Группа Артин–Титс

В математической области теории групп группы Артина , также известные как группы Артина–Титса или обобщённые группы кос , представляют собой семейство бесконечных дискретных групп, определяемых простыми представлениями . Они тесно связаны с группами Коксетера . Примерами являются свободные группы , свободные абелевы группы , группы кос и прямоугольные группы Артина–Титса, среди прочих.

Группы названы в честь Эмиля Артина , в связи с его ранними работами по группам кос в 1920-х — 1940-х годах, ^[1] и Жака Титса , который разработал теорию более общего класса групп в 1960-х годах. ^[2]

Представление Артина–Титса — это групповое представление , где — (обычно конечное) множество генераторов, а — множество отношений Артина–Титса, а именно отношений вида для различных в , где обе стороны имеют одинаковую длину, и существует не более одного отношения для каждой пары различных генераторов . Группа Артина–Титса — это группа, которая допускает представление Артина–Титса. Аналогично, моноид Артина–Титса — это моноид , который, как моноид, допускает представление Артина–Титса.${\displaystyle \langle S\mid R\rangle}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$${\displaystyle с,т}$${\displaystyle S}$${\displaystyle с,т}$

В качестве альтернативы группа Артина–Титса может быть определена набором генераторов и, для каждого из , натуральным числом , которое является длиной слов и таким, что является отношением, соединяющим и , если таковое имеется. По соглашению, когда нет отношения , то ставим . Формально, если мы определяем для обозначения знакопеременного произведения и длины , начиная с — так что , и т. д. — отношения Артина–Титса принимают вид${\displaystyle S}$${\displaystyle с,т}$${\displaystyle S}$${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 2}$${\displaystyle stst\ldots }$${\displaystyle tsts\ldots }$${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$${\displaystyle с}$${\displaystyle т}$${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle m}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{2}=st}$${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{3}=sts}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ where }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.}$

Целые числа можно организовать в симметричную матрицу , известную как матрица Кокстера группы.${\displaystyle m_{s,t}}$

Если — представление Артина–Титса группы Артина–Титса , фактор по полученному сложением соотношения для каждого из является группой Коксетера . Наоборот, если — группа Коксетера , представленная отражениями, и соотношения удалены, полученное таким образом расширение является группой Артина–Титса. Например, группа Коксетера, связанная с группой кос из -нитей, является симметрической группой всех перестановок .${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle s^{2}=1}$${\displaystyle s}$${\displaystyle R}$${\displaystyle W}$${\displaystyle s^{2}=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

• ${\displaystyle G=\langle S\mid \emptyset \rangle }$это свободная группа, основанная на ; здесь для всех .${\displaystyle S}$${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle }$— свободная абелева группа, основанная на ; здесь для всех .${\displaystyle S}$${\displaystyle m_{s,t}=2}$${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ for }}\vert i-j\vert =1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ for }}\vert i-j\vert \geqslant 2\rangle }$— это группа кос на прядях; здесь для , и для .${\displaystyle n}$${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3}$${\displaystyle \vert i-j\vert =1}$${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=2}$${\displaystyle \vert i-j\vert >1}$

Моноиды Артина–Титса подходят для методов Гарсайда, основанных на исследовании их отношений делимости, и хорошо изучены:

• Моноиды Артина–Титса являются сокращаемыми и допускают наибольшие общие делители и условные наименьшие общие кратные (наименьшее общее кратное существует всякий раз, когда существует общее кратное).
• Если — моноид Артина–Титса, а если — ассоциированная группа Коксетера, то существует (теоретико-множественное) сечение в , и каждый элемент допускает различимое разложение в виде последовательности элементов в образе («жадная нормальная форма»).${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle W}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle \sigma }$

Для общих групп Артина–Титса известно очень мало результатов. В частности, в общем случае остаются открытыми следующие основные вопросы:

– решение проблем со словами и сопряженностью , которые предположительно разрешимы,

– определение кручения — которое, как предполагается, является тривиальным,

– определение центра — который предположительно является тривиальным или моногенным в случае, когда группа не является прямым произведением («неприводимый случай»),

– определение когомологий — в частности, разрешение гипотезы, т.е. нахождение ациклического комплекса, фундаментальной группой которого является рассматриваемая группа.${\displaystyle K(\pi ,1)}$

Частичные результаты, касающиеся отдельных подсемейств, собраны ниже. Среди немногих известных общих результатов можно упомянуть:

• Группы Артина–Титса бесконечно счетны.
• В группе Артина–Титса единственное отношение, связывающее квадраты элементов , — это если находится в (Джон Крисп и Луис Парис ^[3] ).${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}}$${\displaystyle st=ts}$${\displaystyle R}$
• Для каждого представления Артина–Титса моноид Артина–Титса, представленный в виде, вкладывается в группу Артина–Титса, представленную в виде (Париж ^[4] ).${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$
• Каждый (конечно порождённый) моноид Артина–Титса допускает конечное семейство Гарсайда (Мэтью Дайер и Кристоф Хольвег ^[5] ). Как следствие, существование общих правых кратных в моноидах Артина–Титса разрешимо, и редукция мультифракций эффективна.

Несколько важных классов групп Артина можно определить в терминах свойств матрицы Кокстера.

• Группа Артина–Титса называется сферической , если соответствующая группа Коксетера конечна — альтернативной терминологии «группа Артина–Титса конечного типа» следует избегать из-за ее двусмысленности: «группа конечного типа» — это просто та, которая допускает конечное порождающее множество. Напомним, что известна полная классификация, в которой «неприводимые типы» обозначены как бесконечные ряды , , , и шесть исключительных групп , , , , , и .${\displaystyle W}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle I_{2}(n)}$${\displaystyle E_{6}}$${\displaystyle E_{7}}$${\displaystyle E_{8}}$${\displaystyle F_{4}}$${\displaystyle H_{3}}$${\displaystyle H_{4}}$
• В случае сферической группы Артина–Титса группа является группой дробей для моноида, что значительно упрощает исследование. Каждая из вышеупомянутых проблем решается положительно для сферических групп Артина–Титса: проблемы слова и сопряженности разрешимы, их кручение тривиально, центр моногенен в неприводимом случае, а когомологии определены ( Пьер Делинь , геометрическими методами ^[6], Эгберт Брискорн и Кёдзи Сайто , комбинаторными методами ^[7] ).
• Чистая группа Артина–Титса сферического типа может быть реализована как фундаментальная группа дополнения конечной конфигурации гиперплоскостей в .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Группы Артина–Титса сферического типа являются биавтоматными группами (Рут Чарни ^[8] ).
• В современной терминологии группа Артина–Титса — это группа Гарсайда , то есть группа дробей для соответствующего моноида , и для каждого элемента существует уникальная нормальная форма, состоящая из конечной последовательности (копий) элементов и их обратных («симметричная жадная нормальная форма»).${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$

• Группа Артина–Титса называется прямоугольной, если все коэффициенты матрицы Коксетера являются либо , либо , т. е. все соотношения являются коммутационными соотношениями . Также распространены названия (свободная) частично коммутативная группа , графовая группа , группа следов , полусвободная группа или даже локально свободная группа .${\displaystyle 2}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle st=ts}$
• Для этого класса групп Артина–Титса обычно используется другая схема маркировки. Любой граф на вершинах с метками определяет матрицу , для которой , если вершины и соединены ребром в , и в противном случае.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{s,t}=2}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$
• Класс прямоугольных групп Артина–Титса включает свободные группы конечного ранга, соответствующие графу без ребер, и конечно-порожденные свободные абелевы группы , соответствующие полному графу . Каждая прямоугольная группа Артина ранга r может быть построена как HNN-расширение прямоугольной группы Артина ранга , со свободным произведением и прямым произведением в качестве крайних случаев. Обобщение этой конструкции называется графовым произведением групп . Прямоугольная группа Артина является частным случаем этого произведения, причем каждая вершина/операнд графового произведения является свободной группой ранга один ( бесконечной циклической группой ).${\displaystyle r-1}$
• Проблемы тождества и сопряженности прямоугольной группы Артина–Титса разрешимы, первая за линейное время, группа не имеет кручения, и существует явная клеточная конечность (Джон Крисп, Эдди Годель и Берт Вист ^[9] ).${\displaystyle K(\pi ,1)}$
• Каждая прямоугольная группа Артина–Титса действует свободно и кокомпактно на конечномерном кубическом комплексе CAT(0) , его «комплексе Салветти». В качестве приложения можно использовать прямоугольные группы Артина и их комплексы Салветти для построения групп с заданными свойствами конечности (Младен Бествина и Ноэль Брэди ^[10] ), см. также (Иэн Лири ^[11] ).

• Говорят, что группа Артина–Титса (и группа Коксетера) имеет большой тип, если для всех генераторов ; говорят, что она имеет сверхбольшой тип , если для всех генераторов .${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 3}$${\displaystyle s\neq t}$${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 4}$${\displaystyle s\neq t}$
• Группы Артина–Титса сверхбольшого типа подходят для теории малых сокращений. В качестве приложения, группы Артина–Титса сверхбольшого типа не имеют кручения и имеют разрешимую проблему сопряженности ( Кеннет Аппель и Пол Шупп ^[12] ).
• Группы Артина–Титса сверхбольшого типа являются биавтоматическими (Дэвид Пейфер ^[13] ).
• Группы Артина большого типа являются коротколексными автоматическими с регулярными геодезическими (Дерек Холт и Сара Риз ^[14] ).

Были идентифицированы и исследованы многие другие семейства групп Артина–Титса. Здесь мы упомянем два из них.

• Говорят, что группа Артина–Титса имеет тип FC («флаговый комплекс»), если для любого подмножества из , такого что для всех в , группа имеет сферический тип. Такие группы действуют кокомпактно на кубическом комплексе CAT(0), и, как следствие, можно найти рациональную нормальную форму для их элементов и вывести решение проблемы слов (Джо Альтобелли и Чарни ^[15] ). Альтернативная нормальная форма предоставляется мультифракционной редукцией, которая дает единственное выражение неприводимой мультифракционной, напрямую расширяющей выражение неприводимой дробью в сферическом случае (Дехорной ^[16] ).${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle m_{s,t}\neq \infty }$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle }$
• Говорят, что группа Артина–Титса имеет аффинный тип , если ассоциированная группа Коксетера является аффинной . Они соответствуют расширенным диаграммам Дынкина четырех бесконечных семейств для , , для , и для , и пяти спорадических типов , , , , и . Аффинные группы Артина–Титса имеют евклидов тип : ассоциированная группа Коксетера действует геометрически на евклидовом пространстве. Как следствие, их центр тривиален, а их проблема слов разрешима (Джон Маккаммонд и Роберт Салуэй ^[17] ). В 2019 году было объявлено о доказательстве гипотезы для всех аффинных групп Артина–Титса (Марио Сальветти и Джованни Паолини ^[18] ).${\displaystyle {\widetilde {A}}_{n}}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {C}}_{n}}$${\displaystyle n\geqslant 2}$${\displaystyle {\widetilde {D}}_{n}}$${\displaystyle n\geqslant 3}$${\displaystyle {\widetilde {E}}_{6}}$${\displaystyle {\widetilde {E}}_{7}}$${\displaystyle {\widetilde {E}}_{8}}$${\displaystyle {\widetilde {F}}_{4}}$${\displaystyle {\widetilde {G}}_{2}}$${\displaystyle K(\pi ,1)}$

• Свободный частично коммутативный моноид
• Группа Артиния (несвязанное понятие)
• Некоммутативная криптография
• Элементарная абелева группа

• Чарни, Рут (2007), «Введение в прямоугольные группы Артина», Geometriae Dedicata , 125 (1): 141–158 , arXiv : math/0610668 , doi : 10.1007/s10711-007-9148-6, MR  2322545
• Годель, Эдди; Пэрис, Луис (2012), Основные вопросы по группам Артина–Титса , CRM Series, т. 14, Ed. Norm., Пиза, стр.  299–311 , arXiv : 1105.1048 , doi :10.1007/978-88-7642-431-1_13, ISBN 978-88-7642-430-4, МР  3203644
• Маккаммонд, Джон (2017), «Загадочная геометрия групп Артина», Winter Braids Lecture Notes , 4 (Winter Braids VII (Кан, 2017)): 1– 30, doi : 10.5802/wbln.17 , MR  3922033
• Флорес, Рамон; Кахробаи, Деларам ; Коберда, Томас (2019). «Алгоритмические проблемы в прямоугольных группах Артина: сложность и приложения». Журнал алгебры . 519 : 111– 129. arXiv : 1802.04870 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2018.10.023. MR  3874519.