Функция Дена
Функция теории групп

В математическом предмете геометрической теории групп функция Дена , названная в честь Макса Дена , является оптимальной функцией, связанной с конечным представлением группы , которая ограничивает область отношения в этой группе (то есть свободно приведенного слова в генераторах, представляющих единичный элемент группы) в терминах длины этого отношения (см. стр. 79–80 в [1] ). Тип роста функции Дена является инвариантом квазиизометрии конечно представленной группы . Функция Дена конечно представленной группы также тесно связана с недетерминированной алгоритмической сложностью проблемы тождества слов в группах. В частности, конечно представленная группа имеет разрешимую проблему тождества слов тогда и только тогда, когда функция Дена для конечного представления этой группы рекурсивна (см. теорему 2.1 в [1] ). Понятие функции Дена мотивировано изопериметрическими задачами в геометрии, такими как классическое изопериметрическое неравенство для евклидовой плоскости и, в более общем плане, понятием функции заполнения площади, которая оценивает площадь минимальной поверхности в римановом многообразии через длину граничной кривой этой поверхности.

История

Идея изопериметрической функции для конечно представленной группы восходит к работам Макса Дена 1910-х годов. Ден доказал, что проблема слов для стандартного представления фундаментальной группы замкнутой ориентированной поверхности рода не менее двух разрешима с помощью того, что сейчас называется алгоритмом Дена . Прямым следствием этого факта является то, что для этого представления функция Дена удовлетворяет Dehn( n ) ≤ n . Этот результат был распространен в 1960-х годах Мартином Гриндлингером на конечно представленные группы, удовлетворяющие условию малого сокращения C'(1/6) . [2] Формальное понятие изопериметрической функции и функции Дена, как оно используется сегодня, появилось в конце 1980-х - начале 1990-х годов вместе с введением и развитием теории гиперболических групп . В своей монографии 1987 года «Гиперболические группы» [3] Громов доказал, что конечно определенная группа является гиперболической в ​​слове тогда и только тогда, когда она удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, то есть тогда и только тогда, когда функция Дена этой группы эквивалентна функции f ( n ) = n . Доказательство Громова во многом основывалось на аналогии с функциями заполнения площади для компактных римановых многообразий , где площадь минимальной поверхности, ограничивающей замкнутую кривую , гомотопную нулю, ограничена в терминах длины этой кривой.

Изучение изопериметрических и дэновских функций быстро развилось в отдельную крупную тему в геометрической теории групп , особенно потому, что типы роста этих функций являются естественными квазиизометрическими инвариантами конечно представленных групп. Один из основных результатов в этой области был получен Сапиром, Бирже и Рипсом , которые показали [4] , что большинство «разумных» функций временной сложности машин Тьюринга могут быть реализованы, с точностью до естественной эквивалентности, как функции дэна конечно представленных групп.

Формальное определение

Позволять

Г = ⟨ Х | Р ⟩ ( ∗ ) {\displaystyle G=\langle X|R\rangle \qquad (*)}

— конечное групповое представление , где X — конечный алфавит, а R  ⊆  F ( X ) — конечное множество циклически редуцированных слов.

Площадь отношения

Пусть w  ∈  F ( X ) — отношение в G , то есть свободно сокращенное слово, такое что w  = 1 в G . Обратите внимание, что это эквивалентно утверждению, что w принадлежит нормальному замыканию R в F ( X ), то есть существует представление w в виде

ж = ты 1 г 1 ты 1 − 1 ⋯ ты м г м ты м − 1  в  Ф ( Х ) , {\displaystyle w=u_{1}r_{1}u_{1}^{-1}\cdots u_{m}r_{m}u_{m}^{-1}{\text{ в }}F(X),}    (♠)

где m  ≥ 0 и где r i  ∈  R ± 1 для i  = 1, ...,  m .

Для w  ∈  F ( X ), удовлетворяющего w  = 1 в G , площадь w относительно (∗), обозначаемая Area( w ), является наименьшим m  ≥ 0 таким, что существует представление (♠) для w как произведения в F ( X ) m сопряженных элементов из R ± 1 .

Свободно сокращенное слово w  ∈  F ( X ) удовлетворяет w  = 1 в G тогда и только тогда, когда цикл, помеченный w в комплексе представления для G, соответствующем (∗), является гомотопным нулю . Этот факт можно использовать для того, чтобы показать, что Area( w ) является наименьшим числом 2-клеток в диаграмме Ван Кампена над (∗) с граничным циклом, помеченным w .

Изопериметрическая функция

Изопериметрическая функция для конечного представления (∗) — это монотонная неубывающая функция

ф : Н → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f:\mathbb {N} \to [0,\infty )}

такой, что всякий раз, когда w  ∈  F ( X ) является свободно сокращенным словом, удовлетворяющим w  = 1 в G , то

Площадь( w ) ≤  f (| w |),

где | w | — длина слова w .

Функция Дена

Тогда функция Дена конечного представления (∗) определяется как

Д е час н ( н ) = макс { А г е а ( ж ) : ж = 1  в  Г , | ж | ≤ н , ж  свободно сокращенный . } {\displaystyle {\rm {Дэн}}(n)=\max\{{\rm {Площадь}}(w):w=1{\text{ в }}G,|w|\leq n,w{\text{ свободно уменьшено}}.\}}

Эквивалентно, Dehn( n ) является наименьшей изопериметрической функцией для (∗), то есть Dehn( n ) является изопериметрической функцией для (∗) и для любой другой изопериметрической функции f ( n ) мы имеем

Ден( n ) ≤  f ( n )

для каждого n  ≥ 0.

Типы роста функций

Поскольку точная функция Дена обычно зависит от представления, обычно изучают ее асимптотический тип роста при стремлении n к бесконечности, который зависит только от группы.

Для двух монотонно-невыбывающих функций

ф , г : Н → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to [0,\infty )}

говорят, что f доминируется g, если существует C ≥1 такое ,  что

ф ( н ) ≤ С г ( С н + С ) + С н + С {\displaystyle f(n)\leq Cg(Cn+C)+Cn+C}

для каждого целого числа n  ≥ 0. Скажем, что f  ≈  g , если f доминируется g , а g доминируется f . Тогда ≈ является отношением эквивалентности , и функции Дена и изопериметрические функции обычно изучаются с точностью до этого отношения эквивалентности. Таким образом, для любых a,b > 1 мы имеем a n  ≈  b n . Аналогично, если f ( n ) является многочленом степени d (где d  ≥ 1 является действительным числом) с неотрицательными коэффициентами, то f ( n ) ≈  n d . Кроме того, 1 ≈  n .

Если конечное групповое представление допускает изопериметрическую функцию f ( n ), эквивалентную линейной (соответственно квадратичной, кубической, полиномиальной, показательной и т. д.) функции от n , то говорят, что представление удовлетворяет линейному (соответственно квадратичной, кубической, полиномиальной, показательной и т. д.) изопериметрическому неравенству .

Основные свойства

  • Если G и H — квазиизометрические конечно представленные группы и некоторое конечное представление G имеет изопериметрическую функцию f ( n ), то для любого конечного представления H существует изопериметрическая функция, эквивалентная f ( n ). В частности, этот факт справедлив для G  =  H , где одна и та же группа задана двумя различными конечными представлениями.
  • Следовательно, для конечно представленной группы тип роста ее функции Дена, в смысле приведенного выше определения, не зависит от выбора конечного представления для этой группы. В более общем случае, если две конечно представленные группы квазиизометричны, то их функции Дена эквивалентны.
  • Для конечно представленной группы G, заданной конечным представлением (∗), следующие условия эквивалентны:
    • G имеет рекурсивную функцию Дена относительно (∗).
    • Существует рекурсивная изопериметрическая функция f ( n ) для (∗).
    • Группа G имеет разрешимую текстовую задачу .
В частности, это означает, что разрешимость проблемы тождества является инвариантом квазиизометрии для конечно представленных групп .
  • Знание площади Area( w ) отношения w позволяет ограничить в терминах | w | не только число сопряженных определяющих отношений в (♠), но и длины сопрягающих элементов u i . Как следствие, известно [1] [5] , что если конечно представленная группа G, заданная конечным представлением (∗), имеет вычислимую функцию Дена Dehn( n ), то проблема слов для G разрешима с недетерминированной временной сложностью Dehn( n ) и детерминированной временной сложностью Exp(Dehn( n )). Однако, в общем случае, не существует разумной границы для функции Дена конечно представленной группы в терминах детерминированной временной сложности проблемы слов, и разрыв между двумя функциями может быть довольно большим.

Примеры

  • Для любого конечного представления конечной группы G имеем Dehn( n ) ≈  n . [6]
  • Для замкнутой ориентированной поверхности рода 2 стандартное представление ее фундаментальной группы
Г = ⟨ а 1 , а 2 , б 1 , б 2 | [ а 1 , б 1 ] [ а 2 , б 2 ] = 1 ⟩ {\displaystyle G=\langle a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}|[a_{1},b_{1}][a_{2},b_{2}]= 1\кольцо }
удовлетворяет условиям Dehn( n ) ≤  n и Dehn( n ) ≈  n .
Б ( 1 , 2 ) = ⟨ а , б | б − 1 а б = а 2 ⟩ {\displaystyle B(1,2)=\langle a,b|b^{-1}ab=a^{2}\rangle }
имеет Dehn( n ) ≈ 2 n (см. [7] ).
ЧАС 3 = ⟨ а , б , т | [ а , т ] = [ б , т ] = 1 , [ а , б ] = т 2 ⟩ {\displaystyle H_{3}=\langle a,b,t|[a,t]=[b,t]=1,[a,b]=t^{2}\rangle }
удовлетворяет кубическому, но не квадратичному изопериметрическому неравенству. [8]
  • Многомерные группы Гейзенберга
ЧАС 2 к + 1 = ⟨ а 1 , б 1 , … , а к , б к , т | [ а я , б я ] = т , [ а я , т ] = [ б я , т ] = 1 , я = 1 , … , к , [ а я , б дж ] = 1 , я ≠ дж ⟩ {\displaystyle H_{2k+1}=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k},t|[a_{i},b_{i}]=t,[a_{i},t]=[b_{i},t]=1,i=1,\dots ,k,[a_{i},b_{j}]=1,i\neq j\rangle } ,
где k  ≥ 2, удовлетворяют квадратичным изопериметрическим неравенствам. [9]
  • Если G является «группой Новикова-Буна», то есть конечно определенной группой с неразрешимой проблемой тождества слов , то функция Дена группы G растёт быстрее любой рекурсивной функции .
  • Для группы Томпсона F функция Дена является квадратичной, то есть эквивалентна n 2 (см. [10] ).
  • Так называемая группа Баумслага-Герстена
Г = ⟨ а , т | ( т − 1 а − 1 т ) а ( т − 1 а т ) = а 2 ⟩ {\displaystyle G=\langle a,t|(t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}\rangle }
имеет функцию Дена, растущую быстрее любой фиксированной итерированной башни экспонент. В частности, для этой группы
Ден( n ) ≈ exp(exp(exp(...(exp(1))...)))
где число экспонент равно целой части log 2 ( n ) (см. [1] [11] ).

Известные результаты

  • Конечно представленная группа является гиперболической группой тогда и только тогда, когда ее функция Дена эквивалентна n , то есть тогда и только тогда, когда каждое конечное представление этой группы удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству. [3]
  • Изопериметрический зазор : Если конечно представимая группа удовлетворяет субквадратичному изопериметрическому неравенству, то она является гиперболической. [3] [12] [13] Таким образом, не существует конечно представимых групп с функциями Дена, эквивалентными n d с d  ∈ (1,2).
  • Автоматические группы и, в более общем смысле, расчесываемые группы удовлетворяют квадратичным изопериметрическим неравенствам. [8]
  • Конечно порожденная нильпотентная группа имеет функцию Дена, эквивалентную n d , где d  ≥ 1, и все положительные целые числа d реализуются таким образом. Более того, каждая конечно порожденная нильпотентная группа G допускает полиномиальное изопериметрическое неравенство степени c  + 1, где c — класс нильпотентности G . [14]
  • Множество действительных чисел d  ≥ 1, таких, что существует конечно представленная группа с функцией Дена, эквивалентной n d , является плотным в интервале . [15] [ 2 , ∞ ) {\displaystyle [2,\infty )}
  • Если все асимптотические конусы конечно представленной группы односвязны , то группа удовлетворяет полиномиальному изопериметрическому неравенству. [16]
  • Если конечно определенная группа удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству, то все асимптотические конусы этой группы односвязны. [17]
  • Если ( M , g ) — замкнутое риманово многообразие и G  =  π 1 ( M ), то функция Дена многообразия G эквивалентна функции заполнения площади многообразия. [18]
  • Если G — группа, действующая собственно разрывно и кокомпактно посредством изометрий на пространстве CAT(0) , то G удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству. [19] В частности, это применимо к случаю, когда G — фундаментальная группа замкнутого риманова многообразия неположительной секционной кривизны (не обязательно постоянной).
  • Функция Дена для SL( m , Z ) не более чем экспоненциальна для любого m  ≥ 3. [20] Для SL(3, Z ) эта граница точная, и известно, что в этом случае функция Дена не допускает субэкспоненциальной верхней границы. [8] Функции Дена для SL( m , Z ), где m  > 4, являются квадратичными. [21] Терстон предположил, что функция Дена для SL(4, Z ), является квадратичной. Это и, в более общем смысле, гипотеза Громова о том, что решетки в группах Ли более высокого ранга имеют квадратичную функцию Дена, были доказаны Лойцингером и Янгом. [22]
  • Группы классов отображения поверхностей конечного типа являются автоматическими и удовлетворяют квадратичным изопериметрическим неравенствам. [23]
  • Функции Дена для групп Aut( F k ) и Out( F k ) являются экспоненциальными для любого k ≥ 3. Экспоненциальные изопериметрические неравенства для Aut( F k ) и Out( F k ) при k ≥ 3 были найдены Хэтчером и Фогтманном [24] . Эти границы точны, и группы Aut( F k ) и Out( F k ) не удовлетворяют субэкспоненциальным изопериметрическим неравенствам, как показано для k  = 3 Бридсоном и Фогтманном [25] и для k ≥ 4 Генделем и Мошером [26] .
  • Для каждого автоморфизма φ конечно порожденной свободной группы F k группа тора отображения φ удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству. [27] Ф к ⋊ ϕ З {\displaystyle F_{k}\rtimes _{\phi }\mathbb {Z} }
  • Большинство "разумных" вычислимых функций, которые ≥ n 4 , могут быть реализованы с точностью до эквивалентности как функции Дена конечно представленных групп. В частности, если f ( n ) ≥  n 4 является супераддитивной функцией, бинарное представление которой вычислимо за время машиной Тьюринга, то f ( n ) эквивалентна функции Дена конечно представленной группы. О ( ф ( н ) 4 ) {\displaystyle O\left({\sqrt[{4}]{f(n)}}\right)}
  • Хотя невозможно разумно ограничить функцию Дена группы в терминах сложности ее проблемы со словами, Биргет, Ольшанский, Рипс и Сапир получили следующий результат [28], дающий далеко идущее обобщение теоремы вложения Хигмана : проблема со словами конечно порожденной группы разрешима за недетерминированное полиномиальное время тогда и только тогда, когда эта группа может быть вложена в конечно представленную группу с полиномиальной изопериметрической функцией. Более того, каждая группа с проблемой со словами, разрешимой за время T( n ), может быть вложена в группу с изопериметрической функцией, эквивалентной n 2 T( n 2 ) 4 .

Обобщения

  • Существует несколько сопутствующих понятий, тесно связанных с понятием изопериметрической функции. Так, изодиаметрическая функция [29] ограничивает наименьший диаметр (относительно симплициальной метрики, где каждое ребро имеет длину один) диаграммы Ван Кампена для конкретного отношения w в терминах длины w . Функция длины заполнения — наименьшая длина заполнения диаграммы Ван Кампена для конкретного отношения w в терминах длины w . Здесь длина заполнения диаграммы — это минимум, по всем комбинаторным нулевым гомотопиям диаграммы, максимальной длины промежуточных петель, ограничивающих промежуточные диаграммы вдоль таких нулевых гомотопий. [30] Функция длины заполнения тесно связана с недетерминированной пространственной сложностью проблемы слов для конечно представленных групп. Существует несколько общих неравенств, связывающих функцию Дена, оптимальную изодиаметрическую функцию и оптимальную функцию длины заполнения, но точная связь между ними пока не понята.
  • Существуют также обобщения изопериметрических и Деновских функций на более высокие размерности. [31] Для k  ≥ 1 k -мерная изопериметрическая функция группы ограничивает минимальный комбинаторный объем ( k  + 1)-мерных шаровых заполнений k -сфер, отображенных в k -связное пространство, на котором группа действует правильно и кокомпактно; граница дается как функция комбинаторного объема k -сферы. Стандартное понятие изопериметрической функции соответствует случаю k  = 1. По сравнению с классическим случаем об этих функциях заполнения более высоких размерностей известно лишь немногое. Один из главных результатов заключается в том, что решетки в полупростых группах Ли более высокого ранга неискажены в размерностях ниже ранга, т. е. они удовлетворяют тем же функциям заполнения, что и их связанное симметричное пространство. [22]
  • В своей монографии «Асимптотические инварианты бесконечных групп » [32] Громов предложил вероятностную или усредненную версию функции Дена и предположил, что для многих групп усредненные функции Дена должны иметь строго более медленную асимптотику, чем стандартные функции Дена. Более точные трактовки понятия усредненной функции Дена или средней функции Дена были даны позже другими исследователями, которые также доказали, что действительно усредненные функции Дена являются субасимптотическими к стандартным функциям Дена в ряде случаев (таких как нильпотентные и абелевы группы). [33] [34] [35]
  • Относительная версия понятия изопериметрической функции играет центральную роль в подходе Осина к относительно гиперболическим группам . [36]
  • Григорчук и Иванов исследовали несколько естественных обобщений функции Дена для групповых представлений с конечным числом образующих, но с бесконечным числом определяющих соотношений. [37]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ abcd SM Gersten, Изопериметрические и изодиаметрические функции конечных представлений. Геометрическая теория групп, т. 1 (Сассекс, 1991), стр. 79–96, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 181, Cambridge University Press , Кембридж, 1993.
  2. ↑ Мартин Гриндлингер, Алгоритм Дена для решения текстовой задачи. Сообщения по чистой и прикладной математике, т. 13 (1960), стр. 67–83.
  3. ^ abc M. Gromov, Hyperbolic Groups in: "Essays in Group Theory" (GM Gersten, ред.), MSRI Publ. 8, 1987, стр. 75–263. ISBN  0-387-96618-8 . MR 0919829
  4. ^ М. Сапир, Ж.-К. Бирже, Э. Рипс. Изопериметрические и изодиаметрические функции групп . Annals of Mathematics (2), т. 156 (2002), № 2, стр. 345–466.
  5. ^ Хуан М. Алонсо, Inégalités isopérimétriques et quasi-isométries. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 311 (1990), вып. 12, стр. 761–764.
  6. ^ ab Мартин Р. Бридсон. Геометрия словесной задачи. Приглашения в геометрию и топологию, стр. 29–91, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 7, Oxford University Press , Оксфорд, 2002. ISBN 0-19-850772-0 . 
  7. ^ SM Gersten, Dehn functions and l 1 -norms of final representations . Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп (Беркли, Калифорния, 1989), стр. 195–224, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Springer, Нью-Йорк, 1992. ISBN 0-387-97685-X . 
  8. ^ abc DBA Epstein , JW Cannon , D. Holt, S. Levy, M. Paterson, W. Thurston. Обработка текстов в группах . Jones and Bartlett Publishers, Бостон, Массачусетс, 1992. ISBN 0-86720-244-0 MR 1161694 
  9. ^ Д. Оллкок, Изопериметрическое неравенство для групп Гейзенберга. Геометрический и функциональный анализ , т. 8 (1998), № 2, стр. 219–233.
  10. ^ VS Guba, Функция Дена группы Ричарда Томпсона F является квадратичной. Inventiones Mathematicae , т. 163 (2006), № 2, стр. 313–342.
  11. ^ А. Н. Платонов, Изопараметрическая функция группы Баумслага-Герстена . (на русском языке.) Вестник Москвы. унив. Сер. Я Мат. Мех. 2004, нет. 3, стр. 12–17; перевод в: Вестник Московского университета по математике, вып. 59 (2004), вып. 3, стр. 12–17 (2005).
  12. ^ А. Ю. Ольшанский. Гиперболичность групп с субквадратичным изопериметрическим неравенством. International Journal of Algebra and Computation, т. 1 (1991), № 3, стр. 281–289. MR 1148230 doi :10.1142/S0218196791000183
  13. ^ BH Bowditch . Краткое доказательство того, что субквадратичное изопериметрическое неравенство влечет линейное. Michigan Mathematical Journal, т. 42 (1995), № 1, стр. 103–107. MR 1322192 doi :10.1307/mmj/1029005156
  14. ^ SM Gersten, DF Holt, TR Riley, Изопериметрические неравенства для нильпотентных групп. Геометрический и функциональный анализ , т. 13 (2003), № 4, стр. 795–814. MR 2006557 doi :10.1007/s00039-003-0430-y
  15. ^ Н. Брэди и М. Р. Бридсон, В изопериметрическом спектре есть только один пробел. Геометрический и функциональный анализ , т. 10 (2000), № 5, стр. 1053–1070.
  16. ↑ М. Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп , в: «Геометрическая теория групп», т. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993, стр. 1–295.
  17. ^ П. Папашоглу. Об асимптотическом конусе групп, удовлетворяющих квадратичному изопериметрическому неравенству. Архивировано 2011-05-23 в Wayback Machine Journal of Differential Geometry , т. 44 (1996), № 4, стр. 789–806.
  18. ^ J. Burillo и J. Taback . Эквивалентность геометрических и комбинаторных функций Дена. New York Journal of Mathematics, т. 8 (2002), стр. 169–179.
  19. ^ М. Р. Бридсон и А. Хефлигер , Метрические пространства неположительной кривизны. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], том. 319. Springer-Verlag, Берлин, 1999. ISBN 3-540-64324-9 ; Замечание 1.7, с. 444. 
  20. ^ Leuzinger, Enrico (май 2004). «О полиэдральных ретрактах и ​​компактификациях локально симметричных пространств». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 20 (3): 293–318. doi :10.1016/j.difgeo.2004.03.001.
  21. ^ Роберт Янг, Функция Дена для SL(n;Z). Annals of Mathematics (2), т. 177 (2013) № 3, стр. 969–1027.
  22. ^ ab E. Leuzinger и R. Young, Filling functions of arithmetic groups. Annals of Mathematics , т. 193 (2021), стр. 733–792.
  23. ^ Ли Мошер, Отображение групп классов является автоматическим. Annals of Mathematics (2), т. 142 (1995), № 2, стр. 303–384.
  24. ^ Аллен Хэтчер и Карен Фогтманн , Изопериметрические неравенства для групп автоморфизмов свободных групп. Pacific Journal of Mathematics , т. 173 (1996), № 2, 425–441.
  25. ↑ Мартин Р. Бридсон и Карен Фогтманн, О геометрии группы автоморфизмов свободной группы, Бюллетень Лондонского математического общества , т. 27 (1995), № 6, стр. 544–552.
  26. ^ Михаэль Гендель и Ли Мошер, Липшицева ретракция и искажение для подгрупп Out(Fn). Геометрия и топология , т. 17 (2013), № 3, стр. 1535–1579. MR 3073930 doi :10.2140/gt.2013.17.1535
  27. ^ Мартин Р. Бридсон и Дэниел Гроувс. Квадратичное изопериметрическое неравенство для отображения торов автоморфизмов свободных групп. Мемуары Американского математического общества , т. 203 (2010), № 955.
  28. ^ Ж.-К. Бирже, А. Ю. Ольшанский, Э. Рипс, М. Сапир. Изопериметрические функции групп и вычислительная сложность проблемы слов. Annals of Mathematics (2), т. 156 (2002), № 2, стр. 467–518.
  29. ^ SM Gersten, Двойная показательная теорема для изодиаметрических и изопериметрических функций . Международный журнал алгебры и вычислений, т. 1 (1991), № 3, стр. 321–327.
  30. ^ SM Gersten и T. Riley, Filling length in finally presentable groups. Посвящается Джону Столлингсу по случаю его 65-летия. Geometriae Dedicata , т. 92 (2002), стр. 41–58.
  31. ^ JM Alonso, X. Wang и SJ Pride, Многомерные изопериметрические (или Деновские) функции групп. Журнал теории групп , т. 2 (1999), № 1, стр. 81–112.
  32. ↑ М. Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп , в: «Геометрическая теория групп», т. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Издательство Кембриджского университета , Кембридж, 1993, стр. 1–295.
  33. ^ О. Богопольский и Э. Вентура. Средние функции Дена абелевых групп. Журнал теории групп , т. 11 (2008), № 4, стр. 569–586.
  34. ^ Роберт Янг. Усредненные функции Дена для нильпотентных групп. Топология , т. 47 (2008), № 5, стр. 351–367.
  35. ^ Кукина Е. Г. и Романьков В. А. Субквадратичный рост усредненной функции Дена для свободных абелевых групп // Сибирский математический журнал, т. 44 (2003), № 4, 1573–9260.
  36. ^ Денси Осин. Относительно гиперболические группы: внутренняя геометрия, алгебраические свойства и алгоритмические проблемы. Мемуары Американского математического общества, т. 179 (2006), № 843. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3821-1 . 
  37. ^ Р. И. Григорчук и С. В. Иванов, О функциях Дена бесконечных представлений групп, Геометрический и функциональный анализ , т. 18 (2009), № 6, стр. 1841–1874

Дальнейшее чтение

  • Ноэль Брэди, Тим Райли и Хэмиш Шорт. Геометрия проблемы слов для конечно порожденных групп. Продвинутые курсы по математике CRM Барселона, Биркхойзер, Базель, 2007. ISBN 3-7643-7949-9 . 
  • Мартин Р. Бридсон. Геометрия словесной задачи. Приглашения в геометрию и топологию, стр. 29–91, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 7, Oxford University Press , Оксфорд, 2002. ISBN 0-19-850772-0 . 
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dehn_function&oldid=1244731627"