Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)

В функциональном анализе теорема об открытом отображении , также известная как теорема Банаха–Шаудера или теорема Банаха ^[1] (названная в честь Стефана Банаха и Юлиуша Шаудера ), является фундаментальным результатом, утверждающим, что если ограниченный или непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами является сюръективным , то он является открытым отображением .

Частный случай также называется теоремой об ограниченной обратной функции (также называемой теоремой об обратном отображении или теоремой об изоморфизме Банаха), которая утверждает, что биективный ограниченный линейный оператор из одного банахова пространства в другое имеет ограниченный обратный оператор .${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т^{-1}}$

Доказательство здесь использует теорему о категории Бэра , и полнота обоих и существенна для теоремы. Утверждение теоремы больше не является верным, если любое из пространств предполагается только нормированным векторным пространством ; см. § Контрпример.${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

Доказательство основано на следующих леммах, которые также представляют некоторый независимый интерес. Линейное отображение между топологическими векторными пространствами называется почти открытым , если для каждой окрестности нуля замыкание содержит окрестность нуля. Следующая лемма может рассматриваться как слабая версия теоремы об открытом отображении.${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\overline {f(U)}}}$

Доказательство: Сжимая , можно предположить, что это открытый шар с центром в нуле. Имеем . Таким образом, некоторые содержат внутреннюю точку ; то есть, для некоторого радиуса ,${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(E)=f\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nU\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(nU)}$${\displaystyle {\overline {f(nU)}}}$${\displaystyle у}$${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle B(y,r)\subset {\overline {f(nU)}}.}$

Тогда для любого в с , в силу линейности, выпуклости и , ${\displaystyle v}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \|v\|<r}$${\displaystyle (-1)U\subset U}$

${\displaystyle v=v-y+y\in {\overline {f(-nU)}}+{\overline {f(nU)}}\subset {\overline {f(2nU)}}}$,

что доказывает лемму делением на . (То же доказательство работает, если являются пространствами пре-Фреше.)${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \square }$${\displaystyle E,F}$

Полнота в домене затем позволяет обновить почти открытое до открытого.

Доказательство: Пусть в и некоторая последовательность. Имеем: . Таким образом, для каждого и в можно найти с и в . Таким образом, взяв , найдем такое, что${\displaystyle y}$${\displaystyle B(0,\delta )}$${\displaystyle c_{n}>0}$${\displaystyle {\overline {B(0,\delta )}}\subset {\overline {f(B(0,1))}}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \|x\|<\delta ^{-1}\|z\|}$${\displaystyle z}$${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$${\displaystyle z=y}$${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle \|y-f(x_{1})\|<c_{1},\,\|x_{1}\|<\delta ^{-1}\|y\|.}$

Применяя тот же аргумент к , мы затем находим такое, что${\displaystyle z=y-f(x_{1})}$${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle \|y-f(x_{1})-f(x_{2})\|<c_{2},\,\|x_{2}\|<\delta ^{-1}c_{1}}$

где мы наблюдали . Затем так далее. Таким образом, если , мы нашли последовательность такую, что сходится и . Также, ${\displaystyle \|x_{2}\|<\delta ^{-1}\|z\|<\delta ^{-1}c_{1}}$${\displaystyle c:=\sum c_{n}<\infty }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x=\sum _{1}^{\infty }x_{n}}$${\displaystyle f(x)=y}$

${\displaystyle \|x\|\leq \sum _{1}^{\infty }\|x_{n}\|\leq \delta ^{-1}\|y\|+\delta ^{-1}c.}$

Так как , сделав достаточно малым, мы можем добиться . (Опять же то же доказательство справедливо, если являются пространствами пре-Фреше.)${\displaystyle \delta ^{-1}\|y\|<1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \|x\|<1}$${\displaystyle \square }$${\displaystyle E,F}$

Доказательство теоремы: По теореме Бэра о категориях применима первая лемма. Тогда заключение теоремы следует из второй леммы.${\displaystyle \square }$

В общем случае непрерывная биекция между топологическими пространствами не обязательно является гомеоморфизмом. Теорема об открытом отображении, когда она применяется, подразумевает, что биекция достаточна:

Хотя указанная выше ограниченная обратная теорема является частным случаем теоремы об открытом отображении, теорема об открытом отображении в свою очередь следует из нее. Действительно, сюръективный непрерывный линейный оператор факторизуется как${\displaystyle T:E\to F}$

${\displaystyle T:E{\overset {p}{\to }}E/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}F.}$

Здесь, является непрерывным и биективным и, таким образом, является гомеоморфизмом по ограниченной обратной теореме; в частности, это открытое отображение. Поскольку фактор-отображение для топологических групп открыто, то является открытым.${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T}$

Поскольку теорема об открытом отображении и ограниченная обратная теорема по сути являются одним и тем же результатом, их часто называют просто теоремой Банаха .

Вот формулировка теоремы об открытом отображении в терминах транспонирования оператора.

Доказательство: Идея 1. 2. состоит в том, чтобы показать: и это следует из теоремы Хана–Банаха . 2. 3. — это как раз вторая лемма в § Утверждение и доказательство. Наконец, 3. 4. тривиально, а 4. 1. легко следует из теоремы об открытом отображении.${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle y\notin {\overline {T(B_{X})}}\Rightarrow \|y\|>\delta ,}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \square }$

В качестве альтернативы, 1. подразумевает, что является инъективным и имеет замкнутый образ, а затем по теореме о замкнутом диапазоне , что подразумевает, что имеет плотный образ и замкнутый образ, соответственно; т.е. является сюръективным. Следовательно, приведенный выше результат является вариантом частного случая теоремы о замкнутом диапазоне.${\displaystyle T'}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

Теренс Тао дает следующую количественную формулировку теоремы: ^[9]

Доказательство: 2. 1. — обычная теорема об открытом отображении.${\displaystyle \Rightarrow }$

1. 4.: Для некоторых имеем где означает открытый шар. Тогда для некоторых в . То есть, при .${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B(0,2)\subset T(B(0,r))}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\frac {f}{\|f\|}}=T\left({\frac {u}{\|f\|}}\right)}$${\displaystyle {\frac {u}{\|f\|}}}$${\displaystyle B(0,r)}$${\displaystyle Tu=f}$${\displaystyle \|u\|<r\|f\|}$

4. 3.: Мы можем записать с в плотном подпространстве и сумму, сходящуюся по норме. Тогда, поскольку является полным, с и является требуемым решением. Наконец, 3. 2. тривиально.${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle f=\sum _{0}^{\infty }f_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle u=\sum _{0}^{\infty }u_{j}}$${\displaystyle \|u_{j}\|\leq C\|f_{j}\|}$${\displaystyle Tu_{j}=f_{j}}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \square }$

Теорема об открытом отображении может не выполняться для нормированных пространств, которые не являются полными. Самый быстрый способ увидеть это — заметить, что теорема о замкнутом графике , следствие теоремы об открытом отображении, не выполняется без полноты. Но вот более конкретный контрпример. Рассмотрим пространство X последовательностей x  :  N  →  R с конечным числом ненулевых членов, снабженных супремум-нормой . Отображение T  :  X  →  X, определенное как

${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$

ограничено, линейно и обратимо, но T ⁻¹ неограничено. Это не противоречит ограниченной обратной теореме, поскольку X не является полным , и, таким образом, не является банаховым пространством. Чтобы увидеть, что оно не является полным, рассмотрим последовательность последовательностей x ^{( n )}  ∈  X , заданную как

${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$

сходится при n  → ∞ к последовательности x ^(∞), заданной формулой

${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$

все члены которого не равны нулю, и поэтому не лежат в X.

Пополнение X — это пространство${\displaystyle c_{0}}$ всех последовательностей, сходящихся к нулю, которое является (замкнутым) подпространством пространства ℓ p _ℓ ∞ ₍ N ) , которое является пространством всех ограниченных последовательностей. Однако в этом случае отображение T не является на, и, следовательно, не является биекцией. Чтобы увидеть это, нужно просто заметить, что последовательность

${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),}$

является элементом , но не входит в диапазон . Те же рассуждения применимы и к показу, также не входит в в , например, не входит в диапазон .${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle l^{\infty }}$${\displaystyle x=\left(1,1,1,\dots \right)}$${\displaystyle T}$

Теорема об открытом отображении имеет несколько важных следствий:

• Если — биективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами и то обратный оператор также непрерывен (это называется теоремой об ограниченной обратной теореме ). ^[10]${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$
• Если — линейный оператор между банаховыми пространствами и и если для любой последовательности из с и следует, что то — непрерывный ( теорема о замкнутом графике ). ^[11]${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$${\displaystyle Tx_{n}\to y}$${\displaystyle y=0,}$${\displaystyle T}$
• Если задан ограниченный оператор между нормированными пространствами, то если образ не является тощим и если он полон, то он открыт, сюръективен и полон (чтобы убедиться в этом, воспользуйтесь двумя леммами в доказательстве теоремы). ^[12]${\displaystyle T:E\to F}$${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F}$
• Точная последовательность пространств Банаха (или, в более общем смысле, пространств Фреше) является топологически точной.
• Теорема о замкнутом диапазоне , которая гласит, что оператор (при некотором предположении) имеет замкнутый образ тогда и только тогда, когда его транспонирование имеет замкнутый образ (см. теорему о замкнутом диапазоне#Набросок доказательства ).

Теорема об открытом отображении не подразумевает, что непрерывный сюръективный линейный оператор допускает непрерывное линейное сечение. Мы имеем: ^[9]

• Сюръективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами допускает непрерывное линейное сечение тогда и только тогда, когда ядро ​​топологически дополняемо.

В частности, вышесказанное применимо к оператору между гильбертовыми пространствами или оператору с конечномерным ядром (по теореме Хана–Банаха ). Если отказаться от требования линейности сечения, то сюръективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами допускает непрерывное сечение; это теорема Бартла–Грейвса. ^{[13] [14]}

Локальная выпуклость или  не существенна для доказательства, но полнота важна: теорема остается верной в случае, когда и являются F-пространствами . Кроме того, теорему можно объединить с теоремой Бэра о категории следующим образом:${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

(Доказательство по сути такое же, как в случаях Банаха или Фреше; мы немного изменяем доказательство, чтобы избежать использования выпуклости)

Более того, в этом последнем случае, если является ядром , то существует каноническая факторизация в виде , где является факторпространством (также F-пространством) по замкнутому подпространству Факторное отображение открыто, и отображение является изоморфизмом топологических векторных пространств . ^[16]${\displaystyle N}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y}$$${\displaystyle X/N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle X\to X/N}$${\displaystyle \alpha }$

Важный частный случай этой теоремы можно также сформулировать как

С другой стороны, можно дать более общую формулировку, подразумевающую первую:

Почти/Почти открытые линейные карты

Линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами (TVS) называется${\displaystyle A:X\to Y}$почти открытое отображение (или иногда почти открытое отображение ), если для каждой окрестностиначала координат в области замыкание ее образаявляется окрестностью начала координат в^[18]. Многие авторы используют другое определение «почти/почти открытого отображения», которое требует, чтобы замыканиебыло окрестностью начала координат в ,а не в^[18],но для сюръективных отображений эти определения эквивалентны. Биективное линейное отображение является почти открытым тогда и только тогда, когда его обратное непрерывно.^[18]Каждое сюръективное линейное отображение излокально выпуклого TVSнабочкообразное TVSявляется почти открытым.^[19]То же самое верно для каждого сюръективного линейного отображения из TVS наБэра.^[19]${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {cl} A(U)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle A(U)}$${\displaystyle A(X)}$${\displaystyle Y,}$

Сетчатые пространства — это класс топологических векторных пространств, для которых справедливы теорема об открытом отображении и теорема о замкнутом графике .

• Почти открытая линейная карта  – карта, которая удовлетворяет условию, аналогичному условию открытой карты.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Ограниченная обратная теорема  – Условие открытости линейного оператораPages displaying short descriptions of redirect targets
• Закрытый граф  – Граф карты, замкнутый в пространстве продукта.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема о замкнутом графике  – Теорема, связывающая непрерывность с графиками.
• Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ)  – Теоремы, связывающие непрерывность с замкнутостью графиков.
• Теорема об открытом отображении (комплексный анализ)  – Теорема о том, что голоморфные функции на комплексных областях являются открытыми отображениями.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Сюръекция пространств Фреше  – Характеристика сюръекции
• Теорема Урсеску  – Обобщение замкнутого графика, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности
• Сетчатое пространство  – пространство, в котором справедливы теоремы об открытом отображении и замкнутом графике.

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Монография Математическая (на французском языке). Том. 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Збл  0005.20901. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Дьедонне, Жан (1970). Трактат об анализе, том II . Академическая пресса.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 25 (первое издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Фогт, Дитмар (2000). «Лекции по пространствам Фреше» (PDF) . Бергишский университет Вупперталя.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.

В данной статье использованы материалы из книги «Доказательство теоремы об открытом отображении» на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• «Когда комплекс банаховых пространств точен как конденсированные абелевы группы?». MathOverflow . 6 февраля 2021 г.