Карл Фердинанд Деген

Карл Фердинанд Деген (1 ноября 1766 г. – 8 апреля 1825 г.) был датским математиком . Его наиболее важные вклады были в теорию чисел , и он дал решительные советы молодому, начинающему норвежскому математику Нильсу Хенрику Абелю . Дегену принадлежит большая заслуга за введение более современной и продвинутой математики в датско-норвежскую школьную систему.

Он родился в Брауншвейге в Германии , но семья переехала в Копенгаген в 1771 году, когда его отец Йохан Филипп Деген получил должность в Королевском датском оркестре . Как музыкант, он получал низкую зарплату, но его сын Карл Фердинанд получил стипендию, чтобы он мог пойти в школу в Хельсингёре . Он окончил её в 1783 году и продолжил обучение в Копенгагенском университете . Вместо того, чтобы следовать обычному пути обучения, молодой Деген следовал своим собственным интересам и изучал классические языки , философию , естественные науки и, в частности, математику . ^[1] Когда в 1792 году университет впервые объявил конкурс эссе на приз в нескольких различных областях с наградой в 40 риксдалеров в каждой, Деген выиграл приз и по теологии , и по математике. Он свободно говорил на латыни , греческом и иврите , был хорошо знаком с романскими и германскими языками и мог читать по-русски и по-польски . В этот период он был наставником по математике молодого принца, который позже стал королем Дании Кристианом VIII . В 1798 году Деген получил степень доктора философии на основе диссертации по философии Канта [ ^2] и был избран в Королевскую датскую академию наук и литературы в 1800 году. ^[1]

В 1802 году Деген получил свою первую академическую должность старшего преподавателя математики и физики в соборной школе Оденсе . Через несколько лет он был назначен ректором в соответствующей школе в Виборге . Там он оставался до 1814 года, когда стал профессором математики в Копенгагенском университете. Хотя его лекции были не так хорошо организованы, его любили студенты, и он наполнял курсы новой и более современной математикой. В то же время он проводил собственные исследования и публиковал результаты во многих различных направлениях. Все это сделало его самым уважаемым математиком в Скандинавии того времени. ^[2]

Когда Нильс Хенрик Абель , будучи студентом, посетил Дегена в Копенгагене, он описал его как очень доброго, но немного странного человека с большой личной библиотекой. ^[2] Деген оставался там до своей смерти в 1825 году. По этой причине он не дожил до великой славы, которую молодой Абель вскоре получил благодаря своему открытию эллиптических функций , чему способствовал Деген. Он похоронен на Assistens Kirkegård в Нёрребро в Копенгагене.

Деген работал во многих областях современной математики. Большая часть его вклада была связана с проблемами теории чисел , но он также писал статьи по геометрии и механике . ^[1]

В 1817 году Деген напечатал свою большую работу о фундаментальных решениях ( x , y ) уравнения Пелля x2 – ny2 = 1, где ⁿ — положительное целое число. Ранее Эйлер показал, что их можно систематически вычислять с помощью непрерывных дробей . Деген ^{использовал} этот метод и представил целочисленные решения для всех n < 1000. ^[3] Те же вычисления также дали приблизительные, но очень точные рациональные результаты для квадратного корня из n . Кроме того, он также нашел решения сопряженного уравнения с −1 в правой части для значений n , когда они существовали. Эти таблицы числовых результатов стали в последующие годы стандартным справочником для уравнения Пелля. ^[4]

Хотя его работу над уравнением Пелля можно считать продолжением предыдущих вкладов Эйлера , Лагранжа и Лежандра в эту проблему, открытие Дегеном тождества восьми квадратов было его самым важным и оригинальным открытием. Скорее всего, оно стало результатом его попыток обобщить уравнение Пелля.

Идентичность двух квадратов

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}}$

было известно со времен Диофанта . В конце XVII века оно объяснило, почему норма произведения двух комплексных чисел равна произведению их норм . Примерно в то же время Эйлер показал, что существует также похожее тождество четырех квадратов . Позже оно оказалось связанным с нормой кватернионов, открытой Уильямом Роуэном Гамильтоном . В 1818 году Деген представил в Академию наук в Санкт-Петербурге , где работал Эйлер, свое тождество восьми квадратов, точно такое же по структуре, как и два предыдущих тождества. ^[5] В следующем году он был избран «членом-корреспондентом» того же академического общества.

Его работа о тождестве восьми квадратов была впервые опубликована в 1822 году. ^[6] Почти тридцать лет спустя его тождество было заново открыто Джоном Т. Грейвсом и Артуром Кейли как подчиняющееся норме октонионов . Они были расширением кватернионов Гамильтона. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что такие тождества, включающие 2 ^k квадратов, могут существовать только для k = 0, 1, 2 и 3 .

В 1821 году Нильс Хенрик Абель был очень одаренным студентом последнего года обучения в соборной школе в Осло . Он был убежден, что нашел способ решить уравнение пятой степени . Никто из его учителей или профессоров в Университете Осло не мог найти ничего неправильного в его работе. Профессор астрономии Кристофер Ханстен рекомендовал тогда, чтобы работа была опубликована Академией наук в Копенгагене. Таким образом, она попала в руки Дегена для оценки. ^[2] Он снова не смог указать никаких ошибок, но попросил, чтобы этот новый метод был сначала опробован на практическом примере. В письме Ханстену он предложил уравнение x ⁵ − 2 x ⁴ + 3 x ² − 4 x + 5 = 0. Он закончил письмо пожеланием, чтобы

.... время и усилия, которые г-н Абель, по моему мнению, тратит на эту довольно бесплодную тему, должны быть вложены в проблему, развитие которой будет иметь величайшие последствия для математического анализа и его приложений к практическим исследованиям. Я имею в виду эллиптические трансценденты. Серьезный исследователь с подходящей квалификацией для исследований такого рода ни в коем случае не ограничился бы многочисленными странными и прекрасными свойствами этих замечательнейших функций, но мог бы открыть Магелланов пролив, ведущий в широкие просторы огромного Аналитического океана.

Это вскоре оказалось весьма пророческим советом. Сам Абель вскоре обнаружил ошибку в своих исследованиях уравнения пятой степени, но продолжил работу над существованием решений. Два года спустя он смог доказать, что они вообще не имеют алгебраических решений .

Рекомендация Дегена сосредоточиться вместо этого на эллиптическом интеграле , скорее всего, произвела некоторое впечатление на молодого студента. Летом 1823 года Абель был с коротким визитом в Копенгагене, где встретился с Дегеном. В письме своему другу и бывшему учителю Бернту Михаэлю Хольмбо в Осло он написал, что построил эллиптические функции , обращая соответствующие интегралы . В следующем году в письме к Дегену он мог сообщить, что эти новые функции имели два периода . ^[7] Хотя это открытие знаменует начало новой и очень важной ветви современной математики, Абель ждал с публикацией своих результатов. Это произошло впервые в 1827 году. Деген тем временем умер и поэтому не знал о прекрасных открытиях, сделанных Абелем и которые он предсказал.