Гипотеза Бинга–Борсука

В математике гипотеза Бинга–Борсука утверждает, что каждое -мерное однородное абсолютное окрестностное ретрактное пространство является топологическим многообразием . Гипотеза была доказана для размерностей 1 и 2, и известно, что 3-мерная версия гипотезы влечет гипотезу Пуанкаре .${\displaystyle n}$

Топологическое пространство однородно , если для любых двух точек существует гомеоморфизм , который переводит в .${\displaystyle m_{1},m_{2}\in M}$${\displaystyle М}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$

Метрическое пространство является абсолютным окрестностным ретрактом (ANR), если для каждого замкнутого вложения (где — метрическое пространство) существует открытая окрестность образа , которая ретрактуется в . ^[1]${\displaystyle М}$${\displaystyle f:M\rightarrow N}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle f(M)}$

Существует альтернативное утверждение гипотезы Бинга–Борсука: предположим, что вложено в для некоторого и это вложение может быть расширено до вложения . Если имеет окрестность цилиндра отображения некоторого отображения с проекцией цилиндра отображения , то является приближенным расслоением . ^[2]${\displaystyle М}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}}$${\displaystyle m\geq 3}$${\displaystyle M\times (-\varepsilon,\varepsilon)}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N=C_{\varphi }}$${\displaystyle \varphi :\partial N\rightarrow M}$${\displaystyle \пи :N\rightarrow M}$${\displaystyle \пи}$

Гипотеза была впервые высказана в статье Р. Х. Бинга и Кароля Борсука в 1965 году, которые доказали ее для и 2. ^[3]${\displaystyle n=1}$

В 1978 году Влодзимеж Якобше показал, что если гипотеза Бинга–Борсука верна в размерности 3, то гипотеза Пуанкаре также должна быть верна. ^[4]

Гипотеза Буземана утверждает, что каждое -пространство Буземана${\displaystyle G}$ является топологическим многообразием. Это частный случай гипотезы Бинга–Борсука. Известно, что гипотеза Буземана верна для размерностей от 1 до 4.