формула Крофтона

В математике формула Крофтона , названная в честь Моргана Крофтона (1826–1915), (также формула Коши-Крофтона ) является классическим результатом интегральной геометрии, связывающим длину кривой с ожидаемым числом пересечений ее «случайной» прямой .

Предположим, что это спрямляемая плоская кривая . Для данной ориентированной прямой ℓ пусть ( ℓ ) будет числом точек, в которых пересекаются и ℓ . Мы можем параметризовать общую прямую ℓ направлением, в котором она указывает, и ее знаковым расстоянием от начала координат . Формула Крофтона выражает длину дуги кривой через интеграл по пространству всех ориентированных прямых:${\displaystyle \гамма}$ ${\displaystyle n_{\гамма}}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \гамма}$

${\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )={\frac {1}{4}}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.}$

Дифференциальная форма

${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$

инвариантен относительно жестких движений , поэтому он является естественной мерой интеграции для разговора о "среднем" числе пересечений. Обычно его называют кинематической мерой .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Правую часть формулы Крофтона иногда называют длиной Фавара. ^[1]

В общем случае пространство ориентированных прямых в является касательным расслоением , и мы можем аналогично определить на нем кинематическую меру , которая также инвариантна относительно жестких движений . Тогда для любой спрямляемой поверхности коразмерности 1 имеем , где${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \operatorname {area} (S)=C_{n}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.}$$$${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2\cdot |{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}={\frac {\Gamma {({\frac {n+1}{2}})}}{2\pi ^{\frac {n-1}{2}}}}}$$

Обе стороны формулы Крофтона аддитивны по конкатенации кривых, поэтому достаточно доказать формулу для одного отрезка прямой. Поскольку правая часть не зависит от положения отрезка прямой, она должна быть равна некоторой функции длины отрезка. Поскольку, опять же, формула аддитивна по конкатенации отрезков прямой, интеграл должен быть константой, умноженной на длину отрезка прямой. Осталось только определить множитель 1/4; это легко сделать, вычислив обе стороны, когда γ — единичная окружность .

Доказательство для обобщенной версии проводится точно так же, как и выше.

Пусть будет евклидовой группой на плоскости. Она может быть параметризована как , так что каждый определяет некоторые : вращается против часовой стрелки вокруг начала координат, затем переносится на . Тогда инвариантна относительно действия на себя, таким образом, мы получили кинематическую меру на .${\displaystyle E^{2}}$${\displaystyle [0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (\varphi ,x,y)\in [0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle T(\varphi ,x,y)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle dx\wedge dy\wedge d\varphi }$${\displaystyle E^{2}}$${\displaystyle E^{2}}$

Даны спрямляемые простые (без самопересечений) кривые на плоскости, тогда Доказательство проводится аналогично предыдущему. Сначала отметим, что обе стороны формулы аддитивны в , поэтому формула верна с неопределенной мультипликативной константой. Затем явно вычислим эту константу, используя простейший возможный случай: две окружности радиуса 1.${\displaystyle C,D}$$${\displaystyle \int _{T\in E^{2}}|C\cap T(D)|dT=4|C|\cdot |D|}$$${\displaystyle C,D}$

Пространство ориентированных прямых является двойным покрытием пространства неориентированных прямых. Формула Крофтона часто формулируется в терминах соответствующей плотности в последнем пространстве, в котором числовой множитель равен не 1/4, а 1/2. Поскольку выпуклая кривая пересекает почти каждую прямую либо дважды, либо вообще не пересекает, неориентированная формула Крофтона для выпуклых кривых может быть сформулирована без числовых множителей: мера множества прямых, пересекающих выпуклую кривую, равна ее длине.

Та же формула (с теми же мультипликативными константами) применима для гиперболических пространств и сферических пространств, когда кинематическая мера соответствующим образом масштабирована. Доказательство по сути то же самое.

Формула Крофтона обобщается на любую риманову поверхность или, в более общем случае, на двумерные финслеровы многообразия ; затем интеграл вычисляется с естественной мерой на пространстве геодезических . ^[2]

Существуют и более общие формы, такие как кинематическая формула Черна. ^[3]

Формула Крофтона дает элегантные доказательства следующих результатов, среди прочих:

• При наличии двух вложенных, выпуклых, замкнутых кривых внутренняя кривая короче. В общем случае для двух таких поверхностей коразмерности 1 внутренняя имеет меньшую площадь.
• При наличии двух вложенных друг в друга выпуклых замкнутых поверхностей с вложенной внутренней поверхностью вероятность пересечения случайной линией внутренней поверхности при условии ее пересечения с внешней поверхностью равна Это обоснование эвристики площади поверхности в иерархии ограничивающего объема .${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$$${\displaystyle Pr(l{\text{ intersects }}S_{1}|l{\text{ intersects }}S_{2})={\frac {\operatorname {area} (S_{1})}{\operatorname {area} (S_{2})}}}$$
• Для заданного компактного выпуклого подмножества , пусть будет случайной прямой, а будет случайной гиперплоскостью, тогда где — средняя ширина , то есть ожидаемая длина ортогональной проекции на случайное линейное подпространство . Когда , по изопериметрическому неравенству , эта вероятность ограничена сверху , с равенством тогда и только тогда, когда является диском.${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle Pr(l{\text{ intersects }}P|l,P{\text{ intersects }}S)={\frac {|S|}{|\partial S|\cdot E[{\text{width of }}S]}}}$$${\displaystyle E[{\text{width of }}S]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle S}$
• Теорема Барбье : Всякая кривая постоянной ширины w имеет периметр π w .
• Изопериметрическое неравенство : Среди всех замкнутых кривых с заданным периметром круг имеет единственную максимальную площадь.
• Выпуклая оболочка каждой ограниченной спрямляемой замкнутой кривой C имеет периметр, не превышающий длины C , причем равенство достигается только тогда, когда C уже является выпуклой кривой.
• Формула площади поверхности Коши: Для любого выпуклого компактного подмножества пусть будет ожидаемой площадью тени (то есть является ортогональной проекцией на случайную гиперплоскость ), тогда, интегрируя формулу Крофтона сначала по , затем по , получаем В частности, устанавливая дает теорему Барбье , дает классический пример «средняя тень выпуклого тела составляет 1/4 его площади поверхности». Общая дает обобщение теоремы Барбье для тел постоянной яркости .${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle E[|T(S)|]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dp}$${\displaystyle d\varphi }$$${\displaystyle {\frac {|\partial S|}{E[|T(S)|]}}={\frac {|{\text{unit sphere in }}\mathbb {R} ^{n}|}{|{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}=2{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n}$

• Лапша Буффона
• Преобразование Радона можно рассматривать как теоретико-мерное обобщение формулы Крофтона, а формула Крофтона используется в формуле обращения преобразования Радона в k -плоскости Гельфанда и Граева ^[4]
• Штейнгаузский лонгиметр

• Табачников, Серж (2005). Геометрия и бильярд . AMS. С. 36–40. ISBN 0-8218-3919-5.
• Сантало, Луизиана (1953). Введение в интегральную геометрию . стр. 12–13, 54. LCC  QA641.S3.

• Страница формулы Коши–Крофтона с демонстрационными апплетами
• Алиса, Боб и средняя тень куба, визуализация формулы площади поверхности Коши.