суммирование Ламберта

В математическом анализе и аналитической теории чисел суммирование Ламберта — это метод суммирования бесконечных рядов, связанных с рядами Ламберта, особенно актуальный в аналитической теории чисел.

Определим ядро ​​Ламберта с помощью . Обратите внимание, что убывает как функция от , когда . Сумма суммируется по Ламберту, если , записанная .${\displaystyle L(x)=\log(1/x){\frac {x}{1-x}}}$${\displaystyle L(1)=1}$${\displaystyle L(x^{n})>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}L(x^{n})=A}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\,\,(\mathrm {L})}$

Теорема Абеля : Если ряд сходится к , то он суммируем по Ламберту к .${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$

Теорема Тауберова : Предположим, что суммируемо по Ламберту к . Тогда суммируемо по Абелю к . В частности, если суммируемо по Ламберту к , а затем сходится к .${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle na_{n}\geq -C}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle А}$

Тауберова теорема была впервые доказана Г. Х. Харди и Джоном Эденсором Литтлвудом , но не была независимой от теории чисел, фактически они использовали численную теоретическую оценку, которая несколько сильнее, чем сама теорема о простых числах. Неудовлетворительная ситуация вокруг тауберовой теоремы Ламберта была разрешена Норбертом Винером .

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0\,(\mathrm {L})}$, где μ — функция Мёбиуса . Следовательно, если этот ряд вообще сходится, он сходится к нулю. Обратите внимание, что последовательность удовлетворяет тауберову условию, поэтому из тауберовой теоремы следует в обычном смысле. Это эквивалентно теореме о простых числах .${\displaystyle {\frac {\mu (n)}{n}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)-1}{n}}=-2\gamma \,\,(\mathrm {L})}$где — функция Мангольдта , а — постоянная Эйлера . По тауберовой теореме обычная сумма сходится и, в частности, сходится к . Это эквивалентно тому, где — вторая функция Чебышёва .${\displaystyle \Лямбда}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle -2\гамма}$${\displaystyle \psi (x)\sim x}$${\displaystyle \пси}$

• серия Ламберта
• Формула Абеля–Плана
• Абелевы и тауберовы теоремы

• Джейкоб Кореваар (2004). Тауберова теория. Столетие событий . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 329. Шпрингер-Верлаг . п. 18. ISBN 3-540-21058-X.
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Т. 97. Кембридж: Cambridge Univ. Press. С.  159–160 . ISBN 978-0-521-84903-6.
• Норберт Винер (1932). «Тауберовы теоремы». Ann. of Math . 33 (1). Анналы математики, т. 33, № 1: 1– 100. doi :10.2307/1968102. JSTOR  1968102.

Эта статья, связанная с математическим анализом , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е