Идеальный сноп

В алгебраической геометрии и других областях математики пучок идеалов (или пучок идеалов ) — это глобальный аналог идеала в кольце . Пучки идеалов на геометрическом объекте тесно связаны с его подпространствами.

Пусть X — топологическое пространство , а A — пучок колец на X. (Другими словами, ( X ,  A ) — окольцованное пространство .) Идеальный пучок J в A — это подобъект A в категории пучков A -модулей, т. е. подпучок A , рассматриваемый как пучок абелевых групп, такой что

Γ( U , A ) · Γ( U , J ) ⊆ Γ( U , J )

для всех открытых подмножеств U из X. Другими словами , J является пучком A -подмодулей A.

• Если f :  A  →  B — гомоморфизм двух пучков колец на одном и том же пространстве X , то ядро ​​f является идеальным пучком в A.
• Обратно, для любого идеального пучка J в пучке колец A существует естественная структура пучка колец на фактор-пучке A / J. Обратите внимание, что каноническое отображение

Г( U , А )/Г( U , J ) → Г( U , А / J )

для открытых подмножеств U инъективно, но не сюръективно в общем случае. (См. когомологии пучков .)

В контексте схем важность идеальных пучков заключается в основном в соответствии между замкнутыми подсхемами и квазикогерентными идеальными пучками. Рассмотрим схему X и квазикогерентный идеальный пучок J в O _X . Тогда носитель Z O _X / J является замкнутым подпространством X , а ( Z , O _X / J ) является схемой (оба утверждения можно проверить локально). Она называется замкнутой подсхемой X , определяемой J . Обратно, пусть i :  Z  →  X будет замкнутым погружением , т. е. морфизмом, который является гомеоморфизмом на замкнутое подпространство таким образом, что связанное отображение

я ^# : О _X → я _⋆ О _Z

сюръективно на стеблях. Тогда ядро ​​J i ^# является квазикогерентным идеальным пучком, и i индуцирует изоморфизм из Z на замкнутую подсхему , определяемую J . ^[1]

Частным случаем этого соответствия является уникальная редуцированная подсхема X _red схемы X , имеющая то же самое базовое пространство, которое определяется нильрадикалом O _X (определенным послойно или на открытых аффинных картах). ^[2]

Для морфизма f :  X  →  Y и замкнутой подсхемы Y ′  ⊆  Y , определяемой идеальным пучком J , прообраз Y ′  × _Y  X определяется идеальным пучком ^[3]

ж ^⋆ ( J )О _Икс знак равно им( ж ^⋆ J → О _Икс ).

Обратный пул идеального пучка J к подсхеме Z, определяемой J , содержит важную информацию, он называется конормальным расслоением Z. Например , пучок кэлеровых дифференциалов может быть определен как обратный пул идеального пучка, определяющего диагональ X → X × X к X. (Предположим для простоты, что X разделен так  ,  что  диагональ  является замкнутым погружением . ) [ 4 ^]

В теории комплексно-аналитических пространств теорема Ока-Картана утверждает, что замкнутое подмножество A комплексного пространства является аналитическим тогда и только тогда, когда идеальный пучок функций, обращающихся в нуль на A, является когерентным . Этот идеальный пучок также задаёт A структуру редуцированного замкнутого комплексного подпространства.

• Элементы алгебраической геометрии
• Х. Грауэрт , Р. Реммерт : Когерентные аналитические пучки . Шпрингер-Верлаг, Берлин, 1984 г.