Кристаллические когомологии

В математике кристаллические когомологии — это теория когомологий Вейля для схем X над базовым полем k . Её значения H ⁿ ( X / W ) являются модулями над кольцом W векторов Витта над k . Она была введена Александром Гротендиком  (1966, 1968) и развита Пьером Бертло  (1974).

Кристаллические когомологии частично вдохновлены p -адическим доказательством в Дворке (1960) части гипотез Вейля и тесно связаны с алгебраической версией когомологий де Рама , введенной Гротендиком (1963). Грубо говоря, кристаллические когомологии многообразия X в характеристике p являются когомологиями де Рама гладкого подъема X до характеристики 0, в то время как когомологии де Рама X являются кристаллическими когомологиями, приведенными по модулю p (после учета высших Tor s ).

Идея кристаллических когомологий, грубо говоря, заключается в замене открытых множеств Зарисского схемы бесконечно малыми утолщениями открытых множеств Зарисского с разделенными степенными структурами . Мотивация этого заключается в том, что затем ее можно вычислить, взяв локальный подъем схемы из характеристики p в характеристику 0 и применив соответствующую версию алгебраических когомологий де Рама.

Кристаллическая когомология хорошо работает только для гладких собственных схем. Жесткая когомология расширяет ее на более общие схемы.

Для схем в характеристике p кристаллическая теория когомологий может обрабатывать вопросы о p -кручении в группах когомологий лучше, чем p -адические этальные когомологии . Это делает ее естественным фоном для большей части работы по p-адическим L-функциям .

Кристаллические когомологии, с точки зрения теории чисел, заполняют пробел в l-адической когомологической информации, которая возникает именно там, где есть «равные характеристические простые числа». Традиционно являясь прерогативой теории ветвления , кристаллические когомологии преобразуют эту ситуацию в теорию модулей Дьедонне , давая важную обработку арифметических проблем. Гипотезы с широкими возможностями превращения этого в формальные утверждения были сформулированы Жаном-Марком Фонтеном , разрешение которых называется p-адической теорией Ходжа .

Для многообразия X над алгебраически замкнутым полем характеристики p > 0, -адические когомологические группы для любого простого числа, отличного от p, дают удовлетворительные когомологические группы X с коэффициентами в кольце -адических целых чисел . В общем случае невозможно найти подобные когомологические группы с коэффициентами в Q _p (или Z _p , или Q , или Z ), имеющие разумные свойства.${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell }}$${\displaystyle \ell }$

Классическая причина (от Серра) заключается в том, что если X — суперсингулярная эллиптическая кривая , то ее кольцо эндоморфизмов — максимальный порядок в кватернионной алгебре B над Q, разветвленной в p и ∞. Если бы X имела группу когомологий над Q _p ожидаемой размерности 2, то (противоположная алгебра) B действовала бы на этом 2-мерном пространстве над Q _p , что невозможно, поскольку B разветвлена ​​в p . ^[1]

Кристаллическая теория когомологий Гротендика обходит это препятствие, поскольку она производит модули над кольцом векторов Витта основного поля . Таким образом, если основное поле является алгебраическим замыканием F _p , его значения являются модулями над p -адическим пополнением максимального неразветвленного расширения Z p _, гораздо большего кольца, содержащего корни n- й степени из единицы для всех n, не делящихся на p , а не над Z _p .

Одна из идей определения теории когомологий Вейля многообразия X над полем k характеристики p состоит в том, чтобы «поднять» его до многообразия X * над кольцом векторов Витта k (что возвращает X при редукции mod p ), а затем взять когомологии де Рама этого поднятия. Проблема в том, что совсем не очевидно, что эти когомологии независимы от выбора поднятия.

Идея кристаллических когомологий в характеристике 0 состоит в том, чтобы найти прямое определение теории когомологий как когомологий постоянных пучков на подходящем сайте.

Инф( X )

над X , называемым бесконечно малым участком , а затем показать, что он совпадает с когомологиями де Рама любого лифта.

Сайт Inf( X ) — это категория, объекты которой можно рассматривать как своего рода обобщение обычных открытых множеств X . В характеристике 0 ее объекты — это бесконечно малые утолщения U → T открытых по Зарискому подмножеств U из X . Это означает, что U — замкнутая подсхема схемы T , определяемая нильпотентным пучком идеалов на T ; например, Spec( k ) → Spec( k [ x ]/( x ² )).

Гротендик показал, что для гладких схем X над C когомологии пучка O _X на Inf( X ) совпадают с обычными (гладкими или алгебраическими) когомологиями де Рама.

В характеристике p наиболее очевидный аналог кристаллического сайта, определенного выше в характеристике 0, не работает. Причина в том, что для доказательства точности комплекса де Рама нужна своего рода лемма Пуанкаре , доказательство которой, в свою очередь, использует интегрирование, а интегрирование требует различных разделенных степеней, которые существуют в характеристике 0, но не всегда в характеристике p . Гротендик решил эту проблему, определив объекты кристаллического сайта X как приблизительно бесконечно малые утолщения открытых по Зарискому подмножеств X , вместе со структурой разделенной степеней, дающей необходимые разделенные степени.

Мы будем работать над кольцом W _n = W / p ⁿ W векторов Витта длины n над совершенным полем k характеристики p > 0. Например, k может быть конечным полем порядка p , и тогда W _n будет кольцом Z / p ⁿ Z . (В более общем случае можно работать над базовой схемой S , которая имеет фиксированный пучок идеалов I с разделенной степенной структурой.) Если X является схемой над k , то кристаллический сайт X относительно W _n , обозначаемый Cris( X / W _n ), имеет в качестве своих объектов пары U → T , состоящие из замкнутого погружения открытого по Зарискому подмножества U из X в некоторую W _n -схему T , определяемую пучком идеалов J , вместе с разделенной степенной структурой на J , совместимой со структурой на W _n .

Кристаллические когомологии схемы X над k определяются как обратный предел

${\displaystyle H^{i}(X/W)=\varprojlim H^{i}(X/W_{n})}$

где

${\displaystyle H^{i}(X/W_{n})=H^{i}(\operatorname {Cris} (X/W_{n}),O)}$

— когомологии кристаллического узла X / W _n со значениями в пучке колец O  := O _{W n} .

Ключевым моментом теории является то, что кристаллические когомологии гладкой схемы X над k часто можно вычислить в терминах алгебраических когомологий де Рама собственного и гладкого подъема X до схемы Z над W. Существует канонический изоморфизм

${\displaystyle H^{i}(X/W)=H_{DR}^{i}(Z/W)\quad (=H^{i}(Z,\Omega _{Z/W}^{* })=\varprojlim H^{i}(Z,\Omega _{Z/W_{n}}^{*}))}$

кристаллических когомологий X с когомологиями де Рама Z над формальной схемой W ( обратный предел гиперкогомологий комплексов дифференциальных форм). Наоборот, когомологии де Рама X могут быть восстановлены как редукция mod p его кристаллических когомологий (после учета высших Tor s) .

Если X является схемой над S, то пучок O _{X / S} определяется как O _{X / S} ( T ) = координатное кольцо T , где мы записываем T как сокращение для объекта U  →  T из Cris( X / S ).

Кристалл на сайте Cris( X / S ) представляет собой пучок F модулей O _{X / S} , который является жестким в следующем смысле:

для любого отображения f между объектами T , T ′ из Cris( X / S ) естественное отображение из f ^* F ( T ) в F ( T ′) является изоморфизмом.

Это похоже на определение квазикогерентного пучка модулей в топологии Зарисского.

Примером кристалла является пучок O _{X / S.}

Термин кристалл, связанный с теорией, пояснённый в письме Гротендика Тейту (1966), был метафорой, навеянной определёнными свойствами алгебраических дифференциальных уравнений . Они сыграли роль в p -адических теориях когомологий (предшественниках кристаллической теории, введённых в различных формах Дворком , Монски , Вашницером, Любкиным и Кацем ), особенно в работе Дворка. Такие дифференциальные уравнения можно достаточно легко сформулировать с помощью алгебраических связей Кошуля , но в p -адической теории аналог аналитического продолжения более загадочен (поскольку p -адические диски имеют тенденцию быть непересекающимися, а не перекрывающимися). По указу кристалл должен был бы обладать «жёсткостью» и «распространением», заметными в случае аналитического продолжения комплексных аналитических функций. (Ср. также жёсткие аналитические пространства, введённые Джоном Тейтом в 1960-х годах, когда эти вопросы активно обсуждались.)

• Мотивные когомологии
• Когомологии де Рама

• Бертло, Пьер (1974), Кристаллические когомологии схем характеристик p>0 , Конспект лекций по математике, Vol. 407, том. 407, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0068636, ISBN. 978-3-540-06852-5, МР  0384804
• Бертело, Пьер; Огус, Артур (1978), Заметки о кристаллических когомологиях , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08218-9, МР  0491705
• Шамбер-Луар, Антуан (1998), «Кристаллические когомологии: un survol», Expositiones Mathematicae , 16 (4): 333–382 , ISSN  0723-0869, MR  1654786, заархивировано из оригинала 21 июля 2011 г.
• Дворк, Бернард (1960), «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия», American Journal of Mathematics , 82 (3), Издательство Университета Джонса Хопкинса: 631– 648, doi : 10.2307/2372974, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372974, MR  0140494
• Гротендик, Александр (1966), «О когомологиях де Рама алгебраических многообразий», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 29 (29): 95–103 , doi : 10.1007/BF02684807, ISSN  0073-8301, MR  0199194(письмо Атии, 14 октября 1963 г.)
• Гротендик, Александр (1966), Письмо Дж. Тейту (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2021 г..
• Гротендик, Александр (1968), «Кристаллы и когомологии де Рама схем» (PDF) , в Жиро, Жан; Гротендик, Александр; Клейман, Стивен Л.; и др. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , Продвинутые исследования чистой математики, т. 3, Амстердам: Северная Голландия, стр.  306–358 , MR  0269663, архивировано из оригинала (PDF) 2022-02-08
• Иллюзи, Люк (1975), «Отчет о кристаллических когомологиях», Алгебраическая геометрия , Proc. Sympos. Pure Math., т. 29, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., стр.  459–478 , MR  0393034
• Иллюзия, Люк (1976), "Кристаллические когомологии (д'апре П. Бертло)", Семинар Бурбаки (1974/1975: Exposes Nos. 453-470), Exp. № 456, Конспект лекций по математике, вып. 514, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр.  53–60 , MR  0444668, заархивировано из оригинала 10 февраля 2012 г. , получено 20 сентября 2007 г.
• Иллюзи, Люк (1994), «Кристаллические когомологии», Motives (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Sympos. Pure Math., т. 55, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., стр.  43–70 , MR  1265522
• Kedlaya, Kiran S. (2009), "p-адические когомологии", в Abramovich, Dan; Bertram, A.; Katzarkov, L.; Pandharipande, Rahul; Thaddeus., M. (ред.), Algebraic geometry---Seattle 2005. Часть 2 , Proc. Sympos. Pure Math., т. 80, Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр.  667– 684, arXiv : math/0601507 , Bibcode : 2006math......1507K, ISBN 978-0-8218-4703-9, г-н  2483951