBN 1-57146-047-0. OCLC  1409082233.
  • Дита, П. (2004). «Некоторые результаты параметризации комплексных матриц Адамара». J. Phys. A: Math. Gen. 37 ( 20): 5355– 74. doi :10.1088/0305-4470/37/20/008.
  • Szöllősi, F. (2010). "Двухпараметрическое семейство комплексных матриц Адамара порядка 6, индуцированное гипоциклоидами". Труды Американского математического общества . 138 (3): 921– 8. arXiv : 0811.3930v2 . JSTOR  40590684.
  • Tadej, W.; Życzkowski, K. (2006). «Краткое руководство по комплексным матрицам Адамара». Open Systems & Infor. Dyn . 13 (2): 133– 177. arXiv : quant-ph/0512154 . doi :10.1007/s11080-006-8220-2.
  • Подробный список известных комплексных матриц Адамара и несколько примеров матриц Адамара размером 7-16 см. в Каталоге комплексных матриц Адамара. N = 6 {\displaystyle N=6}
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Complex_Hadamard_matrix&oldid=1242509626"