Тело постоянной яркости

В выпуклой геометрии тело постоянной яркости — это трехмерное выпуклое множество, все двумерные проекции которого имеют одинаковую площадь. Сфера — это тело постоянной яркости, но существуют и другие. Тела постоянной яркости являются обобщением кривых постоянной ширины , но не являются тем же самым, что и другое обобщение — поверхности постоянной ширины .

Название происходит от интерпретации тела как светящегося тела с изотропной яркостью , тогда фотография (с фокусом на бесконечности) тела, сделанная под любым углом, будет иметь одинаковую общую световую энергию, падающую на фотографию.

Тело имеет постоянную яркость тогда и только тогда, когда обратные гауссовы кривизны в парах противоположных точек касания параллельных опорных плоскостей имеют почти всюду равные суммы. ^{[1] [2]}

Согласно аналогу теоремы Барбье , все тела постоянной яркости, имеющие одинаковую проекционную площадь, имеют также одинаковую площадь поверхности, [ ^1] Это можно доказать с помощью формулы Крофтона .${\displaystyle А}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {A/\pi }}}$

Первое известное тело постоянной яркости, которое не является сферой, было построено Вильгельмом Блашке в 1915 году. Его граница представляет собой поверхность вращения криволинейного треугольника (но не треугольника Рело ). Она гладкая, за исключением окружности и одной изолированной точки, где ее пересекает ось вращения. Окружность разделяет два участка различной геометрии друг от друга: один из этих двух участков представляет собой сферическую шапку , а другой образует часть футбольного мяча , поверхности постоянной гауссовой кривизны с заостренным кончиком. Пары параллельных опорных плоскостей этого тела имеют одну плоскость, касательную к особой точке (с нулевой обратной кривизной), а другую — касательную к одному из этих двух участков, которые оба имеют одинаковую кривизну. ^{[1] [2]} Среди тел вращения постоянной яркости форма Блашке (также называемая телом Блашке–Фирея) имеет минимальный объем, а сфера — максимальный объем. ^[3]

Дополнительные примеры можно получить, объединив несколько тел постоянной яркости с помощью суммы Бляшке — операции над выпуклыми телами, которая сохраняет свойство иметь постоянную яркость. ^[3]

Кривая постоянной ширины в евклидовой плоскости имеет аналогичное свойство: все ее одномерные проекции имеют одинаковую длину. В этом смысле тела постоянной яркости являются трехмерным обобщением этого двумерного понятия, отличным от поверхностей постоянной ширины . ^[1]

Начиная с работы Блашке, была выдвинута гипотеза, что единственная форма, которая имеет как постоянную яркость, так и постоянную ширину, — это сфера. Это было явно сформулировано Накаджимой в 1926 году, и это стало известно как проблема Накаджимы . Сам Накадзима доказал гипотезу при дополнительном предположении, что граница формы гладкая. Доказательство полной гипотезы было опубликовано в 2006 году Ральфом Говардом. ^{[1] [4] [5]}