Квантовая статистическая механика

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Сентябрь 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Современная физика
${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}(t)\rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{n}(t)\rangle }$ ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_ {\mu \nu } = {\kappa }T_ {\mu \nu }}$ Уравнения поля Шредингера и Эйнштейна
Основатели Макс Планк Альберт Эйнштейн Нильс Бор Макс Борн Вернер Гейзенберг Эрвин Шредингер Паскуаль Джордан Вольфганг Паули Поль Дирак Эрнест Резерфорд Луи де Бройль Сатьендра Нат Бос
Концепции Топология Космос Время Энергия Иметь значение Работа Случайность Информация Энтропия Свет Частица Волна
Филиалы Применяемый Экспериментальный Теоретический Математический Философия физики Квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая информация Квантовые вычисления Электромагнетизм Слабое взаимодействие Электрослабое взаимодействие Сильное взаимодействие Атомный Частица Ядерный Атомный, молекулярный и оптический Конденсированное вещество Статистический Сложные системы Нелинейная динамика Биофизика Нейрофизика Физика плазмы Специальная теория относительности Общая теория относительности Астрофизика Космология Теории гравитации Квантовая гравитация Теория всего
Ученые Виттен Рентген Беккерель Лоренц Планк Кюри Вена Склодовская-Кюри Зоммерфельд Резерфорд Дерновый Оннес Эйнштейн Вильчек Рожденный Вейль Бор Крамерс Шредингер де Бройль Лауэ Бозе Комптон Паули Уолтон Ферми ван дер Ваальс Гейзенберг Дайсон Зееман Мозли Гильберт Гёдель Иордания Дирак Вигнер Хокинг П. У. Андерсон Лемэтр Томсон Пуанкаре Уиллер Пенроуз Милликен Намбу фон Нейман Хиггс Хан Фейнман Ян Ли Ленард Салам 'т Хоофт Вельтман Белл Гелл-Манн Дж. Дж. Томсон Раман Брэгг Бардин Шокли Чедвик Лоуренс Цайлингер Гоудсмит Уленбек
Категории Современная физика
в т е

Part of a series of articles about
Quantum mechanics
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Schrödinger equation
Introduction Glossary History
Background Classical mechanics Old quantum theory Bra–ket notation Hamiltonian Interference
Fundamentals Complementarity Decoherence Entanglement Energy level Measurement Nonlocality Quantum number State Superposition Symmetry Tunnelling Uncertainty Wave function Collapse
Experiments Bell's inequality CHSH inequality Davisson–Germer Double-slit Elitzur–Vaidman Franck–Hertz Leggett inequality Leggett–Garg inequality Mach–Zehnder Popper Quantum eraser Delayed-choice Schrödinger's cat Stern–Gerlach Wheeler's delayed-choice
Formulations Overview Heisenberg Interaction Matrix Phase-space Schrödinger Sum-over-histories (path integral)
Equations Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Superdeterminism Many-worlds Objective-collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann–Wigner
Advanced topics Relativistic quantum mechanics Quantum field theory Quantum information science Quantum computing Quantum chaos EPR paradox Density matrix Scattering theory Quantum statistical mechanics Quantum machine learning
Scientists Aharonov Bell Bethe Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Квантовая статистическая механика — это статистическая механика, применяемая к квантово-механическим системам . В квантовой механике статистический ансамбль ( распределение вероятностей по возможным квантовым состояниям ) описывается оператором плотности S , который является неотрицательным, самосопряженным , следовым оператором следа 1 в гильбертовом пространстве H, описывающем квантовую систему. Это можно показать с помощью различных математических формализмов для квантовой механики .

Из классической теории вероятностей мы знаем, что ожидание случайной величины X определяется ее распределением D _X по формуле

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{\mathbb {R} }d\lambda \operatorname {D} _{X}(\lambda )}$

предполагая, конечно, что случайная величина интегрируема или что случайная величина неотрицательна. Аналогично, пусть A будет наблюдаемой квантово-механической системой. A задается плотно определенным самосопряженным оператором на H . Спектральная мера A определяется как

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}d\lambda \operatorname {E} (\lambda ),}$

однозначно определяет A и наоборот, однозначно определяется A. E _A — булев гомоморфизм из борелевских подмножеств R в решетку Q самосопряженных проекций H. По аналогии с теорией вероятностей, если задано состояние S , мы вводим распределение A относительно S , которое является вероятностной мерой , определенной на борелевских подмножествах R с помощью

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

Аналогично, ожидаемое значение A определяется с точки зрения распределения вероятностей D _A следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\int _{\mathbb {R} }d\lambda \,\operatorname {D} _{A}(\lambda ).}$

Обратите внимание, что это ожидание относится к смешанному состоянию S , которое используется в определении D _A.

Замечание . По техническим причинам необходимо рассматривать отдельно положительные и отрицательные части A, определяемые функциональным исчислением Бореля для неограниченных операторов.

Можно легко показать:

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\operatorname {Tr} (AS)=\operatorname {Tr} (SA).}$

След оператора А записывается следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{m}\langle m|A|m\rangle .}$

Обратите внимание, что если S — чистое состояние, соответствующее вектору , то:${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\langle \psi |A|\psi \rangle .}$

Особое значение для описания случайности состояния имеет энтропия фон Неймана S, формально определяемая как

${\displaystyle \operatorname {H} (S)=-\operatorname {Tr} (S\log _{2}S)}$.

На самом деле, оператор S log ₂ S не обязательно является следовым классом. Однако, если S — неотрицательный самосопряженный оператор, не являющийся следовым классом, мы определяем Tr( S ) = +∞. Также отметим, что любой оператор плотности S может быть диагонализирован, то есть его можно представить в некотором ортонормированном базисе (возможно, бесконечной) матрицей вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}&\\\vdots &\vdots &&&\ddots \end{bmatrix}}}$

и мы определяем

${\displaystyle \operatorname {H} (S)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}.}$

Соглашение заключается в том, что , поскольку событие с вероятностью ноль не должно вносить вклад в энтропию. Это значение является расширенным действительным числом (то есть находится в [0, ∞]), и это, очевидно, унитарный инвариант S .${\displaystyle \;0\log _{2}0=0}$

Замечание . Действительно возможно, что H( S ) = +∞ для некоторого оператора плотности S . Фактически T — диагональная матрица

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2(\log _{2}2)^{2}}}&0&\cdots &0&\cdots \\0&{\frac {1}{3(\log _{2}3)^{2}}}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&{\frac {1}{n(\log _{2}n)^{2}}}&\\\vdots &\vdots &&&\ddots \end{bmatrix}}}$

T — неотрицательный следовой класс, и можно показать, что T log ₂ T не является следовым классом.

Теорема . Энтропия — унитарный инвариант.

По аналогии с классической энтропией (обратите внимание на сходство в определениях), H( S ) измеряет количество случайности в состоянии S . Чем более разбросаны собственные значения, тем больше энтропия системы. Для системы, в которой пространство H конечномерно, энтропия максимальна для состояний S , которые в диагональной форме имеют представление

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&0&\cdots &0\\0&{\frac {1}{n}}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}}$

Для такого S , H( S ) = log ₂ n . Состояние S называется максимально смешанным состоянием.

Напомним, что чистое состояние — это одна из форм

${\displaystyle S=|\psi \rangle \langle \psi |,}$

для ψ — вектор нормы 1.

Теорема . H( S ) = 0 тогда и только тогда, когда S является чистым состоянием.

Ибо S является чистым состоянием тогда и только тогда, когда его диагональная форма имеет ровно один ненулевой элемент, равный 1.

Энтропию можно использовать как меру квантовой запутанности .

Рассмотрим ансамбль систем, описываемых гамильтонианом H со средней энергией E. Если H имеет чисто точечный спектр и собственные значения H стремятся к +∞ достаточно быстро, e ^{− r H} будет неотрицательным оператором следового класса для каждого положительного r .${\displaystyle E_{n}}$

Канонический ансамбль Гиббса описывается состоянием

${\displaystyle S={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta H}}{\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})}}.}$

Где β таково, что среднее значение энергии по ансамблю удовлетворяет условию

${\displaystyle \operatorname {Tr} (SH)=E}$

и

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})=\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}=Z(\beta )}$

Это называется функцией распределения ; это квантово-механическая версия канонической функции распределения классической статистической механики. Вероятность того, что система, выбранная случайным образом из ансамбля, будет находиться в состоянии, соответствующем собственному значению энергии, равна${\displaystyle E_{m}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(E_{m})={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}}{\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}}}.}$

При определенных условиях канонический ансамбль Гиббса максимизирует энтропию фон Неймана состояния, подчиняющегося требованию сохранения энергии. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Для открытых систем, где энергия и число частиц могут колебаться, система описывается большим каноническим ансамблем , описываемым матрицей плотности

${\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}}{\operatorname {Tr} \left(\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}\right)}}.}$

где N ₁ , N ₂ , ... — операторы числа частиц для различных видов частиц, которые обмениваются с резервуаром. Обратите внимание, что это матрица плотности, включающая гораздо больше состояний (с переменным N) по сравнению с каноническим ансамблем.

Великая функция распределения — это

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\beta ,\mu _{1},\mu _{2},\cdots )=\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)})}$

• Квантовая термодинамика
• Тепловая квантовая теория поля
• Стохастическая термодинамика
• Абстрактное пространство Винера