Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
Обобщение ограниченности

В функциональном анализе и смежных областях математики множество в топологическом векторном пространстве называется ограниченным или ограниченным по фон Нейману , если каждая окрестность нулевого вектора может быть расширена так , чтобы включить множество. Множество, которое не ограничено, называется неограниченным .

Ограниченные множества являются естественным способом определения локально выпуклых полярных топологий на векторных пространствах в двойственной паре , поскольку полярное множество ограниченного множества является абсолютно выпуклым и поглощающим множеством . Это понятие было впервые введено Джоном фон Нейманом и Андреем Колмогоровым в 1935 году .

Определение

Предположим, что есть топологическое векторное пространство (TVS) над полем Х {\displaystyle X} К . {\displaystyle \mathbb {К} .}

Подмножество называется ограниченным по фон Нейману или просто ограниченным в , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: Б {\displaystyle Б} Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X}

  1. Определение : Для каждой окрестности начала отсчета существует действительное число такое, что [примечание 1] для всех скаляров, удовлетворяющих [1] В {\displaystyle V} г > 0 {\displaystyle r>0} Б ⊆ с В {\displaystyle B\subseteq sV} с {\displaystyle с} | с | ≥ г . {\displaystyle |s|\geq r.}
  2. Б {\displaystyle Б} поглощается каждой окрестностью источника. [2 ]
  3. Для каждой окрестности начала координат существует скаляр такой, что В {\displaystyle V} с {\displaystyle с} Б ⊆ с В . {\displaystyle B\subseteq sV.}
  4. Для каждой окрестности начала координат существует действительное число такое, что для всех скаляров, удовлетворяющих [1] В {\displaystyle V} г > 0 {\displaystyle r>0} с Б ⊆ В {\displaystyle sB\subseteq V} с {\displaystyle с} | с | ≤ г . {\displaystyle |s|\leq r.}
  5. Для каждой окрестности начала координат существует действительное число такое, что для всех действительных чисел [3] В {\displaystyle V} г > 0 {\displaystyle r>0} т Б ⊆ В {\displaystyle tB\subseteq V} 0 < т ≤ г . {\displaystyle 0<t\leq r.}
  6. Любое из утверждений (1)–(5) выше, но со словом «окрестность» вместо одного из следующих: « сбалансированная окрестность», «открытая сбалансированная окрестность», «закрытая сбалансированная окрестность», «открытая окрестность», «закрытая окрестность».
    • например, утверждение (2) может быть следующим: ограничено тогда и только тогда, когда поглощается каждой сбалансированной окрестностью начала координат. [1] Б {\displaystyle Б} Б {\displaystyle Б}
    • Если локально выпукло , то прилагательное «выпуклый» можно также добавить к любой из этих 5 замен. Х {\displaystyle X}
  7. Для каждой последовательности скаляров , которая сходится к и каждая последовательность в последовательности сходится к в [1] с 1 , с 2 , с 3 , … {\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots } 0 {\displaystyle 0} б 1 , б 2 , б 3 , … {\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots } Б , {\displaystyle Б,} с 1 б 1 , с 2 б 2 , с 3 б 3 , … {\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots } 0 {\displaystyle 0} Х . {\displaystyle X.}
    • Это определение «ограниченного» использовал Андрей Колмогоров в 1934 году, что совпадает с определением, введенным Станиславом Мазуром и Владиславом Орличем в 1933 году для метризуемых TVS. Колмогоров использовал это определение, чтобы доказать, что TVS является полунормируемым тогда и только тогда, когда у него есть ограниченная выпуклая окрестность начала координат. [1]
  8. Для каждой последовательности в последовательности сходится к в [4] б 1 , б 2 , б 3 , … {\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots } Б , {\displaystyle Б,} ( 1 я б я ) я = 1 ∞ {\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} 0 {\displaystyle 0} Х . {\displaystyle X.}
  9. Каждое счетное подмножество ограничено (согласно любому определяющему условию, отличному от этого). [1] Б {\displaystyle Б}

Если в качестве исходной базы используется район , то этот список можно расширить, включив в него: Б {\displaystyle {\mathcal {B}}} Х {\displaystyle X}

  1. Любое из утверждений (1)–(5) выше, но с районами, ограниченными теми, которые принадлежат Б . {\displaystyle {\mathcal {B}}.}
    • например, утверждение (3) может стать: для каждого существует скаляр такой, что В ∈ Б {\displaystyle V\in {\mathcal {B}}} с {\displaystyle с} Б ⊆ с В . {\displaystyle B\subseteq sV.}

Если — локально выпуклое пространство, топология которого определяется семейством непрерывных полунорм , то этот список можно расширить, включив в него: Х {\displaystyle X} П {\displaystyle {\mathcal {P}}}

  1. п ( Б ) {\displaystyle p(B)} ограничено для всех [1] п ∈ П . {\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}
  2. Существует последовательность ненулевых скаляров, такая что для каждой последовательности в последовательность ограничена (согласно любому определяющему условию, отличному от этого). [1] с 1 , с 2 , с 3 , … {\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots } б 1 , б 2 , б 3 , … {\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots } Б , {\displaystyle Б,} б 1 с 1 , б 2 с 2 , б 3 с 3 , … {\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots } Х {\displaystyle X}
  3. Поскольку все ограничено (согласно любому определяющему условию, отличному от этого) в полунормированном пространстве п ∈ П , {\displaystyle p\in {\mathcal {P}},} Б {\displaystyle Б} ( Х , п ) . {\displaystyle (X,p).}
  4. B слабо ограничен, т.е. каждый непрерывный линейный функционал ограничен на B [5]

Если — нормированное пространство с нормой (или, в более общем смысле, если это полунормированное пространство и является просто полунормой ), [примечание 2], то этот список можно расширить, включив: Х {\displaystyle X} ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|}

  1. Б {\displaystyle Б} является ограниченным по норме подмножеством По определению это означает, что существует действительное число такое, что для всех [1] ( Х , ‖ ⋅ ‖ ) . {\displaystyle (X,\|\cdot \|).} r > 0 {\displaystyle r>0} ‖ b ‖ ≤ r {\displaystyle \|b\|\leq r} b ∈ B . {\displaystyle b\in B.}
  2. sup b ∈ B ‖ b ‖ < ∞ . {\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}
    • Таким образом, если — линейное отображение между двумя нормированными (или полунормированными) пространствами и если — замкнутый (альтернативно, открытый) единичный шар в с центром в начале координат, то — ограниченный линейный оператор (что, напомним, означает, что его операторная норма конечна) тогда и только тогда, когда образ этого шара под является ограниченным по норме подмножеством L : ( X , ‖ ⋅ ‖ ) → ( Y , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)} B {\displaystyle B} ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\|\cdot \|)} L {\displaystyle L} ‖ L ‖ := sup b ∈ B ‖ L ( b ) ‖ < ∞ {\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty } L ( B ) {\displaystyle L(B)} L {\displaystyle L} ( Y , ‖ ⋅ ‖ ) . {\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}
  3. B {\displaystyle B} является подмножеством некоторого (открытого или закрытого) шара. [примечание 3]
    • Этот шар не обязательно должен быть центрирован в начале координат, но его радиус должен (как обычно) быть положительным и конечным.

Если — векторное подпространство TVS , то этот список можно расширить, включив: B {\displaystyle B} X {\displaystyle X}

  1. B {\displaystyle B} содержится в закрытии [1] { 0 } . {\displaystyle \{0\}.}
    • Другими словами, векторное подпространство ограничено тогда и только тогда, когда оно является подмножеством (векторного пространства) X {\displaystyle X} cl X ⁡ { 0 } . {\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}
    • Напомним, что является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда замкнуто в Поэтому единственным ограниченным векторным подпространством хаусдорфова TVS является X {\displaystyle X} { 0 } {\displaystyle \{0\}} X . {\displaystyle X.} { 0 } . {\displaystyle \{0\}.}

Подмножество, которое не ограничено, называется неограниченным .

Борнология и фундаментальные системы ограниченных множеств

Совокупность всех ограниченных множеств в топологическом векторном пространстве называется борнологией фон Неймана или ( канонической ) борнологией X {\displaystyle X} X . {\displaystyle X.}

Базовая или фундаментальная система ограниченных множеств — это множество ограниченных подмножеств, такое, что каждое ограниченное подмножество является подмножеством некоторого [1]. Множество всех ограниченных подмножеств тривиально образует фундаментальную систему ограниченных множеств. X {\displaystyle X} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} B ∈ B . {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.} X {\displaystyle X} X . {\displaystyle X.}

Примеры

В любом локально выпуклом TVS множество замкнутых и ограниченных дисков является базой ограниченного множества. [1]

Примеры и достаточные условия

Если не указано иное, топологическое векторное пространство (TVS) не обязательно должно быть хаусдорфовым или локально выпуклым .

  • Конечные множества ограничены. [1]
  • Каждое полностью ограниченное подмножество TVS ограничено. [1]
  • Всякое относительно компактное множество в топологическом векторном пространстве ограничено. Если пространство снабжено слабой топологией, обратное также верно.
  • Множество точек последовательности Коши ограничено, множество точек сети Коши не обязательно должно быть ограничено.
  • Замыкание начала координат (относится к замыканию множества ) всегда является ограниченным замкнутым векторным подпространством. Это множество является единственным наибольшим (относительно включения множеств ) ограниченным векторным подпространством В частности, если является ограниченным подмножеством , то также является { 0 } {\displaystyle \{0\}} cl X ⁡ { 0 } {\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}} ⊆ {\displaystyle \,\subseteq \,} X . {\displaystyle X.} B ⊆ X {\displaystyle B\subseteq X} X {\displaystyle X} B + cl X ⁡ { 0 } . {\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}

Неограниченные множества

Множество, которое не ограничено, называется неограниченным .

Любое векторное подпространство TVS, которое не содержится в замыкании, неограничено. { 0 } {\displaystyle \{0\}}

Существует пространство Фреше, имеющее ограниченное подмножество , а также плотное векторное подпространство, такое, что не содержится в замыкании (в ) никакого ограниченного подмножества [6] X {\displaystyle X} B {\displaystyle B} M {\displaystyle M} B {\displaystyle B} X {\displaystyle X} M . {\displaystyle M.}

Свойства стабильности

  • В любом TVS конечные объединения , конечные суммы Минковского , скалярные кратные, переносы, подмножества, замыкания , внутренности и сбалансированные оболочки ограниченных множеств снова ограничены. [1]
  • В любом локально выпуклом TVS выпуклая оболочка ( также называемая выпуклой оболочкой ) ограниченного множества снова ограничена. [7] Однако это может быть ложным, если пространство не является локально выпуклым, поскольку (нелокально выпуклые) пространства Lp для не имеют нетривиальных открытых выпуклых подмножеств. [7] L p {\displaystyle L^{p}} 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1}
  • Образ ограниченного множества при непрерывном линейном отображении является ограниченным подмножеством области значений. [1]
  • Подмножество произвольного (декартова) произведения ТВС ограничено тогда и только тогда, когда его изображение при каждой координатной проекции ограничено.
  • Если и является топологическим векторным подпространством, то ограничено в тогда и только тогда, когда ограничено в [1] S ⊆ X ⊆ Y {\displaystyle S\subseteq X\subseteq Y} X {\displaystyle X} Y , {\displaystyle Y,} S {\displaystyle S} X {\displaystyle X} S {\displaystyle S} Y . {\displaystyle Y.}
    • Другими словами, подмножество ограничено в тогда и только тогда, когда оно ограничено в каждом (или, что эквивалентно, в некотором) топологическом векторном суперпространстве S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} X {\displaystyle X} X . {\displaystyle X.}

Характеристики

Локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет ограниченную окрестность нуля тогда и только тогда, когда его топология может быть определена одной полунормой .

Поляра ограниченного множества — это абсолютно выпуклое и поглощающее множество .

Условие счетности Макки [8]  — Если— счетная последовательность ограниченных подмножеств метризуемоголокальновыпуклого топологического векторного пространства, то существует ограниченное подмножествоипоследовательностьположительных действительных чисел такие, чтодля всех(или, что эквивалентно, такие, что). B 1 , B 2 , B 3 , … {\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots } X , {\displaystyle X,} B {\displaystyle B} X {\displaystyle X} r 1 , r 2 , r 3 , … {\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\ldots } B i ⊆ r i B {\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B} i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 1 r 1 B 1 ∪ 1 r 2 B 2 ∪ 1 r 3 B 3 ∪ ⋯ ⊆ B {\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}B_{1}\cup {\tfrac {1}{r_{2}}}B_{2}\cup {\tfrac {1}{r_{3}}}B_{3}\cup \cdots \subseteq B}

Используя определение равномерно ограниченных множеств, данное ниже, условие счетности Макки можно переформулировать следующим образом: если — ограниченные подмножества метризуемого локально выпуклого пространства , то существует последовательность положительных действительных чисел, которая равномерно ограничена. Другими словами, если задано любое счетное семейство ограниченных множеств в метризуемом локально выпуклом пространстве, то можно масштабировать каждое множество его собственным положительным действительным числом так, что они станут равномерно ограниченными. B 1 , B 2 , B 3 , … {\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots } t 1 , t 2 , t 3 , … {\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots } t 1 B 1 , t 2 B 2 , t 3 B 3 , … {\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }

Обобщения

Равномерно ограниченные множества

Семейство множеств подмножеств топологического векторного пространства называется B {\displaystyle {\mathcal {B}}} Y {\displaystyle Y} равномерно ограничено в ,если существует некоторое ограниченное подмножествоиз ,такое что это происходит тогда и только тогда, когда его объединение является ограниченным подмножеством В случаенормированного(илиполунормированного) пространства семействоравномерно ограничено тогда и только тогда, когда его объединениеограниченопо норме, что означает, что существует некоторое действительное числотакое, чтодля любогоили, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда Y , {\displaystyle Y,} D {\displaystyle D} Y {\displaystyle Y} B ⊆ D  for every  B ∈ B , {\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},} ∪ B   :=   ⋃ B ∈ B B {\displaystyle \cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B} Y . {\displaystyle Y.} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} ∪ B {\displaystyle \cup {\mathcal {B}}} M ≥ 0 {\displaystyle M\geq 0} ‖ b ‖ ≤ M {\textstyle \|b\|\leq M} b ∈ ∪ B , {\displaystyle b\in \cup {\mathcal {B}},} sup B ∈ B b ∈ B ‖ b ‖ < ∞ . {\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}

Набор карт из в называется H {\displaystyle H} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} равномерно ограничено на заданном множестве , если семействоравномерно ограничено в, что по определению означает, что существует некоторое ограниченное подмножествоизтакое, чтоили, что эквивалентно, тогда и только тогда, когдаявляется ограниченным подмножеством из Множестволинейных отображений между двумя нормированными (или полунормированными) пространствамииравномерно ограничено на некотором (или, что эквивалентно, на каждом) открытом шаре (и/или невырожденном замкнутом шаре) в ,если и только тогда, когда ихоператорные нормыравномерно ограничены; то есть тогда и только тогда, когда C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} H ( C ) := { h ( C ) : h ∈ H } {\displaystyle H(C):=\{h(C):h\in H\}} Y , {\displaystyle Y,} D {\displaystyle D} Y {\displaystyle Y} h ( C ) ⊆ D  for all  h ∈ H , {\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,} ∪ H ( C ) := ⋃ h ∈ H h ( C ) {\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)} Y . {\displaystyle Y.} H {\displaystyle H} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} sup h ∈ H ‖ h ‖ < ∞ . {\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}

Предложение [9]  —  Пусть — множество непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами и , и пусть — любое ограниченное подмножество Тогда является равномерно ограниченным на (то есть семейство равномерно ограничено в ), если выполняется любое из следующих условий: H ⊆ L ( X , Y ) {\displaystyle H\subseteq L(X,Y)} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} X . {\displaystyle X.} H {\displaystyle H} C {\displaystyle C} { h ( C ) : h ∈ H } {\displaystyle \{h(C):h\in H\}} Y {\displaystyle Y}

  1. H {\displaystyle H} является равностепенно непрерывным .
  2. C {\displaystyle C} является выпуклым компактным хаусдорфовым подпространством и для каждого орбита является ограниченным подмножеством X {\displaystyle X} c ∈ C , {\displaystyle c\in C,} H ( c ) := { h ( c ) : h ∈ H } {\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}} Y . {\displaystyle Y.}
Доказательство части (1) [9]

Предположим, что является равностепенно непрерывным и пусть будет окрестностью начала отсчета в Поскольку является равностепенно непрерывным, то существует окрестность начала отсчета в такая, что для каждого Поскольку ограничено в существует некоторое действительное число такое, что если то Так что для каждого и каждого что подразумевает, что Таким образом ограничено в QED H {\displaystyle H} W {\displaystyle W} Y . {\displaystyle Y.} H {\displaystyle H} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} h ( U ) ⊆ W {\displaystyle h(U)\subseteq W} h ∈ H . {\displaystyle h\in H.} C {\displaystyle C} X , {\displaystyle X,} r > 0 {\displaystyle r>0} t ≥ r {\displaystyle t\geq r} C ⊆ t U . {\displaystyle C\subseteq tU.} h ∈ H {\displaystyle h\in H} t ≥ r , {\displaystyle t\geq r,} h ( C ) ⊆ h ( t U ) = t h ( U ) ⊆ t W , {\displaystyle h(C)\subseteq h(tU)=th(U)\subseteq tW,} ⋃ h ∈ H h ( C ) ⊆ t W . {\textstyle \bigcup _{h\in H}h(C)\subseteq tW.} ⋃ h ∈ H h ( C ) {\textstyle \bigcup _{h\in H}h(C)} Y . {\displaystyle Y.}

Доказательство части (2) [10]

Пусть будет сбалансированной окрестностью начала отсчета в и пусть будет замкнутой сбалансированной окрестностью начала отсчета в такой, что Определим , которая является замкнутым подмножеством (поскольку является замкнутым, а каждое является непрерывным), которое удовлетворяет для каждого Обратите внимание, что для каждого ненулевого скаляра множество замкнуто в (поскольку скалярное умножение на является гомеоморфизмом ), и поэтому каждое замкнуто в W {\displaystyle W} Y {\displaystyle Y} V {\displaystyle V} Y {\displaystyle Y} V + V ⊆ W . {\displaystyle V+V\subseteq W.} E   :=   ⋂ h ∈ H h − 1 ( V ) , {\displaystyle E~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V),} X {\displaystyle X} V {\displaystyle V} h : X → Y {\displaystyle h:X\to Y} h ( E ) ⊆ V {\displaystyle h(E)\subseteq V} h ∈ H . {\displaystyle h\in H.} n ≠ 0 , {\displaystyle n\neq 0,} n E {\displaystyle nE} X {\displaystyle X} n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} C ∩ n E {\displaystyle C\cap nE} C . {\displaystyle C.}

Теперь будет показано, что из чего следует. Если то ограниченность гарантирует существование некоторого положительного целого числа такого, что где линейность каждого теперь подразумевает, таким образом , и, следовательно, как и требовалось. C ⊆ ⋃ n ∈ N n E , {\displaystyle C\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }nE,} C = ⋃ n ∈ N ( C ∩ n E ) {\displaystyle C=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(C\cap nE)} c ∈ C {\displaystyle c\in C} H ( c ) {\displaystyle H(c)} n = n c ∈ N {\displaystyle n=n_{c}\in \mathbb {N} } H ( c ) ⊆ n c V , {\displaystyle H(c)\subseteq n_{c}V,} h ∈ H {\displaystyle h\in H} 1 n c c ∈ h − 1 ( V ) ; {\displaystyle {\tfrac {1}{n_{c}}}c\in h^{-1}(V);} 1 n c c ∈ ⋂ h ∈ H h − 1 ( V ) = E {\displaystyle {\tfrac {1}{n_{c}}}c\in \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)=E} C ⊆ ⋃ n ∈ N n E , {\displaystyle C\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }nE,}

Таким образом, выражается как счетное объединение замкнутых (в ) множеств. Поскольку является нетощим подмножеством самого себя (так как является пространством Бэра по теореме Бэра о категории ), это возможно только в том случае, если существует некоторое целое число , имеющее непустую внутренность в Пусть будет любой точкой, принадлежащей этому открытому подмножеству в Пусть будет любой сбалансированной открытой окрестностью начала отсчета в такой, что C = ( C ∩ 1 E ) ∪ ( C ∩ 2 E ) ∪ ( C ∩ 3 E ) ∪ ⋯ {\textstyle C=(C\cap 1E)\cup (C\cap 2E)\cup (C\cap 3E)\cup \cdots } C {\displaystyle C} C {\displaystyle C} C {\displaystyle C} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } C ∩ n E {\displaystyle C\cap nE} C . {\displaystyle C.} k ∈ Int C ⁡ ( C ∩ n E ) {\displaystyle k\in \operatorname {Int} _{C}(C\cap nE)} C . {\displaystyle C.} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} C ∩ ( k + U )   ⊆   Int C ⁡ ( C ∩ n E ) . {\displaystyle C\cap (k+U)~\subseteq ~\operatorname {Int} _{C}(C\cap nE).}

Множества образуют возрастающее ( подразумевается значение ) покрытие компактного пространства , поэтому существует некоторое такое, что (и, таким образом, ). Будет показано, что для каждого , таким образом, демонстрируя, что равномерно ограничено в и завершая доказательство. Так что фиксируем и Пусть { k + p U : p > 1 } {\displaystyle \{k+pU:p>1\}} p ≤ q {\displaystyle p\leq q} k + p U ⊆ k + q U {\displaystyle k+pU\subseteq k+qU} C , {\displaystyle C,} p > 1 {\displaystyle p>1} C ⊆ k + p U {\displaystyle C\subseteq k+pU} 1 p ( C − k ) ⊆ U {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}(C-k)\subseteq U} h ( C ) ⊆ p n W {\displaystyle h(C)\subseteq pnW} h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} { h ( C ) : h ∈ H } {\displaystyle \{h(C):h\in H\}} Y {\displaystyle Y} h ∈ H {\displaystyle h\in H} c ∈ C . {\displaystyle c\in C.} z   :=   p − 1 p k + 1 p c . {\displaystyle z~:=~{\tfrac {p-1}{p}}k+{\tfrac {1}{p}}c.}

Выпуклость гарантирует и, более того, поскольку Таким образом , которое является подмножеством Поскольку , сбалансировано, и мы имеем , которое в сочетании с дает Наконец, и подразумеваем, как и требовалось. QED C {\displaystyle C} z ∈ C {\displaystyle z\in C} z ∈ k + U {\displaystyle z\in k+U} z − k = − 1 p k + 1 p c = 1 p ( c − k ) ∈ 1 p ( C − k ) ⊆ U . {\displaystyle z-k={\tfrac {-1}{p}}k+{\tfrac {1}{p}}c={\tfrac {1}{p}}(c-k)\in {\tfrac {1}{p}}(C-k)\subseteq U.} z ∈ C ∩ ( k + U ) , {\displaystyle z\in C\cap (k+U),} Int C ⁡ ( C ∩ n E ) . {\displaystyle \operatorname {Int} _{C}(C\cap nE).} n V {\displaystyle nV} | 1 − p | = p − 1 < p , {\displaystyle |1-p|=p-1<p,} ( 1 − p ) n V ⊆ p n V , {\displaystyle (1-p)nV\subseteq pnV,} h ( E ) ⊆ V {\displaystyle h(E)\subseteq V} p n h ( E ) + ( 1 − p ) n h ( E )   ⊆   p n V + ( 1 − p ) n V   ⊆   p n V + p n V   ⊆   p n ( V + V )   ⊆   p n W . {\displaystyle pnh(E)+(1-p)nh(E)~\subseteq ~pnV+(1-p)nV~\subseteq ~pnV+pnV~\subseteq ~pn(V+V)~\subseteq ~pnW.} c = p z + ( 1 − p ) k {\displaystyle c=pz+(1-p)k} k , z ∈ n E {\displaystyle k,z\in nE} h ( c )   =   p h ( z ) + ( 1 − p ) h ( k )   ∈   p n h ( E ) + ( 1 − p ) n h ( E )   ⊆   p n W , {\displaystyle h(c)~=~ph(z)+(1-p)h(k)~\in ~pnh(E)+(1-p)nh(E)~\subseteq ~pnW,}

Поскольку каждое одноэлементное подмножество также является ограниченным подмножеством, то отсюда следует, что если — равностепенно непрерывное множество непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами и (не обязательно хаусдорфовыми или локально выпуклыми), то орбита каждого является ограниченным подмножеством X {\displaystyle X} H ⊆ L ( X , Y ) {\displaystyle H\subseteq L(X,Y)} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} H ( x ) := { h ( x ) : h ∈ H } {\textstyle H(x):=\{h(x):h\in H\}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} Y . {\displaystyle Y.}

Ограниченные подмножества топологических модулей

Определение ограниченных множеств можно обобщить на топологические модули . Подмножество топологического модуля над топологическим кольцом ограничено, если для любой окрестности существует окрестность такая , что A {\displaystyle A} M {\displaystyle M} R {\displaystyle R} N {\displaystyle N} 0 M {\displaystyle 0_{M}} w {\displaystyle w} 0 R {\displaystyle 0_{R}} w A ⊆ B . {\displaystyle wA\subseteq B.}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcdefghijklmnopqr Narici & Beckenstein 2011, стр. 156–175.
  2. ^ Шефер 1970, стр. 25.
  3. ^ Рудин 1991, стр. 8.
  4. ^ Вилански 2013, стр. 47.
  5. ^ Наричи Бекенштейн (2011). Топологические векторные пространства (2-е изд.). С. 253, Теорема 8.8.7. ISBN 978-1-58488-866-6.
  6. ^ Вилански 2013, стр. 57.
  7. ^ ab Narici & Beckenstein 2011, стр. 162.
  8. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 174.
  9. ^ ab Rudin 1991, стр. 42−47.
  10. ↑ Рудин 1991, стр. 46−47.

Примечания

  1. ^ Для любого множества и скаляра обозначение обозначает множество A {\displaystyle A} s , {\displaystyle s,} s A {\displaystyle sA} s A := { s a : a ∈ A } . {\displaystyle sA:=\{sa:a\in A\}.}
  2. ^ Это означает, что топология на равна топологии, индуцированной на ней Обратите внимание, что каждое нормированное пространство является полунормированным пространством, а каждая норма является полунормой. Определение топологии, индуцированной полунормой, идентично определению топологии, индуцированной нормой. X {\displaystyle X} ‖ ⋅ ‖ . {\displaystyle \|\cdot \|.}
  3. ^ Если — нормированное или полунормированное пространство , то открытые и замкнутые шары радиуса (где — действительное число) с центром в точке — это, соответственно, множества и Любое такое множество называется (невырожденным) шаром . ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\|\cdot \|)} r > 0 {\displaystyle r>0} r ≠ ∞ {\displaystyle r\neq \infty } x ∈ X {\displaystyle x\in X} B < r ( x ) := { z ∈ X : ‖ z − x ‖ < r } {\textstyle B_{<r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}} B ≤ r ( x ) := { z ∈ X : ‖ z − x ‖ ≤ r } . {\textstyle B_{\leq r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.}

Библиография

  • Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
  • Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
  • Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
  • Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
  • Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
  • Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
  • Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
  • Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
  • Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Робертсон, А. П.; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Cambridge University Press . С. 44–46.
  • Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
  • Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
  • Шефер, ХХ (1970). Топологические векторные пространства . GTM . Том 3. Springer-Verlag . С. 25–26. ISBN 0-387-05380-8.
  • Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
  • Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bounded_set_(topological_vector_space)&oldid=1228023438"