сумма Блашке
Многогранник, объединяющий два меньших многогранника

В выпуклой геометрии и геометрии выпуклых многогранников сумма Бляшке двух многогранников — это многогранник, имеющий грань , параллельную каждой грани двух данных многогранников, с той же мерой . Когда оба многогранника имеют параллельные грани, мера соответствующей грани в сумме Бляшке — это сумма мер двух данных многогранников. [1]

Суммы Бляшке существуют и единственны с точностью до переноса , что можно доказать с помощью теории задачи Минковского для многогранников . Их можно использовать для разложения произвольных многогранников на симплексы , а центрально-симметричных многогранников — на параллелотопы . [1]

Хотя суммы Блашке многогранников неявно используются в работе Германа Минковского , суммы Блашке названы в честь Вильгельма Блашке , который определил соответствующую операцию для гладких выпуклых множеств. Операция суммы Блашке может быть распространена на произвольные выпуклые тела, обобщая как случаи многогранников, так и гладкие случаи, используя меры на карте Гаусса . [2]

Определение

Для любого -мерного многогранника можно задать его набор направлений граней и мер конечным набором -мерных ненулевых векторов , по одному на грань, направленных перпендикулярно наружу от грани, с длиной, равной -мерной мере его грани. Как доказал Герман Минковский , конечный набор ненулевых векторов описывает многогранник таким образом тогда и только тогда, когда он охватывает все -мерное пространство, никакие два из них не коллинеарны с одинаковым знаком, а сумма набора является нулевым вектором. Многогранник, описываемый этим набором, имеет уникальную форму в том смысле, что любые два многогранника, описываемые одним и тем же набором векторов, являются трансляциями друг друга. [1] г {\displaystyle д} г {\displaystyle д} ( г − 1 ) {\displaystyle (d-1)} г {\displaystyle д}

Сумма Блашке двух многогранников и определяется путем объединения векторов, описывающих их направления граней и меры, очевидным образом: образуют объединение двух наборов векторов, за исключением того, что когда оба набора содержат векторы, которые параллельны и имеют одинаковый знак, заменяют каждую такую ​​пару параллельных векторов ее суммой. Эта операция сохраняет необходимые условия для теоремы Минковского о существовании многогранника, описываемого результирующим набором векторов, и этот многогранник является суммой Блашке. Два многогранника не обязательно должны иметь одинаковую размерность друг с другом, пока они оба определены в общем пространстве достаточно высокой размерности, чтобы содержать оба: многогранники меньшей размерности в пространстве большей размерности определяются таким же образом наборами векторов, которые охватывают подпространство меньшей размерности пространства большей размерности, и эти наборы векторов могут быть объединены без учета размерностей пространств, которые они охватывают. [1] Х # И {\displaystyle X\#Y} Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y}

Для выпуклых многоугольников и отрезков на евклидовой плоскости их сумма Бляшке совпадает с их суммой Минковского . [3]

Разложение

Суммы Бляшке можно использовать для разложения многогранников на более простые многогранники. В частности, каждый -мерный выпуклый многогранник с гранями можно представить как сумму Бляшке не более чем симплексов (не обязательно одинаковой размерности). Каждый -мерный центрально-симметричный выпуклый многогранник можно представить как сумму Бляшке параллелоэдров . И каждый -мерный выпуклый многогранник можно представить как сумму Бляшке -мерных выпуклых многогранников, каждый из которых имеет не более чем граней. [1] г {\displaystyle д} н {\displaystyle n} н − г {\displaystyle нд} г {\displaystyle д} г {\displaystyle д} г {\displaystyle д} 2 г {\displaystyle 2d}

Обобщения

Сумма Бляшке может быть расширена с многогранников на произвольные ограниченные выпуклые множества, представляя количество поверхности в каждом направлении с помощью меры на карте Гаусса множества вместо использования конечного набора векторов, и добавляя множества путем сложения их мер. [2] [4] Если два тела постоянной яркости объединить таким образом, результатом будет еще одно тело постоянной яркости. [5]

Неравенство Кнезера–Зюсса

Объем суммы Бляшке двумерных многогранников или выпуклых тел подчиняется неравенству, известному как неравенство Кнезера–Зюсса , аналогу теоремы Брунна–Минковского об объемах сумм Минковского выпуклых тел: [4] В ( Х # И ) {\displaystyle V(X\#Y)} г {\displaystyle д} Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y}

В ( Х # И ) ( г − 1 ) / г ≥ В ( Х ) ( г − 1 ) / г + В ( И ) ( г − 1 ) / г . {\displaystyle V(X\#Y)^{(d-1)/d}\geq V(X)^{(d-1)/d}+V(Y)^{(d-1)/d}.}

Ссылки

  1. ^ abcde Грюнбаум, Бранко (2003), «15.3 Сложение Бляшке», Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике , том. 221 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр.  331–337 , doi : 10.1007/978-1-4613-0019-9, ISBN. 0-387-00424-6, г-н  1976856
  2. ^ ab Grünbaum (2003), стр. 339
  3. ^ Грюнбаум (2003), стр. 337.
  4. ^ ab Schneider, Rolf (1993), "8.2.2 Сложение Бляшке", Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 44, Cambridge University Press, Кембридж, стр.  459–461 , doi :10.1017/CBO9780511526282, ISBN 0-521-35220-7, МР  1216521
  5. ^ Гронки, Паоло (1998), «Тела постоянной яркости», Archiv der Mathematik , 70 (6): 489– 498, doi :10.1007/s000130050224, MR  1622002
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Blaschke_sum&oldid=1115654586"