Категория волокнистых материалов

Волокнистые категории (или волокнистые категории ) — это абстрактные сущности в математике , используемые для предоставления общей структуры для теории спуска . Они формализуют различные ситуации в геометрии и алгебре , в которых могут быть определены обратные образы (или обратные проекции ) объектов, таких как векторные расслоения . Например, для каждого топологического пространства существует категория векторных расслоений на пространстве, и для каждого непрерывного отображения из топологического пространства X в другое топологическое пространство Y связан функтор обратного проекции , переводящий расслоения на Y в расслоения на X. Волокнистые категории формализуют систему, состоящую из этих категорий и функторов обратных образов. Подобные установки появляются в различных обличьях в математике, в частности в алгебраической геометрии , которая является контекстом, в котором изначально появились волокнистые категории. Волокнистые категории используются для определения стеков , которые являются волокнистыми категориями (над сайтом) со «спуском». Расслоения также играют важную роль в категориальной семантике теории типов и, в частности, в зависимых теориях типов .

Волокнистые категории были введены Александром Гротендиком  (1959, 1971) и более подробно разработаны Жаном Жиро  (1964, 1971).

В топологии и геометрии есть много примеров , где некоторые типы объектов считаются существующими на или над или над некоторым базовым пространством . Классические примеры включают векторные расслоения, главные расслоения и пучки над топологическими пространствами. Другой пример дают «семейства» алгебраических многообразий, параметризованных другим многообразием. Типичным для этих ситуаций является то, что для подходящего типа отображения между базовыми пространствами существует соответствующая операция обратного образа (также называемая откатом ), переводящая рассматриваемые объекты, определенные на , в тот же тип объектов на . Это действительно так в приведенных выше примерах: например, обратный образ векторного расслоения на является векторным расслоением на .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{*}(E)}$${\displaystyle X}$

Более того, часто бывает так, что рассматриваемые «объекты на базовом пространстве» образуют категорию, или, другими словами, имеют отображения ( морфизмы ) между ними. В таких случаях операция обратного образа часто совместима с композицией этих отображений между объектами, или, выражаясь более техническими терминами, является функтором . Опять же, это имеет место в примерах, перечисленных выше.

Однако часто бывает так, что если — другое отображение, то функторы обратного образа не являются строго совместимыми с составными отображениями: если — объект над (например, векторным расслоением), вполне может быть, что${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle f^{*}(g^{*}(z))\neq (g\circ f)^{*}(z).}$

Вместо этого эти обратные образы являются только естественно изоморфными . Это введение некоторой «слабости» в систему обратных образов приводит к появлению некоторых деликатных вопросов, и именно эту установку формализуют волокнистые категории.

Основное применение волокнистых категорий — в теории спуска , связанной с обширным обобщением методов «склеивания», используемых в топологии. Для того чтобы поддержать теорию спуска достаточной общности для применения в нетривиальных ситуациях в алгебраической геометрии, определение волокнистых категорий является довольно общим и абстрактным. Однако, лежащая в основе интуиция довольно проста, если иметь в виду основные примеры, рассмотренные выше.

Существует два по сути эквивалентных технических определения волокнистых категорий, оба из которых будут описаны ниже. Все обсуждения в этом разделе игнорируют вопросы теории множеств, связанные с «большими» категориями. Обсуждение можно сделать полностью строгим, например, ограничив внимание малыми категориями или используя вселенные .

Если — функтор между двумя категориями и — объект из , то подкатегория из , состоящая из тех объектов , для которых и тех морфизмов, удовлетворяющих , называется категорией слоя (или слоем ) над и обозначается . Морфизмы из называются -морфизмами , а для объектов из множество -морфизмов обозначается . Образ на объекта или морфизма в называется его проекцией (на ). Если — морфизм из , то те морфизмы этой проекции на называются -морфизмами , а множество -морфизмов между объектами и в обозначается . ${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi (x)=S}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \phi (m)={\text{id}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(x,y)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{f}(x,y)}$

Морфизм в называется -декартовым (или просто декартовым ), если он удовлетворяет следующему условию:${\displaystyle m:x\to y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \phi }$

если — проекция , а если — -морфизм, то существует ровно один -морфизм такой, что .${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n:z\to y}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle a:z\to x}$${\displaystyle m\circ a=n}$

Декартов морфизм называется прообразом своей проекции ; объект называется прообразом своей проекции .${\displaystyle m:x\to y}$${\displaystyle f=\phi (m)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$

Декартовы морфизмы категории слоев — это в точности изоморфизмы . В общем случае может быть более одного декартова морфизма, проецирующегося на заданный морфизм , возможно, имеющего разные источники; таким образом, может быть более одного прообраза заданного объекта в . Однако прямым следствием определения является то, что два таких прообраза изоморфны в .${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F_{T}}$

Функтор также называется -категорией , или говорят, что он превращает в -категорию или категорию над . -Функтор из -категории в -категорию - это функтор такой, что . -категории естественным образом образуют 2-категорию , причем 1-морфизмы являются -функторами, а 2-морфизмы являются естественными преобразованиями между -функторами, компоненты которых лежат в некотором слое.${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \psi :G\to E}$${\displaystyle \alpha :F\to G}$${\displaystyle \psi \circ \alpha =\phi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

-Функтор между двумя -категориями называется декартовым функтором , если он переводит декартовы морфизмы в декартовы морфизмы. Декартовы функторы между двумя -категориями образуют категорию с естественными преобразованиями в качестве морфизмов. Особый случай обеспечивается рассмотрением в качестве -категории через тождественный функтор: тогда декартов функтор из в -категорию называется декартовым сечением . Таким образом, декартово сечение состоит из выбора одного объекта из для каждого объекта из , а для каждого морфизма — выбора обратного образа . Таким образом, декартово сечение является (строго) совместимой системой обратных образов над объектами из . Категория декартовых сечений из обозначается как${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F,G}$${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x_{S}}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle m_{f}:x_{T}\to x_{S}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)=\mathrm {Cart} _{E}(E,F).}$

В важном случае, когда есть конечный объект (в частности, когда есть топос или категория стрелок с целью в ), функтор${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{/S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \epsilon \colon {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)\to F_{e},\qquad s\mapsto s(e)}$

является полностью верным (лемма 5.7 Жиро (1964)).

Технически наиболее гибкое и экономичное определение волокнистых категорий основано на концепции декартовых морфизмов. Оно эквивалентно определению в терминах расщеплений , причем последнее определение фактически является оригинальным, представленным в Grothendieck (1959); определение в терминах декартовых морфизмов было введено в Grothendieck (1971) в 1960–1961 годах.

Категория является расслоенной категорией ( или расслоенной -категорией , или категорией, расслоенной над ), если каждый морфизм , область значений которого находится в области проекции, имеет по крайней мере один обратный образ, и, более того, композиция любых двух декартовых морфизмов в всегда декартова. Другими словами, -категория является расслоенной категорией, если обратные образы всегда существуют (для морфизмов, области значений которых находятся в области проекции) и являются транзитивными .${\displaystyle E}$${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle m\circ n}$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$

Если имеет конечный объект и если расслоено над , то функтор из декартовых сечений в , определенный в конце предыдущего раздела, является эквивалентностью категорий и, более того, сюръективен на объектах.${\displaystyle E}$${\displaystyle e}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle F_{e}}$

Если является расслоенной -категорией, то всегда возможно для каждого морфизма в и каждого объекта в выбрать (используя аксиому выбора ) ровно один обратный образ . Класс морфизмов, выбранных таким образом, называется расщеплением , а выбранные морфизмы называются транспортными морфизмами (расщепления). Расслоенная категория вместе с расщеплением называется раздвоенной категорией . Расщепление называется нормализованным , если транспортные морфизмы включают все тождества в ; это означает, что обратные образы морфизмов тождества выбираются в качестве тождественных морфизмов. Очевидно, если расщепление существует, его можно выбрать в качестве нормализованного; ниже мы рассмотрим только нормализованные расщепления.${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle m:x\to y}$${\displaystyle F}$

Выбор (нормализованного) расщепления для расслоенной -категории определяет для каждого морфизма в функтор ; на объектах это просто обратный образ соответствующего транспортного морфизма, а на морфизмах он определяется естественным образом определяющим универсальным свойством декартовых морфизмов. Операция, которая сопоставляет объекту расслоенной категории и морфизму функтор обратного образа , является почти контравариантным функтором из в категорию категорий. Однако, в общем случае, он не может строго коммутировать с композицией морфизмов. Вместо этого, если и являются морфизмами в , то существует изоморфизм функторов${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle g:U\to T}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle c_{f,g}\colon \quad g^{*}f^{*}\to (f\circ g)^{*}.}$

Эти изоморфизмы удовлетворяют следующим двум условиям совместимости:

1. ${\displaystyle c_{f,\mathrm {id} _{T}}=c_{\mathrm {id} _{S},f}=\mathrm {id} _{f^{*}}}$
2. для трех последовательных морфизмов и объекта справедливо следующее:${\displaystyle h,g,f\colon \quad V\to U\to T\to S}$${\displaystyle x\in F_{S}}$${\displaystyle c_{f,g\circ h}\cdot c_{g,h}(f^{*}(x))=c_{f\circ g,h}(x)\cdot h^{*}(c_{f,g}(x)).}$

Можно показать (см. Grothendieck (1971) раздел 8), что, наоборот, любая коллекция функторов вместе с изоморфизмами, удовлетворяющими совместимости выше, определяет раздвоенную категорию. Эти коллекции функторов обратного образа обеспечивают более интуитивный взгляд на расслоенные категории; и действительно, именно в терминах таких совместимых функторов обратного образа расслоенные категории были введены в Grothendieck (1959).${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$${\displaystyle c_{f,g}}$

В статье Грея, на которую ссылаются ниже, проводятся аналогии между этими идеями и понятием расслоения пространств.

Эти идеи упрощаются в случае группоидов , как показано в статье Брауна, упомянутой ниже, в которой из расслоения группоидов получено полезное семейство точных последовательностей.

(Нормализованное) расщепление, такое что композиция двух транспортных морфизмов всегда является транспортным морфизмом, называется расщеплением , а расслоенная категория с расщеплением называется расщепленной (расслоенной) категорией . В терминах функторов обратного образа условие расщепления означает, что композиция функторов обратного образа, соответствующих компонуемым морфизмам в , равна функтору обратного образа, соответствующему . Другими словами, изоморфизмы совместимости предыдущего раздела являются тождествами для расщепленной категории. Таким образом, расщепленные -категории в точности соответствуют истинным функторам из в категорию категорий.${\displaystyle f,g}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle c_{f,g}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

В отличие от расщеплений, не все волокнистые категории допускают расщепления. Пример см. ниже.

Можно инвертировать направление стрелок в определениях выше, чтобы получить соответствующие концепции ко-декартовых морфизмов, ко-расслоенных категорий и расщепленных ко-расслоенных категорий (или ко-расслоенных категорий). Точнее, если — функтор, то морфизм в называется ко-декартовым, если он является декартовым для противоположного функтора . Тогда также называется прямым образом и прямым образом для . Ко-расслоенная -категория — это -категория, такая что прямой образ существует для каждого морфизма в , и что композиция прямых образов является прямым образом. Ко-расщепление и ко-расщепление определяются аналогично, соответствуя функторам прямого образа вместо функторов обратного образа.${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle m:x\to y}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi ^{\text{op}}:F^{\text{op}}\to E^{\text{op}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f=\phi (m)}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Категории, расслоенные над фиксированной категорией , образуют 2-категорию , где категория морфизмов между двумя расслоенными категориями и определяется как категория декартовых функторов из в .${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {Fib} (E)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Аналогично расщепленные категории над образуют 2-категорию (от французского catégorie scindée ), где категория морфизмов между двумя расщепленными категориями и является полной подкатегорией -функторов из в , состоящей из тех функторов, которые преобразуют каждый транспортный морфизм из в транспортный морфизм из . Каждый такой морфизм расщепленных -категорий также является морфизмом -волокнистых категорий, т.е. .${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {Scin} (E)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)\subset {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$

Существует естественный забывающий 2-функтор , который просто забывает о расщеплении.${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$

Хотя не все расслоенные категории допускают расщепление, каждая расслоенная категория фактически эквивалентна расслоенной категории. Действительно, существует два канонических способа построить эквивалентную расслоенную категорию для данной расслоенной категории над . Точнее, забывчивый 2-функтор допускает правый 2-сопряженный и левый 2-сопряженный (теоремы 2.4.2 и 2.4.4 Жиро 1971), и и являются двумя ассоциированными расслоенными категориями. Функторы присоединения и являются как декартовыми, так и эквивалентностями ( там же ). Однако, хотя их композиция является эквивалентностью (категорий и, конечно, расслоенных категорий), она в общем случае не является морфизмом расслоенных категорий. Таким образом, эти две конструкции в общем случае различаются. Две предыдущие конструкции расслоенных категорий используются критическим образом при построении стека, связанного с расслоенной категорией (и, в частности, стека, связанного с пред-стеком ).${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S(F)}$${\displaystyle L(F)}$${\displaystyle S(F)\to F}$${\displaystyle F\to L(F)}$${\displaystyle S(F)\to L(F)}$

Существует связанная конструкция для волокнистых категорий, называемая категориями, волокнистыми в группоидах. Это волокнистые категории, такие, что любая подкатегория задана${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. Исправить объект${\displaystyle c\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$
2. Объекты подкатегории находятся там, где${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle p(x)=c}$
3. Стрелки заданы таким образом, что${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle p(f)={\text{id}}_{c}}$

— группоид, обозначаемый . Ассоциированные 2-функторы из конструкции Гротендика являются примерами стеков . Короче говоря, ассоциированный функтор отправляет объект в категорию , а морфизм индуцирует функтор из расслоенной структуры категории. А именно, для объекта, рассматриваемого как объект , существует объект, где . Эта ассоциация дает функтор , который является функтором группоидов.${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$${\displaystyle F_{p}:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$${\displaystyle d\to c}$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}}_{c})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle y\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle p(y)=d}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}\to {\mathcal {F}}_{d}}$

1. Функтор , отправляющий категорию в ее множество объектов, является расслоением. Для множества волокно состоит из категорий с . Декартовы стрелки являются вполне верными функторами.${\displaystyle {\text{Ob}}:{\textbf {Cat}}\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ob}}(C)=S}$
2. Категории стрелок : Для любой категории категория стрелок в имеет в качестве объектов морфизмы в , а в качестве морфизмов коммутативные квадраты в (точнее, морфизм из в состоит из морфизмов и таких, что ). Функтор, который переводит стрелку в ее цель, превращает в -категорию; для объекта слоя это категория -объектов в , т.е. стрелок в с целью . Декартовы морфизмы в являются в точности декартовыми квадратами в , и, таким образом, расслоены над в точности тогда, когда существуют расслоенные произведения в .${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:X\to T}$${\displaystyle g:Y\to S}$${\displaystyle a:X\to Y}$${\displaystyle b:T\to S}$${\displaystyle bf=ga}$${\displaystyle A(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{S}}$${\displaystyle E_{/S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$
3. Расслоения волокон : Произведения волокон существуют в категории топологических пространств и, таким образом, по предыдущему примеру расслоены над . Если — полная подкатегория , состоящая из стрелок, которые являются проекционными картами расслоений волокон , то — категория расслоений волокон на и расслоена над . Выбор расщепления равносилен выбору обычных функторов обратного образа (или вытягивания ) для расслоений волокон.${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle A({\text{Top}})}$${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle {\text{Fib}}}$${\displaystyle A({\text{Top}})}$${\displaystyle {\text{Fib}}_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Fib}}}$${\displaystyle {\text{Top}}}$
4. Векторные расслоения : Аналогично предыдущим примерам проекции вещественных (комплексных) векторных расслоений на их базовые пространства образуют категорию ( ) над (морфизмами векторных расслоений, уважающими структуру векторного пространства слоев). Эта -категория также расслоена, и функторы обратного образа являются обычными функторами обратного вытягивания для векторных расслоений. Эти расслоенные категории являются (неполными) подкатегориями .${\displaystyle p:V\to S}$${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle {\text{Fib}}}$
5. Пучки на топологических пространствах : Функторы обратного образа пучков превращают категории пучков на топологических пространствах в (расщепленную) расслоенную категорию над . Эту расслоенную категорию можно описать как полную подкатегорию , состоящую из этальных пространств пучков. Как и в случае векторных расслоений, пучки групп и колец также образуют расслоенные категории .${\displaystyle {\text{Sh}}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Sh}}}$${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle A({\text{Top}})}$${\displaystyle {\text{Top}}}$
6. Пучки на топосе : Если — топос и — объект в , категория -объектов также является топосом, интерпретируемым как категория пучков на . Если — морфизм в , функтор обратного образа можно описать следующим образом: для пучка на и объекта в один имеет равные . Эти обратные образы превращают категории в расщепляемую расслоенную категорию на . Это можно применить, в частности, к «большим» топосам топологических пространств.${\displaystyle E}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E_{S}}$${\displaystyle p:U\to T}$${\displaystyle E_{T}}$${\displaystyle f^{*}F(U)={\text{Hom}}_{T}(U,f^{*}F)}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(f\circ p,F)=F(U)}$${\displaystyle E_{S}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle TOP}$
7. Квазикогерентные пучки на схемах : Квазикогерентные пучки образуют расслоенную категорию над категорией схем . Это один из мотивирующих примеров для определения расслоенных категорий.
8. Волокнистая категория, не допускающая расщепления : Группу можно рассматривать как категорию с одним объектом и элементами из в качестве морфизмов, причем композиция морфизмов задается групповым законом. Групповой гомоморфизм тогда можно рассматривать как функтор, который превращает в -категорию. Можно проверить, что в этой настройке все морфизмы в являются декартовыми; следовательно, расслоена над точно тогда, когда является сюръективной. Расщепление в этой настройке - это (теоретико-множественное) сечение , которое строго коммутирует с композицией, или, другими словами, сечение , которое также является гомоморфизмом. Но, как хорошо известно в теории групп , это не всегда возможно (можно взять проекцию в нерасщепленном расширении группы ).${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
9. Ко-расслоенная категория пучков : Функтор прямого образа пучков превращает категории пучков на топологических пространствах в ко-расслоенную категорию. Транзитивность прямого образа показывает, что это даже естественно ко-расщеплено.

Один из основных примеров категорий, расслоенных в группоидах, исходит от группоидных объектов, внутренних по отношению к категории . Так, если задан группоидный объект${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}y}$

есть связанный группоидный объект

${\displaystyle h_{x}{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}}$

в категории контравариантных функторов из вложения йонеды . Поскольку эта диаграмма, примененная к объекту, дает группоид, внутренний для множеств${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}({\mathcal {C}}^{op},{\text{Sets}})}$${\displaystyle z\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle h_{x}(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}(z)}$

есть связанный малый группоид . Это дает контравариантный 2-функтор , и с использованием конструкции Гротендика это дает категорию, расслоенную на группоиды над . Обратите внимание, что категория расслоения над объектом — это просто связанный группоид из исходного группоида в множествах.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

При наличии группового объекта, действующего на объект из , существует связанный с ним группоидный объект${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a:G\to {\text{Aut}}(X)}$

${\displaystyle G\times X{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}{}X}$

где — проекция на , а — отображение композиции . Этот группоид дает индуцированную категорию, расслоенную на группоиды, обозначенные .${\displaystyle s:G\times X\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t:G\times X\to X}$${\displaystyle G\times X\xrightarrow {\left(a,{\text{id}}\right)} {\text{Aut}}(X)\times X\xrightarrow {(f,x)\mapsto f(x)} X}$${\displaystyle p:[X/G]\to {\mathcal {C}}}$

Для абелевой категории любой двухчленный комплекс${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}_{0}}$

имеет связанный группоид

${\displaystyle s,t:{\mathcal {E}}_{1}\oplus {\mathcal {E}}_{0}\rightrightarrows {\mathcal {E}}_{0}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}s(e_{1}+e_{0})&=e_{0}\\t(e_{1}+e_{0})&=d(e_{1})+e_{0}\end{aligned}}}$

этот группоид затем может быть использован для построения категории, расслоенной на группоиды. Одним из примечательных примеров этого является изучение комплекса котангенса для локально-полных пересечений и изучение exalcomm .

• Строительство Гротендик
• Стек (математика)
• Критерий Артина
• Расслоение симплициальных множеств

• SGA 1.VI - Волокнистые категории и происхождение - страницы 119-153
• волокнистый метод Гротендика в n- лаборатории