Теорема Крейна–Рутмана
Обобщение теоремы Перрона–Фробениуса на банаховы пространства

В функциональном анализе теорема Крейна–Рутмана является обобщением теоремы Перрона–Фробениуса на бесконечномерные банаховы пространства . [1] Она была доказана Крейном и Рутманом в 1948 году. [2]

Заявление

Пусть будет банаховым пространством , и пусть будет выпуклым конусом таким, что , и плотно в , т.е. замыкание множества . также известно как полный конус . Пусть будет ненулевым компактным оператором , и предположим, что он положителен , то есть , и что его спектральный радиус строго положителен. Х {\displaystyle X} К ⊂ Х {\displaystyle K\подмножество X} К ∩ − К = { 0 } {\displaystyle K\cap -K=\{0\}} К − К {\displaystyle КК} Х {\displaystyle X} { ты − в : ты , в ∈ К } = Х {\displaystyle \{uv:u,\,v\in K\}=X} К {\displaystyle К} Т : Х → Х {\displaystyle T:X\to X} Т ( К ) ⊂ К {\displaystyle T(K)\subset K} г ( Т ) {\displaystyle r(T)}

Тогда есть собственное значение с положительным собственным вектором , что означает, что существует такое, что . г ( Т ) {\displaystyle r(T)} Т {\displaystyle Т} ты ∈ К ∖ 0 {\displaystyle u\in K\setminus {0}} Т ( ты ) = г ( Т ) ты {\displaystyle T(u)=r(T)u}

Теорема Де Пагтера

Если предположить, что положительный оператор является идеальным неприводимым , а именно, не существует идеала такого , что , то теорема де Пагтера [3] утверждает, что . Т {\displaystyle Т} Дж. ≠ 0 {\displaystyle J\neq 0} Х {\displaystyle X} Т Дж. ⊂ Дж. {\displaystyle TJ\subset J} г ( Т ) > 0 {\displaystyle r(T)>0}

Поэтому для идеальных неприводимых операторов это предположение не требуется. г ( Т ) > 0 {\displaystyle r(T)>0}

Ссылки

  1. ^ Du, Y. (2006). "1. Теорема Крейна–Рутмана и главное собственное значение". Структура порядка и топологические методы в нелинейных частных дифференциальных уравнениях. Том 1. Принципы максимума и приложения . Ряды по частным дифференциальным уравнениям и приложениям. Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 981-256-624-4. МР  2205529.
  2. ^ Крейн, М. Г.; Рутман, М. А. (1948). «Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в банаховом пространстве». Успехи мат. наук . Новая серия. 3 (1(23)): 1–95. MR  0027128.. Английский перевод: Крейн, М. Г.; Рутман, М. А. (1950). "Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в банаховом пространстве". Amer. Math. Soc. Transl . 1950 (26). MR  0038008.
  3. ^ de Pagter, B. (1986). «Неприводимые компактные операторы». Math. Z . 192 (1): 149–153. doi :10.1007/bf01162028. MR  0835399.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_Крейна–Рутмана&oldid=1178238578"