Опорная гиперплоскость

{\displaystyle S} — Выпуклое множество ( розового цвета), опорная гиперплоскость (пунктирная линия) и опорное полупространство, ограниченное гиперплоскостью, которая содержит (светло-голубого цвета). $S$ $S$ $S$

В геометрии опорная гиперплоскость множества в евклидовом пространстве — это гиперплоскость , которая обладает обоими из следующих двух свойств: ^[1] $S$ $\mathbb {R} ^{n}$

$S$ целиком содержится в одном из двух замкнутых полупространств, ограниченных гиперплоскостью,
$S$ имеет по крайней мере одну граничную точку на гиперплоскости.

Здесь замкнутое полупространство — это полупространство, включающее точки внутри гиперплоскости.

Поддержка теоремы о гиперплоскости

Эта теорема утверждает, что если — выпуклое множество в топологическом векторном пространстве и — точка на границе , то существует опорная гиперплоскость, содержащая Если ( — сопряженное пространство к , — ненулевой линейный функционал) такая, что для всех , то $S$ $X=\mathbb {R} ^{n},$ $x_{0}$ $S,$ $x_{0}.$ $x^{*}\in X^{*}\backslash \{0\}$ $X^{*}$ $X$ $x^{*}$ $x^{*}\left(x_{0}\right)\geq x^{*}(x)$ $x\in S$

H=\{x\in X:x^{*}(x)=x^{*}\left(x_{0}\right)\}

определяет опорную гиперплоскость. ^[2]

Наоборот, если — замкнутое множество с непустой внутренностью , такое, что каждая точка на границе имеет опорную гиперплоскость, то — выпуклое множество, и — пересечение всех своих опорных замкнутых полупространств. ^[2] $S$ $S$

Гиперплоскость в теореме может быть не единственной, как отмечено на второй картинке справа. Если замкнутое множество не является выпуклым, утверждение теоремы не верно во всех точках на границе , как показано на третьей картинке справа. $S$ $S,$

Опорные гиперплоскости выпуклых множеств также называются так-плоскостями или так-гиперплоскостями . ^[3]

Прямое направление может быть доказано как частный случай теоремы о разделяющей гиперплоскости (см. страницу для доказательства ). Для обратного направления,

Доказательство

Определим как пересечение всех его опорных замкнутых полупространств. Очевидно , . Теперь пусть , покажем . $T$ $S\subset T$ $y\not \in S$ $y\not \in T$

Пусть , и рассмотрим отрезок прямой . Пусть будет наибольшим числом таким, что содержится в . Тогда . $x\in \mathrm {int} (S)$ $[x,y]$ $t$ $[x,t(y-x)+x]$ $S$ $t\in (0,1)$

Пусть , тогда . Проведем опорную гиперплоскость через . Пусть она будет представлена в виде ненулевого линейного функционала, такого что . Тогда, поскольку , имеем . Таким образом, по , имеем , поэтому . $b=t(y-x)+x$ $b\in \partial S$ $b$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\forall a\in T,f(a)\geq f(b)$ $x\in \mathrm {int} (S)$ $f(x)>f(b)$ ${\frac {f(y)-f(b)}{1-t}}={\frac {f(b)-f(x)}{t-0}}<0$ $f(y)<f(b)$ $y\not \in T$

Смотрите также

Функция поддержки
Опорная линия (опорные гиперплоскости в ) $\mathbb {R} ^{2}$

Примечания

^ Луенбергер, Дэвид Г. (1969). Оптимизация методами векторного пространства. Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 133. ISBN 978-0-471-18117-0.
^ ab Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Cambridge University Press. стр. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3. Получено 15 октября 2011 г. .
^ Касселс, Джон WS (1997), Введение в геометрию чисел , Springer Classics in Mathematics (переиздание 1959[3] и 1971 ред. Springer-Verlag), Springer-Verlag.

Ссылки и дополнительная литература

Осташевский, Адам (1990). Продвинутые математические методы . Кембридж; Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 129. ISBN 0-521-28964-5.

Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996). Вариационное исчисление . Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. п. 57. ИСБН 3-540-50625-X.

Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Двойственность в оптимизации и вариационных неравенствах . Лондон; Нью-Йорк: Taylor & Francis. стр. 13. ISBN 0-415-27479-6.

Солтан, В. (2021). Свойства поддержки и разделения выпуклых множеств в конечной размерности . Extracta Math. Т. 36, № 2, 241-278.

[1] Луенбергер, Дэвид Г. (1969). Оптимизация методами векторного пространства. Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 133. ISBN 978-0-471-18117-0.

[Boyd-2] Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Cambridge University Press. стр. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3. Получено 15 октября 2011 г. .

[3] Касселс, Джон WS (1997), Введение в геометрию чисел , Springer Classics in Mathematics (переиздание 1959[3] и 1971 ред. Springer-Verlag), Springer-Verlag.