Оператор трансфера

В математике оператор переноса кодирует информацию об итеративном отображении и часто используется для изучения поведения динамических систем , статистической механики , квантового хаоса и фракталов . Во всех обычных случаях наибольшее собственное значение равно 1, а соответствующий собственный вектор является инвариантной мерой системы.

Оператор переноса иногда называют оператором Рюэля , в честь Дэвида Рюэля , или оператором Перрона–Фробениуса , или оператором Рюэля–Перрона–Фробениуса , в связи с применимостью теоремы Перрона–Фробениуса к определению собственных значений оператора.

Изучаемая итеративная функция представляет собой отображение для произвольного множества . ${\displaystyle f\двоеточие X\стрелка вправо X}$${\displaystyle X}$

Оператор переноса определяется как оператор, действующий на пространстве функций следующим образом:${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \{\Phi \colon X\rightarrow \mathbb {C} \}}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\Phi)(x)=\sum _{y\,\in \,f^{-1}(x)}g(y)\Phi (y)}$

где — вспомогательная функция оценки. Когда имеет определитель Якоби , то обычно принимается равным .${\displaystyle g\двоеточие X\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle |J|}$${\displaystyle г}$${\displaystyle g=1/|J|}$

Можно показать, что приведенное выше определение оператора переноса является пределом множества точек теоретико-мерного прямого перехода g : по сути, оператор переноса является прямым функтором образа в категории измеримых пространств . Левым сопряженным оператором Перрона–Фробениуса является оператор Купмана или оператор композиции . Общая настройка обеспечивается функциональным исчислением Бореля .

Как правило, оператор переноса обычно можно интерпретировать как оператор (левого) сдвига, действующий на сдвиговом пространстве . Наиболее часто изучаемые сдвиги — это подсдвиги конечного типа . Сопряженный оператор переноса также обычно можно интерпретировать как сдвиг вправо. Особенно хорошо изученные сдвиги вправо включают оператор Якоби и матрицу Хессенберга , оба из которых генерируют системы ортогональных многочленов посредством сдвига вправо.

В то время как итерация функции естественным образом приводит к изучению орбит точек X при итерации (изучение динамики точек ), оператор переноса определяет, как (гладкие) отображения эволюционируют при итерации. Таким образом, операторы переноса обычно появляются в физических задачах, таких как квантовый хаос и статистическая механика , где внимание сосредоточено на эволюции гладких функций во времени. В свою очередь, это имеет медицинские приложения для рационального дизайна лекарств , через область молекулярной динамики .${\displaystyle f}$

Часто бывает так, что оператор переноса положителен, имеет дискретные положительные вещественные собственные значения , причем наибольшее собственное значение равно единице. По этой причине оператор переноса иногда называют оператором Фробениуса–Перрона.

Собственные функции оператора переноса обычно являются фракталами. Когда логарифм оператора переноса соответствует квантовому гамильтониану , собственные значения обычно будут очень близко расположены, и, таким образом, даже очень узкий и тщательно отобранный ансамбль квантовых состояний будет охватывать большое количество очень разных фрактальных собственных состояний с ненулевым носителем по всему объему. Это можно использовать для объяснения многих результатов классической статистической механики, включая необратимость времени и увеличение энтропии .

Оператор переноса отображения Бернулли точно решаем и является классическим примером детерминированного хаоса ; дискретные собственные значения соответствуют полиномам Бернулли . Этот оператор также имеет непрерывный спектр, состоящий из дзета-функции Гурвица .${\displaystyle b(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor }$

Оператор переноса отображения Гаусса называется оператором Гаусса–Кузмина–Вирсинга (GKW) . Теория GKW восходит к гипотезе Гаусса о непрерывных дробях и тесно связана с дзета-функцией Римана .${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$

• схема Бернулли
• Сдвиг конечного типа
• Теорема Крейна–Рутмана
• Метод трансфер-матрицы

• Гаспар, Пьер (1992). "r-адические одномерные отображения и формула суммирования Эйлера". J. Phys. A: Math. Gen. 25 ( 8): L483–L485. Bibcode : 1992JPhA...25L.483G. doi : 10.1088/0305-4470/25/8/017.
• Гаспар, Пьер (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Cambridge University Press . ISBN 0-521-39511-9.
• Макки, Майкл С. (1992). Стрела времени: истоки термодинамического поведения . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94093-6.
• Майер, Дитер Х. (1978). Оператор переноса Рюэля-Араки в классической статистической механике . Springer-Verlag. ISBN 0-387-09990-5.
• Ruelle, David (1978). Термодинамический формализм: математические структуры классической равновесной статистической механики . Addison–Wesley, Reading. ISBN 0-201-13504-3.
• Рюэль, Дэвид (2002). «Динамические дзета-функции и операторы переноса» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (8): 887–895. (Предоставляет вводный обзор).