Уравнение Хикса

В гидродинамике уравнение Хикса , иногда также называемое уравнением Брэгга–Хоторна или уравнением Сквайра–Лонга , представляет собой уравнение в частных производных, которое описывает распределение функции тока для осесимметричной невязкой жидкости, названное в честь Уильяма Митчинсона Хикса , который впервые вывел его в 1898 году. [1] [2] [3] Уравнение также было повторно выведено Стивеном Брэггом и Уильямом Хоторном в 1950 году, Робертом Р. Лонгом в 1953 году и Гербертом Сквайром в 1956 году. [4] [5] [6] Уравнение Хикса без завихрения было впервые введено Джорджем Габриэлем Стоксом в 1842 году. [7] [8] Уравнение Грэда –Шафранова, появляющееся в физике плазмы, также принимает ту же форму, что и уравнение Хикса.

Представляя в виде координат в смысле цилиндрической системы координат с соответствующими компонентами скорости потока, обозначенными как , функцию тока , определяющую меридиональное движение, можно определить как ( г , θ , з ) {\displaystyle (r,\theta ,z)} ( в г , в θ , в з ) {\displaystyle (v_{r},v_{\theta },v_{z})} ψ {\displaystyle \пси}

г в г = − ∂ ψ ∂ з , г в з = ∂ ψ ∂ г {\displaystyle rv_{r}=-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad rv_{z}={\frac {\partial \psi }{\partial r}}}

что автоматически удовлетворяет уравнению непрерывности для осесимметричных потоков. Уравнение Хикса тогда задается как [9]

∂ 2 ψ ∂ г 2 − 1 г ∂ ψ ∂ г + ∂ 2 ψ ∂ з 2 = г 2 г ЧАС г ψ − Г г Г г ψ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}}

где

ЧАС ( ψ ) = п ρ + 1 2 ( в г 2 + в θ 2 + в з 2 ) , Г ( ψ ) = г в θ {\displaystyle H(\psi)={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2} +v_{z}^{2}),\quad \Gamma (\psi )=rv_{\theta }}

где — полный напор, см. принцип Бернулли . и — циркуляция , обе они сохраняются вдоль линий тока. Здесь — давление, а — плотность жидкости. Функции и — известные функции, обычно заданные на одной из границ; см. пример ниже. Если внутри области жидкости есть замкнутые линии тока, скажем, область рециркуляции, то функции и обычно неизвестны, и поэтому в этих областях уравнение Хикса бесполезно; теорема Прандтля–Бэтчелора дает подробную информацию о замкнутых областях линий тока. ЧАС ( ψ ) {\displaystyle H(\psi)} 2 π Г {\displaystyle 2\пи \Гамма} п {\displaystyle p} ρ {\displaystyle \ро} ЧАС ( ψ ) {\displaystyle H(\psi)} Г ( ψ ) {\displaystyle \Гамма (\psi)} ЧАС ( ψ ) {\displaystyle H(\psi)} Г ( ψ ) {\displaystyle \Гамма (\psi)}

Вывод

Рассмотрим осесимметричный поток в цилиндрической системе координат с компонентами скорости и компонентами завихренности . Поскольку в осесимметричных потоках компоненты завихренности равны ( г , θ , з ) {\displaystyle (r,\theta ,z)} ( в г , в θ , в з ) {\displaystyle (v_{r},v_{\theta },v_{z})} ( ω г , ω θ , ω з ) {\displaystyle (\omega _{r},\omega _{\theta },\omega _{z})} ∂ / ∂ θ = 0 {\displaystyle \partial /\partial \theta =0}

ω г = − ∂ в θ ∂ з , ω θ = ∂ в г ∂ з − ∂ в з ∂ г , ω з = 1 г ∂ ( г в θ ) ∂ г {\displaystyle \omega _{r}=-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}},\quad \omega _{\theta }={\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}},\quad \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv_{\theta })}{\partial r}}} .

Уравнение непрерывности позволяет определить функцию потока таким образом, что ψ ( г , з ) {\displaystyle \psi (r,z)}

в г = − 1 г ∂ ψ ∂ з , в з = 1 г ∂ ψ ∂ г {\displaystyle v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad v_{z}={\frac {1}{r }}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}

(Обратите внимание, что компоненты вихреобразования и связаны с точно таким же образом, как и связаны с ). Поэтому азимутальный компонент вихреобразования становится ω г {\displaystyle \omega _{r}} ω з {\displaystyle \omega _{z}} г в θ {\displaystyle rv_{\theta }} в г {\displaystyle v_{r}} в з {\displaystyle v_{z}} ψ {\displaystyle \пси}

ω θ = − 1 г ( ∂ 2 ψ ∂ г 2 − 1 г ∂ ψ ∂ г + ∂ 2 ψ ∂ з 2 ) . {\displaystyle \omega _{\theta }=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right).}


Уравнения невязкого импульса , где — постоянная Бернулли, — давление жидкости, а — плотность жидкости, записанные для осесимметричного поля течения, принимают вид ∂ в / ∂ т − в × ω = − ∇ ЧАС {\displaystyle \partial {\boldsymbol {v}}/\partial t-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}=-\nabla H} H = 1 2 ( v r 2 + v θ 2 + v z 2 ) + p ρ {\displaystyle H={\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2})+{\frac {p}{\rho }}} p {\displaystyle p} ρ {\displaystyle \rho }

v θ ω z − v z ω θ − ∂ v r ∂ t = ∂ H ∂ r , v z ω r − v r ω z − ∂ v θ ∂ t = 0 , v r ω θ − v θ ω r − ∂ v z ∂ t = ∂ H ∂ z {\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\omega _{z}-v_{z}\omega _{\theta }-{\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial r}},\\v_{z}\omega _{r}-v_{r}\omega _{z}-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}&=0,\\v_{r}\omega _{\theta }-v_{\theta }\omega _{r}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial z}}\end{aligned}}}

в котором второе уравнение может быть также записано как , где - материальная производная . Это подразумевает, что циркуляция вокруг материальной кривой в форме окружности с центром на оси является постоянной. D ( r v θ ) / D t = 0 {\displaystyle D(rv_{\theta })/Dt=0} D / D t {\displaystyle D/Dt} 2 π r v θ {\displaystyle 2\pi rv_{\theta }} z {\displaystyle z}

Если движение жидкости установившееся, то частица жидкости движется вдоль линии тока, другими словами, она движется по поверхности, заданной константой. Отсюда следует, что и , где . Поэтому радиальная и азимутальная компоненты завихренности равны ψ = {\displaystyle \psi =} H = H ( ψ ) {\displaystyle H=H(\psi )} Γ = Γ ( ψ ) {\displaystyle \Gamma =\Gamma (\psi )} Γ = r v θ {\displaystyle \Gamma =rv_{\theta }}

ω r = v r d Γ d ψ , ω z = v z d Γ d ψ {\displaystyle \omega _{r}=v_{r}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }},\quad \omega _{z}=v_{z}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}} .

Компоненты и локально параллельны. Вышеуказанные выражения можно подставить в уравнения радиального или осевого импульса (после удаления члена производной по времени) для решения для . Например, подстановка вышеприведенного выражения для в уравнение осевого импульса приводит к [9] v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} ω θ {\displaystyle \omega _{\theta }} ω r {\displaystyle \omega _{r}}

ω θ r = v θ ω r r v r + 1 r v r d H d ψ ∂ ψ ∂ z = Γ r 2 d Γ d ψ − d H d ψ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\omega _{\theta }}{r}}&={\frac {v_{\theta }\omega _{r}}{rv_{r}}}+{\frac {1}{rv_{r}}}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {\Gamma }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}.\end{aligned}}}

Но может быть выражено в терминах , как показано в начале этого вывода. Когда выражается в терминах , мы получаем ω θ {\displaystyle \omega _{\theta }} ψ {\displaystyle \psi } ω θ {\displaystyle \omega _{\theta }} ψ {\displaystyle \psi }

∂ 2 ψ ∂ r 2 − 1 r ∂ ψ ∂ r + ∂ 2 ψ ∂ z 2 = r 2 d H d ψ − Γ d Γ d ψ . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}.}

Это завершает требуемый вывод.

Пример: Жидкость с равномерной осевой скоростью и вращением твердого тела далеко вверх по течению

Рассмотрим задачу, в которой жидкость в дальнем потоке имеет равномерную осевую скорость и вращается с угловой скоростью . Это движение вверх по потоку соответствует U {\displaystyle U} Ω {\displaystyle \Omega }

ψ = 1 2 U r 2 , Γ = Ω r 2 , H = 1 2 U 2 + Ω 2 r 2 . {\displaystyle \psi ={\frac {1}{2}}Ur^{2},\quad \Gamma =\Omega r^{2},\quad H={\frac {1}{2}}U^{2}+\Omega ^{2}r^{2}.}

Из них мы получаем

H ( ψ ) = 1 2 U 2 + 2 Ω 2 U ψ , Γ ( ψ ) = 2 Ω U ψ {\displaystyle H(\psi )={\frac {1}{2}}U^{2}+{\frac {2\Omega ^{2}}{U}}\psi ,\qquad \Gamma (\psi )={\frac {2\Omega }{U}}\psi }

указывая, что в этом случае и являются простыми линейными функциями . Само уравнение Хикса становится H {\displaystyle H} Γ {\displaystyle \Gamma } ψ {\displaystyle \psi }

∂ 2 ψ ∂ r 2 − 1 r ∂ ψ ∂ r + ∂ 2 ψ ∂ z 2 = 2 Ω 2 U r 2 − 4 Ω 2 U 2 ψ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {2\Omega ^{2}}{U}}r^{2}-{\frac {4\Omega ^{2}}{U^{2}}}\psi }

который при введении становится ψ ( r , z ) = U r 2 / 2 + r f ( r , z ) {\displaystyle \psi (r,z)=Ur^{2}/2+rf(r,z)}

∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r ∂ f ∂ r + ∂ 2 f ∂ z 2 + ( k 2 − 1 r 2 ) f = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}+\left(k^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\right)f=0}

где . k = 2 Ω / U {\displaystyle k=2\Omega /U}

Уравнение Йих

Для несжимаемого потока , но с переменной плотностью, Чиа-Шун Йих вывел необходимое уравнение. Поле скорости сначала преобразуется с помощью преобразования Йиха D ρ / D t = 0 {\displaystyle D\rho /Dt=0}

( v r ′ , v θ ′ , v z ′ ) = ρ ρ 0 ( v r , v θ , v z ) {\displaystyle (v_{r}',v_{\theta }',v_{z}')={\sqrt {\frac {\rho }{\rho _{0}}}}(v_{r},v_{\theta },v_{z})}

где — некоторая опорная плотность, с соответствующей функцией потока Стокса, определенной таким образом, что ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} ψ ′ {\displaystyle \psi '}

r v r ′ = − ∂ ψ ′ ∂ z , r v z ′ = ∂ ψ ′ ∂ r . {\displaystyle rv_{r}'=-{\frac {\partial \psi '}{\partial z}},\quad rv_{z}'={\frac {\partial \psi '}{\partial r}}.}

Включим гравитационную силу, действующую в отрицательном направлении. Тогда уравнение Yih будет иметь вид [10] [11] z {\displaystyle z}

∂ 2 ψ ′ ∂ r 2 − 1 r ∂ ψ ′ ∂ r + ∂ 2 ψ ′ ∂ z 2 = r 2 d H d ψ ′ − r 2 d ρ d ψ ′ g ρ 0 z − Γ d Γ d ψ ′ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi '}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi '}}-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \psi '}}{\frac {g}{\rho _{0}}}z-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi '}}}

где

H ( ψ ′ ) = p ρ 0 + ρ 2 ρ 0 ( v r ′ 2 + v θ ′ 2 + v z ′ 2 ) + ρ ρ 0 g z , Γ ( ψ ′ ) = r v θ ′ {\displaystyle H(\psi ')={\frac {p}{\rho _{0}}}+{\frac {\rho }{2\rho _{0}}}(v_{r}'^{2}+v_{\theta }'^{2}+v_{z}'^{2})+{\frac {\rho }{\rho _{0}}}gz,\quad \Gamma (\psi ')=rv_{\theta }'}

Ссылки

  1. ^ Хикс, В. М. (1898). Исследования вихревого движения. Часть III. О спиральных или гиростатических вихревых агрегатах. Труды Лондонского королевского общества, 62(379–387), 332–338. https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspl.1897.0119
  2. ^ Хикс, В. М. (1899). II. Исследования вихревого движения. — Часть III. О спиральных или гиростатических вихревых агрегатах. Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера, (192), 33–99. https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rsta.1899.0002
  3. ^ Смит, СГЛ и Хаттори, И. (2012). Осесимметричные магнитные вихри с завихрением. Сообщения по нелинейной науке и численному моделированию, 17(5), 2101–2107.
  4. ^ Брэгг, С. Л. и Хоуторн, В. Р. (1950). Некоторые точные решения потока через кольцевые каскадные приводные диски. Журнал аэронавтических наук, 17(4), 243–249
  5. ^ Лонг, Р. Р. (1953). Устойчивое движение вокруг симметричного препятствия, движущегося вдоль оси вращающейся жидкости. Журнал метеорологии, 10(3), 197–203.
  6. ^ Сквайр, Х. Б. (1956). Вращающиеся жидкости. Обзоры по механике. Сборник обзоров современного положения исследований в некоторых отраслях механики, написанных в память о 70-летии Джеффри Ингрэма Тейлора, ред. Г. К. Батчелор и Р. М. Дэвис. 139–169
  7. ^ Стокс, Г. (1842). Об устойчивом движении несжимаемых жидкостей Trans. Camb. Phil. Soc. VII, 349.
  8. ^ Лэмб, Х. (1993). Гидродинамика. Издательство Кембриджского университета.
  9. ^ ab Batchelor, GK (1967). Введение в динамику жидкости. Раздел 7.5. Cambridge university press. Раздел 7.5, стр. 543-545
  10. ^ Yih, CS (2012). Стратифицированные потоки. Elsevier.
  11. ^ Yih, CS (1991). О стратифицированных потоках в гравитационном поле. В избранных работах Чиа-Шун Йи: (В 2-х томах) (стр. 13-21).
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hicks_equation&oldid=1172547780"