Проводник (теория колец)

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденные материалы могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  Теория кольца «Кондуктор» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории колец , разделе математики , проводник является измерением того, насколько далеко друг от друга находятся коммутативное кольцо и кольцо расширения . Чаще всего большее кольцо является областью , цело замкнутой в своем поле дробей , а затем проводник измеряет неспособность меньшего кольца быть цело замкнутым.

Проводник имеет большое значение в изучении немаксимальных порядков в кольце целых чисел алгебраического числового поля . Одна из интерпретаций проводника заключается в том, что он измеряет несостоятельность однозначной факторизации в простые идеалы .

Пусть A и B — коммутативные кольца, и предположим, что A ⊆ B. Проводник [ ^1] ​​кольца A в B — это идеал

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Энн} _{A}(B/A).}$

Здесь B  / A рассматривается как частное A - модулей , а Ann обозначает аннулятор . Более конкретно, проводник - это множество

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)=\{a\in A\colon aB\subseteq A\}.}$

Поскольку проводник определяется как аннулятор , он является идеалом A.

Если B — целостная область , то проводник можно переписать как

${\displaystyle \{0\}\cup \left\{a\in A\setminus \{0\}:B\subseteq \textstyle {\frac {1}{a}}A\right\},}$

где рассматривается как подмножество дробного поля B . То есть, если a не равно нулю и находится в проводнике, то каждый элемент B может быть записан в виде дроби, числитель которой находится в A , а знаменатель — a . Поэтому ненулевые элементы проводника — это те, которые достаточны в качестве общих знаменателей при записи элементов B в виде частных элементов A .${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{a}}A}$

Предположим, что R — это кольцо, содержащее B. Например, R может быть равно B или B может быть доменом, а R — его полем дробей. Тогда, поскольку 1 ∈ B , проводник также равен

${\displaystyle \{r\in R:rB\subseteq A\}.}$

Проводник является всем кольцом A тогда и только тогда, когда оно содержит 1 ∈ A и, следовательно, тогда и только тогда, когда A = B. В противном случае проводник является собственным идеалом кольца A.

Если индекс m = [ B  : A ] конечен, то mB ⊆ A , поэтому . В этом случае проводник ненулевой. Это применимо, в частности, когда B — кольцо целых чисел в алгебраическом числовом поле, а A — порядок (подкольцо, для которого B  / A конечно).${\displaystyle m\in {\mathfrak {f}}(B/A)}$

Проводник также является идеалом B , потому что для любого b из B и любого a из , baB ⊆ aB ⊆ A . Фактически, идеал J из B содержится в A тогда и только тогда, когда J содержится в проводнике. Действительно, для такого J , JB ⊆ J ⊆ A , поэтому по определению J содержится в . Обратно , проводник является идеалом A , поэтому любой идеал, содержащийся в нем, содержится в A . Этот факт подразумевает, что является наибольшим идеалом A , который также является идеалом B . (Может случиться, что существуют идеалы A , содержащиеся в проводнике, которые не являются идеалами B .)${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$

Предположим, что S — мультипликативное подмножество A. Тогда

${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)\subseteq {\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A),}$

с равенством в случае, если B является конечно порождённым A -модулем.

Некоторые из наиболее важных приложений кондуктора возникают, когда B является областью Дедекинда , а B  / A конечно. Например, B может быть кольцом целых чисел числового поля , а A — немаксимальным порядком. Или B может быть аффинным координатным кольцом гладкой проективной кривой над конечным полем , а A — аффинным координатным кольцом сингулярной модели. Кольцо A не имеет однозначной факторизации на простые идеалы, и несостоятельность однозначной факторизации измеряется кондуктором .${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$

Идеалы , взаимно простые с проводником, разделяют многие приятные свойства идеалов в дедекиндовых областях. Более того, для этих идеалов существует тесное соответствие между идеалами B и идеалами A :

• Идеалы A , которые взаимно просты, чтобы иметь единственное разложение на произведения обратимых простых идеалов, которые взаимно просты с проводником. В частности, все такие идеалы обратимы.${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$
• Если I — идеал в B , который взаимно прост с , то I ∩ A — идеал в A , который взаимно прост с , и естественный гомоморфизм колец является изоморфизмом . В частности, I является простым тогда и только тогда, когда I ∩ A является простым.${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle A/(I\cap A)\to B/I}$
• Если J — идеал A , который относительно прост с , то JB — идеал B , который относительно прост с , и естественный гомоморфизм колец является изоморфизмом. В частности, J является простым тогда и только тогда, когда JB является простым.${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle A/J\to B/JB}$
• Функции и определяют биекцию между идеалами A, взаимно простыми с , и идеалами B, взаимно простыми с . Эта биекция сохраняет свойство быть простым. Она также мультипликативна, то есть и .${\displaystyle I\mapsto I\cap A}$${\displaystyle J\mapsto JB}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle (I\cap A)(I'\cap A)=II'\cap A}$${\displaystyle (JB)(J'B)=JJ'B}$

Все эти свойства в общем случае не выполняются для идеалов, не взаимно простых с проводником. Чтобы увидеть некоторые из трудностей, которые могут возникнуть, предположим, что J является ненулевым идеалом как A , так и B (в частности, он содержится в проводнике, следовательно, не является взаимно простым с ним). Тогда J не может быть обратимым дробным идеалом A , если только A = B. Поскольку B является областью Дедекинда, J обратим в B , и, следовательно,

${\displaystyle \{x\in K\colon xJ\subseteq J\}=B,}$

поскольку мы можем умножить обе стороны уравнения xJ ⊆ J на ​​J ⁻¹ . Если J также обратим в A , то применимы те же рассуждения. Но левая часть приведенного выше уравнения не ссылается ни на A, ни на B , а только на их общее поле дробей, и, следовательно, A = B. Следовательно , идеал как A , так и B подразумевает необратимость в A.

Пусть K — квадратичное расширение Q , и пусть _{O K — его кольцо целых чисел. Расширяя 1 ∈ O K} до _Z -базиса , мы видим , что каждый порядок O в K имеет вид Z + cO _K для некоторого положительного целого числа c . Кондуктор этого порядка равен идеалу cO _K . Действительно, ясно, что cO _K — идеал O _{K ,} содержащийся в O , поэтому он содержится в кондукторе. С другой стороны, идеалы O , содержащие cO _{K ,} совпадают с идеалами фактор-кольца ( Z + cO _K ) /  cO _K . Последнее кольцо изоморфно Z  /  c Z по второй теореме об изоморфизме , поэтому все такие идеалы O являются суммой cO _K с идеалом Z . При этом изоморфизме кондуктор аннулирует Z  /  c Z , поэтому он должен быть c Z .

В этом случае индекс [ O _K  : O ] также равен c , поэтому для порядков квадратичных числовых полей индекс можно отождествить с проводником. Для числовых полей более высокой степени эта идентификация невозможна.

• Неотъемлемый элемент