Поперечная изотропия

Поперечно -изотропный материал — это материал с физическими свойствами, симметричными относительно оси, которая нормальна к плоскости изотропии . Эта поперечная плоскость имеет бесконечные плоскости симметрии, и, таким образом, в пределах этой плоскости свойства материала одинаковы во всех направлениях. Поэтому такие материалы также известны как «полярно-анизотропные» материалы. В геофизике вертикально-поперечная изотропия (VTI) также известна как радиальная анизотропия.

Этот тип материала проявляет гексагональную симметрию (хотя технически это перестает быть верным для тензоров ранга 6 и выше), поэтому число независимых констант в тензоре упругости (четвертого ранга) сокращается до 5 (из общего числа 21 независимой константы в случае полностью анизотропного твердого тела ). Тензоры (второго ранга) электрического сопротивления, проницаемости и т. д. имеют две независимые константы.

Примером поперечно-изотропного материала является так называемая осевая однонаправленная волокнистая композитная пластина, где волокна имеют круглое поперечное сечение. В однонаправленном композите плоскость, нормальная направлению волокон, может рассматриваться как изотропная плоскость на длинных волнах (низких частотах) возбуждения. На рисунке справа волокна будут выровнены с осью , которая нормальна к плоскости изотропии.${\displaystyle x_{2}}$

С точки зрения эффективных свойств геологические слои горных пород часто интерпретируются как поперечно-изотропные. Расчет эффективных упругих свойств таких слоев в петрологии получил название Backus upscaling , который описан ниже.

Материальная матрица имеет симметрию относительно заданного ортогонального преобразования ( ), если она не изменяется при этом преобразовании. Для сохранения инвариантности свойств материала при таком преобразовании мы требуем${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\подразумевает \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}}$

Следовательно, условие материальной симметрии (используя определение ортогонального преобразования)

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}}$

Ортогональные преобразования могут быть представлены в декартовых координатах матрицей, заданной формулой${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

Поэтому условие симметрии можно записать в матричной форме как

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

Для трансверсально-изотропного материала матрица имеет вид${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.}$

где -ось является осью симметрии . Материальная матрица остается инвариантной при повороте на любой угол вокруг -оси.${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x_{3}}$

Линейные материальные определяющие соотношения в физике можно выразить в виде

${\displaystyle \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d} }$

где — два вектора, представляющие физические величины, а — материальный тензор второго порядка. В матричной форме${\displaystyle \mathbf {d} ,\mathbf {f} }$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}}$

Примеры физических проблем, соответствующих приведенному выше шаблону, приведены в таблице ниже. ^[1]

Проблема	${\displaystyle \mathbf {f} }$	${\displaystyle \mathbf {d} }$	${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$
Электропроводность	Электрический ток ${\displaystyle \mathbf {J} }$	Электрическое поле ${\displaystyle \mathbf {E} }$	Электропроводность ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$
Диэлектрики	Электрическое смещение ${\displaystyle \mathbf {D} }$	Электрическое поле ${\displaystyle \mathbf {E} }$	Электрическая проницаемость ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$
Магнетизм	Магнитная индукция ${\displaystyle \mathbf {B} }$	Магнитное поле ${\displaystyle \mathbf {H} }$	Магнитная проницаемость ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
Теплопроводность	Тепловой поток ${\displaystyle \mathbf {q} }$	Температурный градиент ${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}T}$	Теплопроводность ${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}$
Диффузия	Поток частиц ${\displaystyle \mathbf {J} }$	Градиент концентрации ${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}c}$	Коэффициент диффузии ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$
Течение в пористой среде	Взвешенная скорость жидкости ${\displaystyle \eta _{\mu }\mathbf {v} }$	Градиент давления ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}P}$	Проницаемость жидкости ${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}$
Эластичность	Стресс ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	Напряжение ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$	Жесткость ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Использование в матрице подразумевает, что . Использование приводит к и . Энергетические ограничения обычно требуют и, следовательно, мы должны иметь . Таким образом, материальные свойства трансверсально-изотропного материала описываются матрицей${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$${\displaystyle K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0}$${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle K_{11}=K_{22}}$${\displaystyle K_{12}=-K_{21}}$${\displaystyle K_{12},K_{21}\geq 0}$${\displaystyle K_{12}=K_{21}=0}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

В линейной упругости напряжение и деформация связаны законом Гука , т. е .

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}$

или, используя обозначение Фойгта ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$

Условием симметрии материала в линейно-упругих материалах является. ^[2]

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$

где

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

Используя конкретные значения в матрице [ ^3], можно показать, что тензор упругости-жесткости четвертого ранга может быть записан в 2-индексной нотации Фойгта в виде матрицы${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$

Матрица упругости-жёсткости имеет 5 независимых констант, которые связаны с известными инженерными модулями упругости следующим образом. Эти инженерные модули определяются экспериментально.${\displaystyle C_{ij}}$

Матрица податливости (обратная матрице упругой жесткости) равна

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}}$

где . В инженерной нотации, ${\displaystyle \Delta :=(C_{11}-C_{12})[(C_{11}+C_{12})C_{33}-2C_{13}C_{13}]}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}}$

Сравнение этих двух форм матрицы податливости показывает, что продольный модуль Юнга определяется выражением

${\displaystyle E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})}$

Аналогично, поперечный модуль Юнга равен

${\displaystyle E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})}$

Модуль сдвига в плоскости равен

${\displaystyle G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}}$

а коэффициент Пуассона для нагрузки вдоль полярной оси равен

${\displaystyle \nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})}$.

Здесь L представляет продольное (полярное) направление, а T представляет поперечное направление.

В геофизике распространено предположение, что горные породы земной коры локально полярно анизотропны (трансверсально изотропны); это простейший случай геофизического интереса. Масштабирование Бэкуса ^[4] часто используется для определения эффективных трансверсально изотропных упругих констант слоистых сред для длинноволновых сейсмических волн.

В приближении Бэкуса делаются следующие предположения:

• Все материалы линейно-эластичны.
• Нет источников внутреннего рассеяния энергии (например, трения)
• Действительно в пределе бесконечной длины волны, поэтому хорошие результаты только если толщина слоя намного меньше длины волны.
• Статистика распределения упругих свойств слоев стационарна, т.е. коррелированная тенденция в этих свойствах отсутствует.

Для более коротких длин волн поведение сейсмических волн описывается с помощью суперпозиции плоских волн . Трансверсально-изотропные среды поддерживают три типа упругих плоских волн:

• квази- P-волна ( направление поляризации почти совпадает с направлением распространения)
• квази- S-волна
• S-волна (поляризованная ортогонально квази-S-волне, оси симметрии и направлению распространения).

Решения задач распространения волн в таких средах могут быть построены из этих плоских волн с использованием синтеза Фурье .

Слоистая модель однородного и изотропного материала может быть масштабирована до поперечно-изотропной среды, предложенной Бэкусом. ^[4]

Бэкус представил эквивалентную теорию среды, в которой гетерогенная среда может быть заменена однородной, которая предсказывает распространение волн в реальной среде. ^[5] Бэкус показал, что расслоение в масштабе, намного меньшем, чем длина волны, оказывает влияние, и что ряд изотропных слоев можно заменить однородной поперечно-изотропной средой, которая ведет себя точно так же, как и реальная среда под статической нагрузкой в ​​пределе бесконечной длины волны.

Если каждый слой описывается 5 поперечно-изотропными параметрами , задавая матрицу${\displaystyle i}$${\displaystyle (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})}$

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}}$

Модули упругости для эффективной среды будут

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$обозначает средневзвешенный объем по всем слоям.

Это включает в себя изотропные слои, поскольку слой является изотропным, если , и .${\displaystyle b_{i}=a_{i}-2e_{i}}$${\displaystyle a_{i}=c_{i}}$${\displaystyle d_{i}=e_{i}}$

Решения задач распространения волн в линейных упругих трансверсально-изотропных средах могут быть построены путем наложения решений для квази-P-волны, квази-S-волны и S-волны, поляризованной ортогонально квази-S-волне. Однако уравнения для углового изменения скорости являются алгебраически сложными, а скорости плоских волн являются функциями угла распространения . ^[6] Скорости волн, зависящие от направления для упругих волн через материал, могут быть найдены с помощью уравнения Кристоффеля и определяются как ^[7]${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}}$

где — угол между осью симметрии и направлением распространения волны, — плотность массы, а — элементы матрицы упругой жесткости . Параметры Томсена используются для упрощения этих выражений и облегчения их понимания.${\displaystyle {\begin{aligned}\theta \end{aligned}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle C_{ij}}$

Параметры Томсена ^[8] — безразмерные комбинации модулей упругости , характеризующие трансверсально-изотропные материалы, которые встречаются, например, в геофизике . В терминах компонентов матрицы упругой жесткости эти параметры определяются как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}}$

где индекс 3 указывает на ось симметрии ( ). Эти параметры в сочетании с соответствующими скоростями P- и S-волн могут быть использованы для характеристики распространения волн через слабоанизотропные слоистые среды. Эмпирически параметры Томсена для большинства слоистых горных образований намного ниже 1.${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$

Название отсылает к Леону Томсену, профессору геофизики в Хьюстонском университете , который предложил эти параметры в своей статье 1986 года «Слабая упругая анизотропия».

В геофизике анизотропия упругих свойств обычно слаба, в этом случае . Когда точные выражения для скоростей волн выше линеаризуются в этих малых величинах, они упрощаются до${\displaystyle \delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}}$

— скорости P и S волн в направлении оси симметрии ( ) (в геофизике это обычно, но не всегда, вертикальное направление). Обратите внимание, что можно дополнительно линеаризовать, но это не приведет к дальнейшему упрощению.${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$${\displaystyle \delta }$

Приближенные выражения для скоростей волн достаточно просты для физической интерпретации и достаточно точны для большинства геофизических приложений. Эти выражения также полезны в некоторых контекстах, где анизотропия не слаба.

• закон Гука
• Линейная эластичность
• Ортотропный материал