Подведение итогов по Чезаро
Модифицированный метод суммирования, применимый к некоторым расходящимся рядам

В математическом анализе суммирование Чезаро (также известное как среднее Чезаро [1] [2] или предел Чезаро [3] ) присваивает значения некоторым бесконечным суммам , которые не обязательно сходятся в обычном смысле. Сумма Чезаро определяется как предел, когда n стремится к бесконечности, последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда.

Этот частный случай метода суммирования матриц назван в честь итальянского аналитика Эрнесто Чезаро (1859–1906).

Термин «суммирование» может вводить в заблуждение, поскольку некоторые утверждения и доказательства относительно суммирования Чезаро можно считать подразумевающими мошенничество Эйленберга–Мазура . Например, его обычно применяют к ряду Гранди с выводом, что сумма этого ряда равна 1/2.

Определение

Пусть будет последовательность , и пусть ( а н ) н = 1 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty}}

с к = а 1 + ⋯ + а к = ∑ н = 1 к а н {\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}

будет его k-й частичной суммой .

Последовательность ( a n ) называется суммируемой по Чезаро , с суммой Чезаро A ∈ Р {\displaystyle \mathbb {R} } , если при стремлении n к бесконечности среднее арифметическое ее первых n частичных сумм s 1 , s 2 , ..., s n стремится к A :

лим н → ∞ 1 н ∑ к = 1 н с к = А . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}

Значение полученного предела называется суммой Чезаро ряда. Если этот ряд сходится, то он суммируем по Чезаро и его сумма Чезаро является обычной суммой. ∑ н = 1 ∞ а н . {\displaystyle \textstyle \sum _ {n = 1} ^ {\ infty } a_ {n}.}

Примеры

Первый пример

Пусть a n = (−1) n для n ≥ 0. То есть, есть ли последовательность ( а н ) н = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}

( 1 , − 1 , 1 , − 1 , … ) . {\displaystyle (1,-1,1,-1,\ldots ).}

Пусть G обозначает ряд

G = ∑ n = 0 ∞ a n = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ⋯ {\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots }

Серия G известна как серия Гранди .

Обозначим последовательность частичных сумм G : ( s k ) k = 0 ∞ {\displaystyle (s_{k})_{k=0}^{\infty }}

s k = ∑ n = 0 k a n ( s k ) = ( 1 , 0 , 1 , 0 , … ) . {\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0,\ldots ).\end{aligned}}}

Эта последовательность частичных сумм не сходится, поэтому ряд G расходится. Однако G суммируем по Чезаро. Пусть — последовательность средних арифметических первых n частичных сумм: ( t n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (t_{n})_{n=1}^{\infty }}

t n = 1 n ∑ k = 0 n − 1 s k ( t n ) = ( 1 1 , 1 2 , 2 3 , 2 4 , 3 5 , 3 6 , 4 7 , 4 8 , … ) . {\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n})&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right).\end{aligned}}}

Затем

lim n → ∞ t n = 1 / 2 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2,}

и, следовательно, сумма Чезаро ряда G равна 1/2 .

Второй пример

В качестве другого примера, пусть a n = n для n ≥ 1. То есть, является ли последовательность ( a n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}

( 1 , 2 , 3 , 4 , … ) . {\displaystyle (1,2,3,4,\ldots ).}

Пусть теперь G обозначает ряд

G = ∑ n = 1 ∞ a n = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ {\displaystyle G=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+\cdots }

Тогда последовательность частичных сумм имеет вид ( s k ) k = 1 ∞ {\displaystyle (s_{k})_{k=1}^{\infty }}

( 1 , 3 , 6 , 10 , … ) . {\displaystyle (1,3,6,10,\ldots ).}

Поскольку последовательность частичных сумм растет неограниченно, ряд G расходится до бесконечности. Последовательность ( t n ) средних значений частичных сумм ряда G равна

( 1 1 , 4 2 , 10 3 , 20 4 , … ) . {\displaystyle \left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}},\ldots \right).}

Эта последовательность также расходится к бесконечности, поэтому G не является суммируемой по Чезаро. Фактически, для ряда любой последовательности, которая расходится к (положительной или отрицательной) бесконечности, метод Чезаро также приводит к ряду последовательности, которая расходится аналогичным образом, и, следовательно, такой ряд не является суммируемой по Чезаро.

(С, α )суммирование

В 1890 году Эрнесто Чезаро сформулировал более широкое семейство методов суммирования, которые с тех пор называются (C, α ) для неотрицательных целых чисел α . Метод (C, 0) — это просто обычное суммирование, а (C, 1) — суммирование Чезаро, описанное выше.

Методы более высокого порядка можно описать следующим образом: для заданного ряда Σ a n определить величины

A n − 1 = a n A n α = ∑ k = 0 n A k α − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{aligned}}}

(где верхние индексы не обозначают показатели степени) и определяют Eα
нбыть Аα
ндля ряда 1 + 0 + 0 + 0 + ... . Тогда (C, α ) сумма Σ a n обозначается через (C, α )-Σ a n и имеет значение

( C , α ) - ∑ j = 0 ∞ a j = lim n → ∞ A n α E n α {\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}

если он существует (Shawyer & Watson 1994, стр. 16-17). Это описание представляет собой α -кратное итеративное применение метода первоначального суммирования и может быть переформулировано как

( C , α ) - ∑ j = 0 ∞ a j = lim n → ∞ ∑ j = 0 n ( n j ) ( n + α j ) a j = lim n → ∞ ∑ j = 0 n ( n − j + 1 ) α ( n + 1 ) α a j . {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\left(n-j+1\right)_{\alpha }}{\left(n+1\right)_{\alpha }}}a_{j}{\text{.}}\end{aligned}}}

Еще более обще, для α ∈ \ − R {\displaystyle \mathbb {R} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , пусть Aα
нбыть неявно задана коэффициентами ряда

∑ n = 0 ∞ A n α x n = ∑ n = 0 ∞ a n x n ( 1 − x ) 1 + α , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}

и Эα
нкак указано выше. В частности, Eα
нявляются биномиальными коэффициентами степени −1 − α . Тогда сумма (C, α ) Σ a n определяется, как указано выше.

Если Σ a n имеет сумму (C, α ) , то она также имеет сумму (C, β ) для каждого β > α , и суммы согласуются; более того, мы имеем a n = o ( n α ), если α > −1 (см. обозначение little -o ).

Суммируемость интеграла по Чезаро

Пусть α ≥ 0. Интеграл (C, α ) суммируем , если ∫ 0 ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}

lim λ → ∞ ∫ 0 λ ( 1 − x λ ) α f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx}

существует и конечен (Titchmarsh 1948, §1.15). Значение этого предела, если он существует, есть (C, α ) сумма интеграла. Аналогично случаю суммы ряда, если α = 0 , результатом является сходимость несобственного интеграла . В случае α = 1 , (C, 1) сходимость эквивалентна существованию предела

lim λ → ∞ 1 λ ∫ 0 λ ∫ 0 x f ( y ) d y d x {\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y)\,dy\,dx}

что является пределом средних значений частных интегралов.

Как и в случае с рядами, если интеграл (C, α ) суммируем для некоторого значения α ≥ 0 , то он также (C, β ) суммируем для всех β > α , и значение полученного предела будет тем же самым.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Харди, ГХ (1992). Расходящиеся ряды . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2649-2.
  2. ^ Кацнельсон, Ицхак (1976). Введение в гармонический анализ . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2.
  3. ^ Хенк К. Теймс (2003). Первый курс по стохастическим моделям. John Wiley & Sons. стр. 439. ISBN 978-0-471-49880-3.

Библиография

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cesàro_summation&oldid=1261346395"