Квадратно-интегрируемая функция

Вводный раздел этой статьи может быть слишком длинным . Пожалуйста, ознакомьтесь с рекомендациями по длине и помогите переместить детали в текст статьи. ( Январь 2024 г. )

В математике квадратно -интегрируемая функция , также называемая квадратично-интегрируемой функцией или функцией или квадратно- суммируемой функцией , ^[1] является действительной или комплексной измеримой функцией, для которой интеграл квадрата абсолютной величины конечен. Таким образом, квадратично-интегрируемость на действительной прямой определяется следующим образом.${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$

Можно также говорить о квадратичной интегрируемости на ограниченных интервалах, например, для . ^[2]${\displaystyle [а,б]}$${\displaystyle a\leq b}$

Эквивалентное определение состоит в том, чтобы сказать, что квадрат самой функции (а не ее абсолютного значения) интегрируем по Лебегу . Чтобы это было верно, интегралы положительной и отрицательной частей действительной части должны быть конечными, как и интегралы мнимой части.

Вектор пространства (классов эквивалентности) квадратично интегрируемых функций (относительно меры Лебега) образует пространство с Среди пространств класс квадратично интегрируемых функций уникален тем, что он совместим со скалярным произведением , что позволяет определить такие понятия, как угол и ортогональность. Вместе с этим скалярным произведением квадратично интегрируемые функции образуют гильбертово пространство , поскольку все пространства полны относительно своих соответствующих -норм .${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p=2.}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$

Часто этот термин используется не для обозначения конкретной функции, а для классов эквивалентности функций, которые равны почти всюду .

Интегрируемые квадратом функции (в упомянутом смысле, в котором «функция» на самом деле означает класс эквивалентности функций, которые равны почти всюду) образуют пространство скалярного произведения со скалярным произведением, заданным как где$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x}$$

• ${\displaystyle f}$и являются квадратично интегрируемыми функциями,${\displaystyle г}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$является комплексно сопряженным числом${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle А}$— это множество, по которому выполняется интегрирование. В первом определении (данном во введении выше) это , во втором — это .${\displaystyle А}$${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$${\displaystyle А}$${\displaystyle [а,б]}$

Так как , квадратная интегрируемость означает то же самое, что сказать${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$$${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

Можно показать, что квадратично интегрируемые функции образуют полное метрическое пространство относительно метрики, индуцированной скалярным произведением, определенным выше. Полное метрическое пространство также называется пространством Коши , потому что последовательности в таких метрических пространствах сходятся тогда и только тогда, когда они являются пространствами Коши . Пространство, которое является полным относительно метрики, индуцированной нормой, является банаховым пространством . Следовательно, пространство квадратично интегрируемых функций является банаховым пространством относительно метрики, индуцированной нормой, которая, в свою очередь, индуцирована скалярным произведением. Поскольку у нас есть дополнительное свойство скалярного произведения, это, в частности, гильбертово пространство , потому что пространство является полным относительно метрики, индуцированной скалярным произведением.

Это внутреннее пространство продукта обычно обозначается и многократно сокращается как Примечание, которое обозначает набор квадратично интегрируемых функций, но никакое выделение метрики, нормы или внутреннего продукта не указывается этим обозначением. Набор вместе с конкретным внутренним продуктом определяет внутреннее пространство продукта.${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$${\displaystyle L_{2}.}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

Пространство квадратично интегрируемых функций — это пространство , в котором${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p=2.}$

Функция , определенная на , входит в , но не входит в ^[1]. Функция, определенная на , является квадратично интегрируемой. ^[3]${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$${\displaystyle (0,1),}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$${\displaystyle [1,\infty ),}$

Ограниченные функции, определенные на , являются квадратично интегрируемыми. Эти функции также являются функциями для любого значения ^[3]${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle L^{p},}$${\displaystyle p.}$

Функция определена на , где значение при произвольно. Более того, эта функция не находится в для любого значения в ^[3]${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [1,\infty ).}$

• Внутреннее пространство продукта
• ${\displaystyle L^{p}}$пространство  – Функциональные пространства, обобщающие конечномерные p-нормированные пространства