поток Бельтрами

В гидродинамике потоки Бельтрами — это потоки, в которых вектор завихренности и вектор скорости параллельны друг другу. Другими словами, поток Бельтрами — это поток, в котором вектор Лэмба равен нулю. Он назван в честь итальянского математика Эудженио Бельтрами из-за его вывода векторного поля Бельтрами , в то время как первоначальные разработки в гидродинамике были сделаны русским ученым Ипполитом С. Громекой в ​​1881 году. [1] [2] ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} в {\displaystyle \mathbf {v} }

Описание

Поскольку вектор завихренности и вектор скорости коллинеарны друг другу, мы можем записать ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} в {\displaystyle \mathbf {v} }

ω × в = 0 , ω = α ( х , т ) в , {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} =0,\quad {\boldsymbol {\omega }}=\alpha (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} ,}

где — некоторая скалярная функция. Одним из непосредственных следствий течения Бельтрами является то, что оно никогда не может быть плоским или осесимметричным, поскольку в этих течениях завихренность всегда перпендикулярна полю скорости. Другое важное следствие будет реализовано при рассмотрении уравнения несжимаемой завихренности α ( х , т ) {\displaystyle \альфа (\mathbf {x} ,t)}

∂ ω ∂ т + ( в ⋅ ∇ ) ω − ( ω ⋅ ∇ ) в = ν ∇ 2 ω + ∇ × ф , {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f,}

где - внешние силы тела, такие как гравитационное поле, электрическое поле и т. д., а - кинематическая вязкость. Поскольку и параллельны, нелинейные члены в приведенном выше уравнении тождественно равны нулю . Таким образом, потоки Бельтрами удовлетворяют линейному уравнению ф {\displaystyle \mathbf {ф} } ν {\displaystyle \nu} ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} в {\displaystyle \mathbf {v} } ( в ⋅ ∇ ) ω = ( ω ⋅ ∇ ) в = 0 {\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla) {\boldsymbol {\omega }} = ({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =0}

∂ ω ∂ т = ν ∇ 2 ω + ∇ × ф . {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f.}

Когда , компоненты завихренности удовлетворяют простому уравнению теплопроводности . ф = 0 {\displaystyle \mathbf {f} =0}

Тркалянский поток

Виктор Тркал рассмотрел потоки Бельтрами без каких-либо внешних сил в 1919 году [3] для скалярной функции , т.е. α ( х , т ) = с = постоянный {\displaystyle \alpha (\mathbf {x} ,t)=c={\text{константа}}}

∂ ω ∂ т = ν ∇ 2 ω , ω = с в . {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }},\quad {\boldsymbol {\omega }}=c\mathbf {v} .}

Введем следующее разделение переменных

в = е − с 2 ν т г ( х ) , {\ displaystyle \ mathbf {v} = e ^ {- c ^ {2} \ nu t} \ mathbf {g} (\ mathbf {x}),}

тогда уравнение, которому удовлетворяет, становится г ( х ) {\displaystyle \mathbf {г} (\mathbf {х} )}

∇ × г = с г . {\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} = c\mathbf {g} .}

Функции Чандрасекара –Кендалла удовлетворяют этому уравнению.

Обобщенный поток Бельтрами

Обобщенный поток Бельтрами удовлетворяет условию [4]

∇ × ( в × ω ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}

что является менее ограничительным, чем условие Бельтрами . В отличие от обычных потоков Бельтрами, обобщенный поток Бельтрами может быть изучен для плоских и осесимметричных потоков. в × ω = 0 {\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=0}

Устойчивые плоские течения

Для стационарного обобщенного потока Бельтрами имеем и поскольку он также плоский, то имеем . Введем функцию тока ∇ 2 ω = 0 ,   ∇ × ( в × ω ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0,\ \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0} в = ( ты , в , 0 ) ,   ω = ( 0 , 0 , ζ ) {\displaystyle \mathbf {v} = (u,v,0),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,0,\zeta)}

ты = ∂ ψ ∂ у , в = − ∂ ψ ∂ х , ⇒ ∇ 2 ψ = − ζ . {\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\psi =-\zeta .}

Интеграция дает . Таким образом, полное решение возможно, если оно удовлетворяет всем следующим трем уравнениям ∇ × ( в × ω ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0} ζ = − ф ( ψ ) {\displaystyle \zeta = -f(\psi)}

∇ 2 ψ = − ζ , ∇ 2 ζ = 0 , ζ = − ф ( ψ ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =-f(\psi).}

Рассматривается особый случай, когда поле потока имеет равномерную завихренность . Ван (1991) [5] дал обобщенное решение в виде ф ( ψ ) = С = постоянный {\displaystyle f(\psi )=C={\text{константа}}}

ζ = ψ + А ( х , у ) , А ( х , у ) = а х + б у {\displaystyle \zeta =\psi +A(x,y),\quad A(x,y)=ax+by}

предполагая линейную функцию для . Подстановка этого в уравнение вихреобразования и введение разделения переменных с разделительной константой приводит к А ( х , у ) {\displaystyle A(x,y)} ψ ( х , у ) = Х ( х ) И ( у ) {\ displaystyle \ psi (x, y) = X (x) Y (y)} λ 2 {\displaystyle \лямбда ^{2}}

г 2 Х г х 2 + б ν г Х г х − λ 2 Х = 0 , г 2 И г у 2 − а ν г И г у + λ 2 И = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+{\frac {b}{\nu }}{\frac {dX}{dx}}-\lambda ^{2}X=0,\quad {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}-{\frac {a}{\nu }}{\frac {dY}{dy}}+\lambda ^{2}Y=0.}

Решение, полученное для различных вариантов, можно интерпретировать по-разному, например, представляет собой поток вниз по равномерной сетке, представляет собой поток, созданный растягивающейся пластиной, представляет собой поток в угол, представляет собой асимптотический профиль всасывания и т. д. а ,   б ,   λ {\displaystyle а,\ б,\ \лямбда } а = 0 ,   б = − У , λ 2 > 0 {\displaystyle a=0,\ b=-U,\lambda ^{2}>0} а = − У ,   б = 0 , λ 2 = 0 {\displaystyle a=-U,\ b=0,\lambda ^{2}=0} а = − У ,   б = У , λ 2 = 0 {\displaystyle a=-U,\ b=U,\lambda ^{2}=0} а = − В ,   б = − У , λ 2 = 0 {\displaystyle a=-V,\ b=-U,\lambda ^{2}=0}

Нестационарные плоские течения

Здесь,

∇ 2 ψ = − ζ , ∂ ζ ∂ т = ∇ 2 ζ , ζ = − ф ( ψ , т ) {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}} = \nabla ^{2}\zeta ,\quad \zeta = -f (\psi,t)} .

Затухающие вихри Тейлора

В 1923 году Г. И. Тейлор дал решение для частного случая , где , — константа. [6] Он показал, что разделение удовлетворяет уравнению, а также ζ = К ψ {\displaystyle \zeta =K\psi } К {\displaystyle К} ψ = е − ν λ т Ψ ( х , у ) {\displaystyle \psi =e^{-\nu \lambda t}\Psi (x,y)}

∇ 2 Ψ = − λ Ψ . {\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =-\lambda \Psi .}

Тейлор также рассмотрел пример — затухающая система вихрей, вращающихся попеременно в противоположных направлениях и расположенных в прямоугольном массиве.

Ψ = А потому что ⁡ π х г потому что ⁡ π у г {\displaystyle \Psi =A\cos {\frac {\pi x}{d}}\cos {\frac {\pi y}{d}}}

что удовлетворяет приведенному выше уравнению с , где - длина квадрата, образованного вихрем. Следовательно, эта система вихрей затухает как λ = 2 π 2 / г 2 {\displaystyle \lambda =2\pi ^{2}/d^{2}} г {\displaystyle д}

ψ = А потому что ⁡ ( π х г ) потому что ⁡ ( π у г ) е − 2 π 2 г 2 ν т . {\displaystyle \psi =A\cos \left({\frac {\pi x}{d}}\right)\cos \left({\frac {\pi y}{d}}\right)e^{-{\frac {2\pi ^{2}}{d^{2}}}\nu t}.}

О. Уолш обобщил вихревое решение Тейлора в 1992 году. [7] Решение Уолша имеет вид , где и v = e − ν λ t u ( x , y ) {\displaystyle \mathbf {v} =e^{-\nu \lambda t}\mathbf {u} (x,y)} ∇ 2 u = − λ u {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-\lambda \mathbf {u} } ∇ ⋅ u = 0. {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}

Устойчивые осесимметричные течения

Здесь мы имеем . Интеграция дает и три уравнения v = ( u r , 0 , u z ) ,   ω = ( 0 , ζ , 0 ) {\displaystyle \mathbf {v} =\left(u_{r},0,u_{z}\right),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,\zeta ,0)} ∇ × ( v × ω ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0} ζ = r f ( ψ ) {\displaystyle \zeta =rf(\psi )}

∂ ∂ r ( 1 r ∂ ψ ∂ z ) + 1 r ∂ 2 ψ ∂ z 2 = − ζ , ∇ 2 ζ = 0 , ζ = r f ( ψ ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =rf(\psi )}

Первое уравнение — это уравнение Хикса . Маррис и Асвани (1977) [8] показали, что единственное возможное решение — это и остальные уравнения сводятся к f ( ψ ) = C = constant {\displaystyle f(\psi )=C={\text{constant}}}

∂ 2 ψ ∂ r 2 − 1 r ∂ ψ ∂ r + ∂ 2 ψ ∂ z 2 + C r 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+Cr^{2}=0}

Простой набор решений приведенного выше уравнения:

ψ ( r , z ) = c 1 r 4 + c 2 r 2 z 2 + c 3 r 2 + c 4 r 2 z + c 5 ( r 6 − 12 r 4 z 2 + 8 r 2 z 4 ) , C = − ( 8 c 1 + 2 c 2 ) {\displaystyle \psi (r,z)=c_{1}r^{4}+c_{2}r^{2}z^{2}+c_{3}r^{2}+c_{4}r^{2}z+c_{5}\left(r^{6}-12r^{4}z^{2}+8r^{2}z^{4}\right),\quad C=-\left(8c_{1}+2c_{2}\right)}

c 1 , c 4 ≠ 0 ,   c 2 , c 3 , c 5 = 0 {\displaystyle c_{1},c_{4}\neq 0,\ c_{2},c_{3},c_{5}=0} представляет собой поток, обусловленный двумя встречными вращающимися потоками на параболической поверхности, представляет собой вращающийся поток на плоской стенке, представляет собой эллипсоидальный вихрь потока (частный случай – сферический вихрь Хилла), представляет собой тип тороидального вихря и т. д. c 2 ≠ 0 , c 1 , c 3 , c 4 , c 5 = 0 {\displaystyle c_{2}\neq 0,c_{1},c_{3},c_{4},c_{5}=0} c 1 , c 2 , c 3 ≠ 0 ,   c 4 , c 5 = 0 {\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0,\ c_{4},c_{5}=0} c 1 , c 3 , c 5 ≠ 0 ,   c 2 , c 4 = 0 {\displaystyle c_{1},c_{3},c_{5}\neq 0,\ c_{2},c_{4}=0}

Однородное решение для показано Беркером [9] C = 0 {\displaystyle C=0}

ψ = r [ A k J 1 ( k r ) + B k Y 1 ( k r ) ] ( C k e k z + D k e − k z ) {\displaystyle \psi =r\left[A_{k}J_{1}(kr)+B_{k}Y_{1}(kr)\right]\left(C_{k}e^{kz}+D_{k}e^{-kz}\right)}

где — функция Бесселя первого рода и функция Бесселя второго рода соответственно. Частным случаем приведенного выше решения является течение Пуазейля для цилиндрической геометрии со скоростями транспирации на стенках. В 1958 году Чиа-Шун Йи нашел решение для течения Пуазейля в раковину, когда . [10] J 1 ( k r ) , Y 1 ( k r ) {\displaystyle J_{1}(kr),Y_{1}(kr)} C = 2 , c 1 = − 1 / 4 , c 3 = 1 / 2 , c 2 = c 4 = c 5 = B k = C k = 0 {\displaystyle C=2,\,c_{1}=-1/4,\,c_{3}=1/2,\,c_{2}=c_{4}=c_{5}=B_{k}=C_{k}=0}

Течение Бельтрами в механике жидкости

Поля Бельтрами являются классическим устойчивым решением уравнения Эйлера . Поля Бельтрами играют важную роль в (идеальной) механике жидкости в равновесии, поскольку сложность ожидается только для этих полей.

Смотрите также

Ссылки

  1. ↑ Громека, И. «Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости». Ученые записки Казанского университета (1881): 76–148.
  2. ^ Трусделл, Клиффорд . Кинематика вихреобразования. Т. 954. Блумингтон: Indiana University Press, 1954.
  3. ^ Тркал, В. «Замечание о гидродинамике вязких жидкостей». Cas. Pst. Mat, Fys 48 (1919): 302–311.
  4. ^ Дразин, Филип Г. и Норман Райли . Уравнения Навье–Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Cambridge University Press, 2006.
  5. ^ Ван, CY 1991 Точные решения стационарных уравнений Навье–Стокса, Annu. Rev. Fluid Mech. 23, 159–177.
  6. ↑ Тейлор, GI «LXXV. О затухании вихрей в вязкой жидкости». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 46.274 (1923): 671–674.
  7. ^ Уолш, О. (1992). Вихревые решения уравнений Навье-Стокса. В Уравнения Навье-Стокса II — Теория и численные методы (стр. 306-309). Springer, Берлин, Гейдельберг.
  8. ^ Маррис, А. В. и М. Г. Асвани. «Об общей невозможности управляемых осесимметричных движений Навье–Стокса». Архив для Rational Mechanics and Analysis 63.2 (1977): 107–153.
  9. ^ Беркер, Р. «Интеграция уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости. Handbuch der Physik». (1963).
  10. ^ Yih, CS (1959). Два решения для невязкого вращательного потока с угловыми вихрями. Журнал механики жидкости, 5(1), 36-40.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beltrami_flow&oldid=1242004813"