Кристалл (математика)

В математике кристаллы — это декартовы сечения определенных волокнистых категорий . Они были введены Александром Гротендиком  (1966a), который назвал их кристаллами, потому что в некотором смысле они «жесткие» и «растут». В частности, квазикогерентные кристаллы над кристаллическим сайтом аналогичны квазикогерентным модулям над схемой .

Изокристалл — это кристалл с точностью до изогении. Они являются -адическими аналогами -адических этальных пучков , введенных Гротендиком (1966a) и Бертело и Огусом (1983) (хотя определение изокристалла появляется только в части II этой статьи Огусом (1984)). Сходящиеся изокристаллы — это разновидность изокристаллов, которые лучше работают над неидеальными полями, а сверхсходящиеся изокристаллы — это еще одна разновидность, связанная со сверхсходящимися теориями когомологий.${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{l}}$

Кристалл Дьедонне — это кристалл с отображениями Verschiebung и Frobenius. F-кристалл — это структура в полулинейной алгебре, несколько связанная с кристаллами.

Объектами инфинитезимального сайта являются бесконечно малые расширения открытых множеств . Если — схема над , то пучок определяется как = координатное кольцо , где мы пишем как сокращение для объекта . Пучки на этом сайте растут в том смысле, что их можно расширить с открытых множеств до бесконечно малых расширений открытых множеств. ${\displaystyle {\text{Inf}}(X/S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle O_{X/S}}$${\displaystyle O_{X/S}(T)}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle U\to T}$${\displaystyle {\text{Inf}}(X/S)}$

Кристалл на сайте представляет собой связку модулей , которая является жесткой в ​​следующем смысле:${\displaystyle {\text{Inf}}(X/S)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle O_{X/S}}$

для любого отображения между объектами , ; из , естественное отображение из в является изоморфизмом.${\displaystyle f}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle {\text{Inf}}(X/S)}$${\displaystyle f^{*}F(T)}$${\displaystyle F(T')}$

Это похоже на определение квазикогерентного пучка модулей в топологии Зарисского.

Примером кристалла является сноп .${\displaystyle O_{X/S}}$

Кристаллы на кристаллической площадке определяются аналогичным образом.

В общем случае, если — расслоенная категория над , то кристалл — декартово сечение расслоенной категории. В частном случае, когда — категория бесконечно малых расширений схемы и категория квазикогерентных модулей над объектами , то кристаллы этой расслоенной категории совпадают с кристаллами бесконечно малого узла.${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

• Огус, Артур (1 декабря 1984 г.). «F-изокристаллы и когомологии де Рама II - сходящиеся изокристаллы». Математический журнал Дьюка . 51 (4). дои : 10.1215/S0012-7094-84-05136-6.
• Бертло, Пьер (1974), Кристаллические когомологии схем характеристик p>0 , Конспект лекций по математике, Vol. 407, том. 407, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0068636, ISBN. 978-3-540-06852-5, МР  0384804
• Бертело, Пьер; Огус, Артур (1978), Заметки о кристаллических когомологиях , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08218-9, МР  0491705
• Бертло, П.; Огус, А. (июнь 1983 г.). «F-изокристаллы и когомологии де Рама. I». Математические изобретения . 72 (2): 159–199. дои : 10.1007/BF01389319.
• Шамбер-Луар, Антуан (1998), «Кристаллические когомологии: un survol», Expositiones Mathematicae , 16 (4): 333–382, ISSN  0723-0869, MR  1654786, заархивировано из оригинала 21 июля 2011 г.
• Гротендик, Александр (1966a), «О когомологиях де Рама алгебраических многообразий», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 29 (29): 95–103, doi : 10.1007/BF02684807, ISSN  0073-8301, MR  0199194(письмо Атии, 14 октября 1963 г.)
• Гротендик, Александр (1966б), Письмо Дж. Тейту (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2021 г.
• Гротендик, Александр (1968), «Кристаллы и когомологии де Рама схем» (PDF) , в Жиро, Жан; Гротендик, Александр; Клейман, Стивен Л.; и др. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , Продвинутые исследования чистой математики, т. 3, Амстердам: Северная Голландия, стр. 306–358, MR  0269663, архивировано из оригинала (PDF) 2022-02-08
• Иллюзи, Люк (1975), «Отчет о кристаллических когомологиях», Алгебраическая геометрия , Proc. Sympos. Pure Math., т. 29, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., стр. 459–478, MR  0393034
• Иллюзия, Люк (1976), "Кристаллические когомологии (д'апре П. Бертло)", Семинар Бурбаки (1974/1975: Exposes Nos. 453-470), Exp. № 456, Конспект лекций по математике, вып. 514, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 53–60, MR  0444668, заархивировано из оригинала 10 февраля 2012 г. , получено 24 августа 2016 г.
• Иллюзи, Люк (1994), «Кристаллические когомологии», Motives (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Sympos. Pure Math., т. 55, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., стр. 43–70, MR  1265522
• Kedlaya, Kiran S. (2009), "p-адические когомологии", в Abramovich, Dan; Bertram, A.; Katzarkov, L.; Pandharipande, Rahul; Thaddeus., M. (ред.), Algebraic geometry---Seattle 2005. Часть 2 , Proc. Sympos. Pure Math., т. 80, Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр. 667–684, arXiv : math/0601507 , Bibcode : 2006math......1507K, ISBN 978-0-8218-4703-9, г-н  2483951