Поле векторов Бельтрами

В векторном исчислении векторное поле Бельтрами , названное в честь Эудженио Бельтрами , — это векторное поле в трех измерениях, параллельное своему собственному ротору . То есть, F — векторное поле Бельтрами при условии, что Ф × ( ∇ × Ф ) = 0. {\displaystyle \mathbf {F} \times (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}

Таким образом, и являются параллельными векторами, другими словами, . Ф {\displaystyle \mathbf {F} } ∇ × Ф {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ∇ × Ф = λ Ф {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\lambda \mathbf {F} }

Если является соленоидальным, то есть, если, например, для несжимаемой жидкости или магнитного поля, тождество становится и это приводит к и если мы далее предположим, что является константой, мы приходим к простой форме Ф {\displaystyle \mathbf {F} } ∇ ⋅ Ф = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0} ∇ × ( ∇ × Ф ) ≡ − ∇ 2 Ф + ∇ ( ∇ ⋅ Ф ) {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F}) \equiv -\nabla ^{2} \mathbf {F} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F})} ∇ × ( ∇ × Ф ) ≡ − ∇ 2 Ф {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F}) \equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} } − ∇ 2 Ф = ∇ × ( λ Ф ) {\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla \times (\lambda \mathbf {F})} λ {\displaystyle \лямбда} ∇ 2 Ф = − λ 2 Ф . {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =-\lambda ^{2}\mathbf {F} .}

Векторные поля Бельтрами с ненулевым ротором соответствуют евклидовым контактным формам в трех измерениях.

Векторное поле является кратным стандартной контактной структуре − z i  +  j и представляет собой пример векторного поля Бельтрами. Ф = − з 1 + з 2 я + 1 1 + з 2 дж {\displaystyle \mathbf {F} =- {\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {1}{\sqrt {1+z^ {2}}}}\mathbf {j} }  

Поля Бельтрами и механика жидкости

Поля Бельтрами с постоянным коэффициентом пропорциональности — это отдельная категория векторных полей, которые действуют как собственные функции оператора rot. По сути, это функции, которые отображают точки в трехмерном пространстве, либо в (евклидовом пространстве), либо на плоском торе , в другие точки в том же пространстве. Математически это можно представить как: Р 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} Т 3 {\displaystyle \mathbb {Т} ^{3}}

ты : Р 3 → Р 3 {\displaystyle u:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}} (для евклидова пространства) или (для плоского тора). ты : Т 3 → Т 3 {\displaystyle u:\mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {T} ^{3}}

Эти векторные поля уникальны из-за особой связи между ротором векторного поля и самим полем. Эту связь можно выразить с помощью следующего уравнения: ты {\displaystyle u}

∇ × ты = λ ты {\displaystyle \nabla \times u=\lambda u}

В этом уравнении — ненулевая константа, указывающая на то, что ротор векторного поля пропорционален самому полю. λ {\displaystyle \лямбда} ты {\displaystyle u}

Поля Бельтрами важны в гидродинамике, поскольку они предлагают классическое семейство стационарных решений уравнения Эйлера в трех измерениях. [1] Уравнения Эйлера описывают движение идеальной несжимаемой жидкости и могут быть записаны в виде системы двух уравнений:

{ ∂ ты ∂ т + ( ты ⋅ ∇ ) ты = − ∇ п , ∇ ⋅ ты = 0. {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}+(u\cdot \nabla )u=-\nabla p,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}} Для стационарных течений, где поле скорости не меняется со временем, т.е. , можно ввести функцию Бернулли , , и завихренность , . Эти новые переменные упрощают уравнения Эйлера в следующую систему: ты {\displaystyle u} ∂ ты ∂ т = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0} Б := п + 1 2 ‖ ты ‖ 2 {\displaystyle B:=p+{\frac {1}{2}}\lVert u\rVert ^{2}} ω := ∇ × ты {\displaystyle \omega :=\nabla \times u}

{ ты × ω = ∇ Б , ∇ ⋅ ты = 0. {\displaystyle {\begin{cases}u\times \omega =\nabla B,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}} Упрощение возможно благодаря векторному тождеству , которое связывает конвективный член с градиентом кинетической энергии и векторным произведением поля скорости и его ротора: ( ты ⋅ ∇ ) ты {\ displaystyle (u \ cdot \ nabla) u}

( ты ⋅ ∇ ) ты = 1 2 ∇ ‖ ты ‖ 2 − ты × ( ∇ × ты ) {\displaystyle (u\cdot \nabla) u = {\frac {1}{2}} \nabla \lVert u\rVert ^{2}-u\times (\nabla \times u)}

Когда функция Бернулли постоянна, поля Бельтрами становятся допустимыми решениями упрощенных уравнений Эйлера. Обратите внимание, что нам не нужно, чтобы коэффициент пропорциональности был постоянным, чтобы доказательство работало. Б {\displaystyle Б}

Поля Бельтрами и сложность в механике жидкости

Поля Бельтрами тесно связаны с лагранжевой турбулентностью, как показано в работах В.И. Арнольда о стационарных потоках Эйлера. [2] [3]

«Гипотеза» Арнольда

Цитата Арнольда из его вышеупомянутой работы подчеркивает вероятную сложную топологию линий тока в полях Бельтрами, проводя параллели с небесной механикой:

Вероятно, что écoulements tels que гниют , ont des lignes de Courant à la Topologie Compliquée. Осложнения возникают в небесной механике. Топология курантных линий стационарных жидкостных жидкостей может быть похожа на механическую ячейку. ν = λ ν {\displaystyle \nu =\lambda \nu } λ = С т е {\displaystyle \lambda =Cte}

Предлагаемые решения

Недавняя статья [4] демонстрирует, что поля Бельтрами демонстрируют хаотические области и инвариантные торы сложных топологий с высокой вероятностью. Анализ включает асимптотические оценки для числа подков , нулей и заузленных инвариантных торов, наряду с периодическими траекториями в гауссовых случайных полях Бельтрами.

Смотрите также

Библиография

  • Арис, Резерфорд (1989), Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости , Довер, ISBN 0-486-66110-5
  • Лахтакия, Ахлеш (1994), Поля Бельтрами в киральных средах , World Scientific, ISBN 981-02-1403-0
  • Этнир, Дж.; Грист, Р. (2000), «Контактная топология и гидродинамика. I. Поля Бельтрами и гипотеза Зейферта», Нелинейность , 13 (2): 441– 448, Bibcode : 2000Nonli..13..441E, doi : 10.1088/0951-7715/13/2/306.

Ссылки

  1. ^ Топологические методы в гидродинамике. doi :10.1007/978-3-030-74278-2.
  2. ^ Арнольд, Владимир (1966). «Sur la géométrie différentielle des groups de Lie de size infinie et ses application à l'гидродинамика жидкостей парфе». Анналы Института Фурье . 16 (1): 319–361 . doi : 10.5802/aif.233 . ISSN  1777-5310.
  3. ^ Арнольд, Владимир И. (2014), Арнольд, Владимир И.; Гивенталь, Александр Б.; Хесин Борис А.; Варченко, Александр Н. (ред.), «Sur la topologie des écoulements Stationnaires de Fludes Parfaits», Владимир И. Арнольд - Собрание сочинений: гидродинамика, теория бифуркаций и алгебраическая геометрия 1965–1972 , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр.  15–18 , дои :10.1007/978-3-642-31031-7_3, ISBN 978-3-642-31031-7, получено 2023-05-01
  4. ^ Энсисо, Альберто; Перальта-Салас, Даниэль; Романьега, Альваро (2023). «Поля Бельтрами почти наверняка демонстрируют узлы и хаос». Форум математики, Sigma . 11. arXiv : 2006.15033 . doi : 10.1017/fms.2023.52 . ISSN  2050-5094.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beltrami_vector_field&oldid=1202487563"