Вспомогательное нормированное пространство

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Апрель 2020 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В функциональном анализе , разделе математики, два метода построения нормированных пространств из дисков систематически применялись Александром Гротендиком для определения ядерных операторов и ядерных пространств . ^[1] Один метод используется, если диск ограничен: в этом случае вспомогательное нормированное пространство имеет норму Другой метод используется, если диск поглощающий : в этом случае вспомогательное нормированное пространство является факторпространством Если диск одновременно ограничен и поглощает, то два вспомогательных нормированных пространства канонически изоморфны (как топологические векторные пространства и как нормированные пространства ).${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$$${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r.}$$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X/p_{D}^{-1}(0).}$

В этой статье будет вещественное или комплексное векторное пространство (не обязательно TVS, пока) и будет диском в${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X.}$

Пусть будет вещественным или комплексным векторным пространством. Для любого подмножества функционала Минковского , определяемого формулой :${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle D}$

• Если тогда определить как тривиальное отображение ^[2] и будет предполагаться, что ^{[примечание 1]}${\displaystyle D=\varничего_не_существующего }$${\displaystyle p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\infty )}$${\displaystyle p_{\varnothing}=0}$${\displaystyle \operatorname {span} \varnothing =\{0\}.}$
• Если и если поглощает в , то обозначим функционал Минковского от в через , где для всего этого определяется как${\displaystyle D\neq \varnothing}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$$${\displaystyle p_{D}:\operatorname {span} D\to [0,\infty )}$$${\displaystyle x\in \operatorname {span} D,}$$${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{}\{r:x\in rD,r>0\}.}$$

Пусть будет вещественным или комплексным векторным пространством. Для любого подмножества такого , что функционал Минковского является полунормой на пусть обозначает что называется полунормированным пространством, индуцированным где если является нормой, то оно называется нормированным пространством , индуцированным${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle \operatorname {span} D,}$${\displaystyle X_{D}}$$${\displaystyle X_{D}:=\left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)}$$${\displaystyle D,}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle Д.}$

Предположение ( топология ): наделено топологией полунормы, индуцированной которой, будет обозначаться как или${\displaystyle X_{D}=\operatorname {span} D}$${\displaystyle p_{D},}$${\displaystyle \тау _{D}}$${\displaystyle \tau _{p_{D}}}$

Важно, что эта топология полностью вытекает из множества алгебраической структуры и обычной топологии на (поскольку определяется с использованием только множества и скалярного умножения). Это оправдывает изучение банаховых дисков и является одной из причин, по которой они играют важную роль в теории ядерных операторов и ядерных пространств .${\displaystyle D,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle D}$

Карта включения называется канонической картой . ^[1]${\displaystyle \operatorname {В} _{D}:X_{D}\to X}$

Предположим, что является диском. Тогда так что поглощает в линейной оболочке Множество всех положительных скалярных кратных образует базис окрестностей в начале координат для локально выпуклой топологической топологии векторного пространства на Функционал Минковского диска в гарантирует, что является корректно определенным и образует полунорму на ^[3] Локально выпуклая топология, индуцированная этой полунормой, является топологией , которая была определена ранее.${\displaystyle D}$${\textstyle \operatorname {span} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D,}$${\displaystyle Д.}$${\displaystyle \{rD:r>0\}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \тау _{D}}$${\displaystyle \operatorname {span} D.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle \operatorname {span} D.}$${\displaystyle \тау _{D}}$

Ограниченный диск в топологическом векторном пространстве, такой что является банаховым пространством, называется банаховым диском , инфраполным или ограниченным комплетантом в ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle X.}$

Если будет показано, что является банаховым пространством, то будет банаховым диском в любом TVS, содержащем в качестве ограниченного подмножества.${\displaystyle \left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

Это происходит потому, что функционал Минковского определяется в чисто алгебраических терминах. Следовательно, вопрос о том, образует ли он банахово пространство, зависит только от диска и функционала Минковского , а не от какой-либо конкретной топологии TVS, которая может нести. Таким образом, требование, чтобы банахов диск в TVS был ограниченным подмножеством, является единственным свойством, которое связывает топологию банахова диска с топологией содержащего его TVS${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p_{D},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Ограниченные диски

Следующий результат объясняет, почему банаховы диски должны быть ограниченными.

Хаусдорфовость

Пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда является нормой, что происходит тогда и только тогда, когда не содержит нетривиального векторного подпространства. ^[6] В частности, если существует хаусдорфова топология TVS на такая, что ограничена в , то является нормой. Пример, где не является хаусдорфовым, получается, если положить и положить -ось .${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$

Конвергенция сетей

Предположим, что — диск в , такой что является хаусдорфовым, и пусть — сеть в Тогда в тогда и только тогда, когда существует сеть действительных чисел такая, что и для всех ; более того, в этом случае без потери общности будет предполагаться, что для всех${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X_{D}.}$${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle r_{\bullet }\to 0}$${\displaystyle x_{i}\in r_{i}D}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r_{i}\geq 0}$${\displaystyle i.}$

Связь между дисковыми пространствами

Если , то и далее так определим следующее непрерывное ^[5] линейное отображение:${\displaystyle C\subseteq D\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {span} C\subseteq \operatorname {span} D}$${\displaystyle p_{D}\leq p_{C}}$${\displaystyle \operatorname {span} C,}$

Если и являются дисками в то назовем отображение включения каноническим включением в${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C\subseteq D}$${\displaystyle \operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}}$${\displaystyle X_{C}}$${\displaystyle X_{D}.}$

В частности, топология подпространства, которая наследуется от , слабее топологии полунормы . ^[5]${\displaystyle \operatorname {span} C}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle \left(X_{C},p_{C}\right)}$

Диск как замкнутый единичный шар

Диск является замкнутым подмножеством тогда и только тогда, когда является замкнутым единичным шаром полунормы ; то есть, ${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.}$

Если — диск в векторном пространстве и если существует топология TVS на , такая, что — замкнутое и ограниченное подмножество , то — замкнутый единичный шар (то есть ) (см. сноску для доказательства). ^{[примечание 2]}${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \operatorname {span} D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(\operatorname {span} D,\tau \right),}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$

Следующая теорема может быть использована для установления того, что является банаховым пространством. Как только это установлено, будет банаховым диском в любом TVS, в котором ограничено.${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

Обратите внимание, что даже если — не ограниченное и последовательно полное подмножество любого хаусдорфова TVS, можно все равно заключить, что — банахово пространство, применив эту теорему к некоторому диску, удовлетворяющему условию , поскольку${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$$${\displaystyle p_{D}=p_{K}.}$

Ниже приведены следствия из вышеприведенной теоремы:

• Последовательно полный ограниченный диск в хаусдорфовом TVS является банаховым диском. ^[5]
• Любой диск в хаусдорфовом TVS, который является полным и ограниченным (например, компактным), является банаховым диском. ^[8]
• Замкнутый единичный шар в пространстве Фреше является последовательно полным и, таким образом, является банаховым диском. ^[5]

Предположим, что это ограниченный диск в TVS${\displaystyle D}$${\displaystyle X.}$

• Если — непрерывное линейное отображение и — банахов диск, то — банахов диск и индуцирует изометрический TVS-изоморфизм${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)}$${\displaystyle Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatorname {ker} L\right).}$

Пусть будет TVS и пусть будет ограниченным диском в${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X.}$

Если — ограниченный банахов диск в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве и если — бочка в , то поглощает (то есть существует число такое, что ^[4]${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle D\subseteq rT.}$

Если — выпуклая сбалансированная замкнутая окрестность начала координат в , то совокупность всех окрестностей , где пробегает положительные действительные числа, индуцирует топологическую топологию векторного пространства на Когда имеет эту топологию, она обозначается как Поскольку эта топология не обязательно хаусдорфова или полная, пополнение хаусдорфова пространства обозначается как так что — полное хаусдорфово пространство и — норма на этом пространстве, превращающая его в банахово пространство. Поляра — слабо компактный ограниченный равностепенно непрерывный диск в и, следовательно, является инфраполной.${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle rU,}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{U}.}$${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r}$${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U^{\circ },}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Если — метризуемое локально выпуклое TVS, то для любого ограниченного подмножества из существует ограниченный диск в такой, что и оба и индуцируют одну и ту же топологию подпространства на ^[5]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle B.}$

Предположим, что является топологическим векторным пространством и является выпуклым сбалансированным и радиальным множеством. Тогда является базисом соседства в начале координат для некоторой локально выпуклой топологии на Эта топология TVS задается функционалом Минковского, образованным с помощью которого является полунормой на , определяемой Топология является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда является нормой, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда или, что эквивалентно, для чего достаточно, чтобы было ограничено в Топология не обязательно должна быть хаусдорфовой, но является хаусдорфовой. Норма на задается как где это значение фактически не зависит от представителя выбранного класса эквивалентности. Нормированное пространство обозначается как , а его пополнение обозначается как${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}}$${\displaystyle \tau _{V}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau _{V}}$${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r.}$${\displaystyle \tau _{V}}$${\displaystyle p_{V}}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau _{V}}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle \left\|x+X/p_{V}^{-1}(0)\right\|:=p_{V}(x),}$${\displaystyle x+X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle \left(X/p_{V}^{-1}(0),\|\cdot \|\right)}$${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle {\overline {X_{V}}}.}$

Если в дополнение ограничено в , то полунорма является нормой, так что, в частности, в этом случае мы берем в качестве векторного пространства вместо , так что обозначение является однозначным ( обозначает ли пространство, индуцированное радиальным диском, или пространство, индуцированное ограниченным диском). ^[1]${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}.}$${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/\{0\}}$${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle X_{V}}$

Факторная топология ( унаследованная от исходной топологии ) тоньше (в общем случае, строго тоньше), чем топология нормы.${\displaystyle \tau _{Q}}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle X}$

Каноническое отображение — это факторное отображение , которое непрерывно, когда имеет либо топологию нормы, либо топологию фактора. ^[1]${\displaystyle q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),}$${\displaystyle X_{V}}$

Если и являются радиальными дисками, такими что , то существует непрерывное линейное сюръективное каноническое отображение, определяемое путем отправки в класс эквивалентности , где можно проверить, что определение не зависит от выбранного представителя класса эквивалентности . ^[1] Это каноническое отображение имеет норму ^[1] и имеет единственное непрерывное линейное каноническое расширение, которое обозначается как${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U\subseteq V}$${\displaystyle p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}}$${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{U}^{-1}(0)}$${\displaystyle x+p_{V}^{-1}(0),}$${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)}$${\displaystyle \,\leq 1}$${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$${\displaystyle {\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.}$

Предположим, что в дополнение и являются ограниченными дисками в с так, что и включение является непрерывным линейным отображением. Пусть и будут каноническими отображениями. Тогда и ^[1]${\displaystyle B\neq \varnothing }$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle X_{B}\subseteq X_{C}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,}$${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}}$${\displaystyle q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.}$

Предположим, что — ограниченный радиальный диск. Так как — ограниченный диск, то если то мы можем создать вспомогательное нормированное пространство с нормой ; так как — радиальный, Так как — радиальный диск, то мы можем создать вспомогательное полунормированное пространство с полунормой ; так как — ограниченный, то эта полунорма является нормой и так Таким образом, в этом случае два вспомогательных нормированных пространства, полученные этими двумя различными методами, приводят к одному и тому же нормированному пространству.${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D:=S}$${\displaystyle X_{D}=\operatorname {span} D}$${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X_{S}=X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V:=S}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=X/\{0\}=X.}$

Предположим, что является слабо замкнутым равностепенно непрерывным диском в (это означает, что является слабо компактным), и пусть будет полярой Поскольку по биполярной теореме следует, что непрерывный линейный функционал принадлежит тогда и только тогда, когда принадлежит непрерывному сопряженному пространству, где есть функционал Минковского от, определенный формулой ^[9]${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle H}$$${\displaystyle U:=H^{\circ }=\{x\in X:|h(x)|\leq 1{\text{ for all }}h\in H\}}$$${\displaystyle H.}$${\displaystyle U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X_{H}^{\prime }=\operatorname {span} H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(X,p_{U}\right),}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r.}$

Диск в ТВС называется инфраборноядным ^[5], если он поглощает все банаховы диски.

Линейное отображение между двумя TVS называется инфраограниченным ^[5], если оно отображает банаховы диски в ограниченные диски.

Последовательность в TVS называется быстро сходящейся ^[5] к точке, если существует банахов диск такой, что и последовательность (в конечном итоге) содержится в и в${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right).}$

Каждая быстро сходящаяся последовательность является сходящейся по Макки . ^[5]

• Борнологическое пространство  – пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Ядерный оператор  – Линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами
• Ядерное пространство  – обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
• Начальная топология  – грубейшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
• Проективное тензорное произведение  – тензорное произведение, определенное на двух топологических векторных пространствахPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое векторное пространство Шварца  – топологическое векторное пространство, окрестности начала координат которого обладают свойством, аналогичным определению вполне ограниченных подмножеств.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Тензорное произведение гильбертовых пространств  – Пространство тензорного произведения, наделенное специальным внутренним произведением
• Топологическое тензорное произведение  – Конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств
• Ультраборнологическое пространство

• Burzyk, Józef; Gilsdorf, Thomas E. (1995). "Некоторые замечания о сходимости Макки" (PDF) . International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences . 18 (4). Hindawi Limited: 659–664. doi : 10.1155/s0161171295000846 . ISSN  0161-1712.
• Diestel, Joe (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Том 16. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 9781470424831. OCLC  185095773.
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Конспект лекций по математике . Том. 720. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09504-0. OCLC  5126156.
• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском). 16. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR  0075539. OCLC  1315788.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . North-Holland Mathematics Studies. Том 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и конядерные пространства: вводный курс по ядерным и конядерным пространствам в свете дуальности «топология-борнология» . North-Holland Mathematics Studies. Том 52. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC  316564345.
• Хусайн, Такдир; Халилулла, SM (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Райан, Рэймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Springer Monographs in Mathematics. Лондон, Нью-Йорк: Springer . ISBN 978-1-85233-437-6. OCLC  48092184.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 726. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.

• Ядерное пространство в ncatlab