Конформно плоское многообразие

( Псевдо ) риманово многообразие является конформно плоским, если каждая точка имеет окрестность, которую можно отобразить в плоское пространство с помощью конформного преобразования .

На практике метрика многообразия должна быть конформной плоской метрике , т. е. геодезические линии должны сохраняться во всех точках углов, перемещаясь из одной в другую, а также сохранять неизменными нулевые геодезические ^[1] , что означает, что существует функция такая, что , где называется конформным множителем , а является точкой на многообразии.${\displaystyle г}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \эта}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \лямбда (x)}$${\displaystyle g(x)=\lambda ^{2}(x)\,\eta }$${\displaystyle \лямбда (x)}$${\displaystyle x}$

Более формально, пусть будет псевдоримановым многообразием. Тогда является конформно плоским, если для каждой точки из существует окрестность и гладкая функция, определенная на , такая, что является плоской (т.е. кривизна обращается в нуль на ). Функция не обязательно должна быть определена на всех из .${\displaystyle (М,г)}$${\displaystyle (М,г)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle М}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (U,e^{2f}g)}$${\displaystyle e^{2f}g}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle М}$

Некоторые авторы используют определение локально конформно-плоского, когда речь идет только о некоторой точке на , и оставляют определение конформно-плоского для случая, в котором соотношение справедливо для всех на .${\displaystyle x}$${\displaystyle М}$${\displaystyle x}$${\displaystyle М}$

• Каждое многообразие с постоянной кривизной сечения является конформно плоским.
• Каждое двумерное псевдориманово многообразие является конформно плоским. ^[1]
  • Линейный элемент двумерных сферических координат, подобный тому, который используется в географической системе координат ,

  ${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$, ^[2] имеет метрический тензор  и не является плоским, но с помощью стереографической проекции может быть отображено в плоское пространство с использованием конформного фактора , где - расстояние от начала координат плоского пространства, ^[3] получая${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}1&0\\0&sin^{2}\theta \end{bmatrix}}}$${\displaystyle 2 \over (1+r^{2})}$${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,={\frac {4}{(1+r^{2})^{2}}}(dx^{2}+dy^{2})}$.

• Трехмерное псевдориманово многообразие является конформно плоским тогда и только тогда, когда тензор Коттона равен нулю.
• n -мерное псевдориманово многообразие при n ≥ 4 является конформно плоским тогда и только тогда, когда тензор Вейля равен нулю.
• Каждое компактное , односвязное , конформно евклидово риманово многообразие конформно эквивалентно круглой сфере . ^[4]

• Стереографическая проекция обеспечивает систему координат для сферы, в которой конформная плоскостность очевидна, поскольку метрика пропорциональна плоскостности.

• В общей теории относительности конформно плоские многообразия часто могут использоваться, например, для описания метрики Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера . ^[5] Однако было также показано, что не существует конформно плоских срезов пространства -времени Керра . ^[6]

Например, координаты Крускала-Секереша имеют линейный элемент

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv\,du}$ с метрическим тензором и так не плоский. Но с преобразованиями и${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}0&1-{\frac {2GM}{r}}\\1-{\frac {2GM}{r}}&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle t=(v+u)/2}$${\displaystyle x=(vu)/2}$

становится

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)(dt^{2}-dx^{2})}$ с метрическим тензором ,${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{r}}&0\\0&-1+{\frac {2GM}{r}}\end{bmatrix}}}$

что равно произведению плоской метрики на конформный фактор . ^[7]${\displaystyle 1-{\frac {2GM}{r}}}$

• Теорема Вейля–Схоутена
• конформная геометрия
• проблема Ямабэ

Эта статья, связанная с римановой геометрией, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е