Многомерная алгебра
Изучение категоризированных структур

В математике , особенно в теории ( высших ) категорий , алгебра высших измерений является изучением категоризированных структур. Она имеет приложения в неабелевой алгебраической топологии и обобщает абстрактную алгебру .

Категории более высокого измерения

Первым шагом к определению алгебр более высокой размерности является концепция 2-категории теории высших категорий , за которой следует более «геометрическая» концепция двойной категории. [1] [2] [3]

Таким образом, понятие более высокого уровня определяется как категория категорий или суперкатегория, которая обобщает на более высокие измерения понятие категории , рассматриваемой как любая структура, которая является интерпретацией аксиом Ловера элементарной теории абстрактных категорий (ETAC). [4] [5] [6] [7] Таким образом, суперкатегория, а также суперкатегория , могут рассматриваться как естественные расширения понятий метакатегории , [ 8] мультикатегории и мультиграфа, k -дольного графа или цветного графа (см. цветной рисунок, а также его определение в теории графов ).

Суперкатегории были впервые введены в 1970 году [9] и впоследствии были разработаны для приложений в теоретической физике (особенно в квантовой теории поля и топологической квантовой теории поля ) и математической биологии или математической биофизике . [10]

Другие направления в многомерной алгебре включают: бикатегории , гомоморфизмы бикатегорий, переменные категории (также известные как индексированные или параметризованные категории), топосы , эффективный спуск, а также обогащенные и внутренние категории .

Двойные группоиды

В многомерной алгебре (HDA) двойной группоид является обобщением одномерного группоида на два измерения [11] , и последний группоид можно рассматривать как частный случай категории со всеми обратимыми стрелками, или морфизмами .

Двойные группоиды часто используются для сбора информации о геометрических объектах, таких как многообразия более высокой размерности (или n -мерные многообразия ). [11] В общем случае n -мерное многообразие — это пространство, которое локально выглядит как n- мерное евклидово пространство , но глобальная структура которого может быть неевклидовой .

Двойные группоиды были впервые введены Рональдом Брауном в работе «Двойные группоиды и скрещенные модули» (1976) [11] и получили дальнейшее развитие в направлении приложений в неабелевой алгебраической топологии . [12] [13] [14] [15] Связанная, «двойственная» концепция — это концепция двойного алгеброида и более общая концепция R-алгеброида .

Неабелева алгебраическая топология

См. Неабелева алгебраическая топология

Приложения

Теоретическая физика

В квантовой теории поля существуют квантовые категории. [16] [17] [18] и квантовые двойные группоиды. [18] Можно рассматривать квантовые двойные группоиды как фундаментальные группоиды, определяемые с помощью 2-функтора , что позволяет думать о физически интересном случае квантовых фундаментальных группоидов (QFG) в терминах бикатегории Span(Groupoids) , а затем строить 2- гильбертовы пространства и 2- линейные отображения для многообразий и кобордизмов . На следующем этапе получаются кобордизмы с углами с помощью естественных преобразований таких 2-функторов. Затем было сделано утверждение, что с калибровочной группой SU(2) «расширенная TQFT , или ETQFT, дает теорию, эквивалентную модели Понцано–Редже квантовой гравитации »; [18] аналогично, модель Тураева–Виро затем будет получена с представлениями SU q (2). Следовательно, можно описать пространство состояний калибровочной теории — или многих видов квантовых теорий поля (КТП) и локальной квантовой физики — в терминах группоидов преобразований , заданных симметриями, как, например, в случае калибровочной теории, калибровочными преобразованиями, действующими на состояния, которые в этом случае являются связями. В случае симметрий, связанных с квантовыми группами , можно получить структуры, которые являются категориями представлений квантовых группоидов , [16] вместо 2- векторных пространств , которые являются категориями представлений группоидов.

Квантовая физика

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "Двойные категории и псевдоалгебры" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2010-06-10.
  2. ^ Браун, Р.; Лодей, Дж.-Л. (1987). «Гомотопическое вырезание и теоремы Гуревича для n -кубов пространств». Труды Лондонского математического общества . 54 (1): 176–192. CiteSeerX 10.1.1.168.1325 . doi :10.1112/plms/s3-54.1.176. 
  3. ^ Батанин, М.А. (1998). «Моноидальные глобулярные категории как естественная среда для теории слабых n-категорий». Успехи математики . 136 (1): 39–103. doi : 10.1006/aima.1998.1724 .
  4. ^ Lawvere, FW (1964). «Элементарная теория категории множеств». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 52 (6): 1506–1511. Bibcode : 1964PNAS...52.1506L. doi : 10.1073 /pnas.52.6.1506 . PMC 300477. PMID  16591243. 
  5. ^ Lawvere, FW: 1966, Категория категорий как основа математики., в Proc. Conf. Categorical Algebra – La Jolla ., Eilenberg, S. et al., ред. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., стр. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ Архивировано 12 августа 2009 г. на Wayback Machine
  6. ^ "Kryptowährungen und Physik" . ПланетаФизика. 29 марта 2024 г.
  7. ^ Lawvere, FW (1969b). "Adjointness in Foundations". Dialectica . 23 (3–4): 281–295. CiteSeerX 10.1.1.386.6900 . doi :10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x. Архивировано из оригинала 2009-08-12 . Получено 2009-06-21 . 
  8. ^ "Аксиомы метакатегорий и суперкатегорий". PlanetPhysics. Архивировано из оригинала 2009-08-14 . Получено 2009-03-02 .
  9. ^ "Теория суперкатегорий". PlanetMath. Архивировано из оригинала 2008-10-26.
  10. ^ "Математическая биология и теоретическая биофизика". PlanetPhysics. Архивировано из оригинала 2009-08-14 . Получено 2009-03-02 .
  11. ^ abc Браун, Рональд; Спенсер, Кристофер Б. (1976). «Двойные группоиды и скрещенные модули». Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 17 (4): 343–362.
  12. ^ "Некоммутативная геометрия и неабелева алгебраическая топология". PlanetPhysics. Архивировано из оригинала 2009-08-14 . Получено 2009-03-02 .
  13. ^ Книга «Неабелева алгебраическая топология» Архивировано 04.06.2009 на Wayback Machine
  14. ^ Неабелева алгебраическая топология: Высшие гомотопические группоиды фильтрованных пространств
  15. ^ Браун, Рональд; Хиггинс, Филип; Сивера, Рафаэль (2011). Неабелева алгебраическая топология. arXiv : math/0407275 . дои : 10.4171/083. ISBN 978-3-03719-083-8.
  16. ^ ab "Квантовая категория". PlanetMath. Архивировано из оригинала 2011-12-01.
  17. ^ "Изоморфизм ассоциативности". PlanetMath. Архивировано из оригинала 2010-12-17.
  18. ^ abc Мортон, Джеффри (18 марта 2009 г.). "Заметка о квантовых группоидах". C*-алгебры, теория деформаций, группоиды, некоммутативная геометрия, квантование . Теоретический атлас.

Дальнейшее чтение

  • Brown, R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011). Неабелева алгебраическая топология: отфильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды. Том. Tracts Vol 15. Европейское математическое общество. arXiv : math/0407275 . doi :10.4171/083. ISBN 978-3-03719-083-8.(Доступен загружаемый PDF-файл)
  • Браун, Р.; Моза, ГХ (1999). «Двойные категории, тонкие структуры и связи». Теория и применение категорий . 5 : 163–175. CiteSeerX  10.1.1.438.8991 .
  • Браун, Р. (2002). Категориальные структуры для теории спуска и Галуа . Институт Филдса .
  • Браун, Р. (1987). «От групп к группоидам: краткий обзор» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 19 (2): 113–134. CiteSeerX  10.1.1.363.1859 . doi :10.1112/blms/19.2.113. hdl :10338.dmlcz/140413.В нем содержится информация об истории группоидов, а именно истоки в работах Генриха Брандта по квадратичным формам, а также указание на более поздние работы вплоть до 1987 года со 160 ссылками.
  • Браун, Рональд (2018). «Теория групп более высокого измерения». groupoids.org.uk . Университет Бангора.Статья в Интернете со множеством ссылок, объясняющая, как концепция группоида привела к представлениям о многомерных группоидах, отсутствующих в теории групп, с приложениями в теории гомотопий и когомологиях групп.
  • Браун, Р.; Хиггинс, П.Дж. (1981). «Об алгебре кубов». Журнал чистой и прикладной алгебры . 21 (3): 233–260. doi :10.1016/0022-4049(81)90018-9.
  • Mackenzie, KCH (2005). Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли. Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 213. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49928-6. Архивировано из оригинала 2005-03-10.
  • Браун, Р. (2006). Топология и группоиды. Booksurge . ISBN 978-1-4196-2722-4.Переработанное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Электронная версия доступна на веб-сайте.
  • Борсе, Ф.; Джанелидзе, Г. (2001). Теории Галуа. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-07041-6. OCLC  1167627177. Архивировано из оригинала 2012-12-23.Показывает, как обобщения теории Галуа приводят к группоидам Галуа.
  • Баэз, Дж.; Долан, Дж. (1998). «Большая алгебра III. n -категорий и алгебра опетопов». Достижения в математике . 135 (2): 145–206. arXiv : q-alg/9702014 . Бибкод : 1997q.alg.....2014B. дои : 10.1006/aima.1997.1695. S2CID  18857286.
  • Baianu, IC (1970). "Организменные суперкатегории: II. О мультистабильных системах" (PDF) . Бюллетень математической биофизики . 32 (4): 539–61. doi :10.1007/BF02476770. PMID  4327361.
  • Баяну, IC; Маринеску, М. (1974). «О функториальной конструкции ( M ,  R )-систем». Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées . 19 : 388–391.
  • Baianu, IC (1987). «Компьютерные модели и теория автоматов в биологии и медицине». В M. Witten (ред.). Математические модели в медицине . Том 7. Pergamon Press . С. 1513–77. ISBN 978-0-08-034692-2. OCLC 939260427. Препринт  CERN № EXT-2004-072. ASIN  0080346928 ASIN  0080346928.
  • "Высшая размерная гомотопия". PlanetPhysics. Архивировано из оригинала 2009-08-13.
  • Джанелидзе, Джордж (1990). «Чистая теория Галуа в категориях». Журнал алгебры . 132 (2): 270–286. doi :10.1016/0021-8693(90)90130-G.
  • Джанелидзе, Джордж (1993). «Теория Галуа в переменных категориях». Прикладные категориальные структуры . 1 : 103–110. doi :10.1007/BF00872989. S2CID  22258886..
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Высшая_размерность_алгебры&oldid=1237766924"