Тензор хлопка

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Июль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В дифференциальной геометрии тензор Коттона на (псевдо) римановом многообразии размерности n является тензором третьего порядка, сопутствующим метрике . Обращение в нуль тензора Коттона при n = 3 является необходимым и достаточным условием для того, чтобы многообразие было локально конформно плоским . Напротив, в размерностях n ≥ 4 обращение в нуль тензора Коттона необходимо, но недостаточно для того, чтобы метрика была конформно плоской; вместо этого соответствующим необходимым и достаточным условием в этих более высоких размерностях является обращение в нуль тензора Вейля , в то время как тензор Коттона просто становится константой, умноженной на дивергенцию тензора Вейля. При n < 3 тензор Коттона тождественно равен нулю. Концепция названа в честь Эмиля Коттона .

Доказательство классического результата, что при n = 3 исчезновение тензора Коттона эквивалентно тому, что метрика является конформно плоской, дано Эйзенхартом с использованием стандартного аргумента интегрируемости . Эта тензорная плотность однозначно характеризуется своими конформными свойствами в сочетании с требованием, чтобы она была дифференцируемой для произвольных метрик, как показано в (Aldersley 1979).

В последнее время изучение трехмерных пространств становится предметом большого интереса, поскольку тензор Коттона ограничивает связь между тензором Риччи и тензором энергии-импульса материи в уравнениях Эйнштейна и играет важную роль в гамильтоновом формализме общей теории относительности .

В координатах, обозначая тензор Риччи через R _ij и скалярную кривизну через R , компоненты тензора Коттона имеют вид

${\displaystyle C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).}$

Тензор Коттона можно рассматривать как векторную 2-форму , и при n  = 3 можно использовать оператор звезды Ходжа, чтобы преобразовать его в плотность тензора второго порядка без следов

${\displaystyle C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj}, }$

иногда называется тензором Коттона – Йорка .

При конформном масштабировании метрики для некоторой скалярной функции мы видим, что символы Кристоффеля преобразуются как${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\omega }g}$${\displaystyle \омега}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _ {\beta \gamma }^{\alpha }+S_ {\beta \gamma }^{\alpha }}$

где находится тензор${\displaystyle S_{\бета \гамма}^{\альфа}}$

${\displaystyle S_{\beta \gamma}^{\alpha}=\delta _{\gamma}^{\alpha}\partial _{\beta}\omega +\delta _{\beta}^{\alpha}\partial _{\gamma}\omega -g_{\beta \gamma}\partial ^{\alpha}\omega }$

Тензор кривизны Римана преобразуется как

${\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}{} _ {\mu \alpha \beta } = {R^{\lambda }} _ {\mu \alpha \beta }+\nabla _ {\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\ро }}$

В -мерных многообразиях мы получаем тензор Риччи , свернув преобразованный тензор Римана, чтобы увидеть его преобразование как${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_ {\beta \mu } \nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega - (n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta }\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )}$

Аналогично скаляр Риччи преобразуется как

${\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega }$

Объединение всех этих фактов позволяет нам заключить, что тензорные преобразования Коттона-Йорка имеют вид

${\displaystyle {\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }}$

или используя координатно-независимый язык как

${\displaystyle {\tilde {C}}=C\;+(n-2)\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,}$

где градиент свернут с тензором Вейля  W.

Тензор Коттона имеет следующие симметрии:

${\displaystyle C_{ijk}=-C_{ikj}\,}$

и поэтому

${\displaystyle C_{[ijk]}=0.\,}$

Кроме того, формулу Бьянки для тензора Вейля можно переписать как

${\displaystyle \delta W=(3-n)C,\,}$

где — положительная дивергенция в первой компоненте W.${\displaystyle \delta }$

• Aldersley, SJ (1979). «Комментарии о некоторых бездивергентных тензорных плотностях в 3-пространстве». Журнал математической физики . 20 (9): 1905– 1907. Bibcode : 1979JMP....20.1905A. doi : 10.1063/1.524289 .
• Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна . Оксфорд, Англия: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-923072-3.
• Коттон, Э. (1899). «Сюр ле разнообразие в трех измерениях». Анналы факультета наук Тулузы . II. 1 (4): 385–438 . Архивировано из оригинала 10 октября 2007 г.
• Эйзенхарт, Лютер П. (1977) [1925]. Риманова геометрия . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . ISBN 0-691-08026-7.
• A. Garcia, FW Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) «Тензор Коттона в римановых пространствах-временах», Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008