Теорема изоморфизма Орнштейна

В математике теорема Орнштейна об изоморфизме является глубоким результатом в эргодической теории . Она утверждает, что если две схемы Бернулли имеют одинаковую энтропию Колмогорова , то они изоморфны . [1] [2] Результат, полученный Дональдом Орнштейном в 1970 году, важен, поскольку он утверждает, что многие системы, которые ранее считались не связанными, на самом деле изоморфны; к ним относятся все конечные стационарные стохастические процессы , включая цепи Маркова и подсдвиги конечного типа , потоки Аносова и биллиарды Синая , эргодические автоморфизмы n -тора и преобразование непрерывной дроби .

Обсуждение

Теорема на самом деле является набором связанных теорем. Первая теорема утверждает, что если два различных сдвига Бернулли имеют одинаковую энтропию Колмогорова , то они изоморфны как динамические системы . Третья теорема распространяет этот результат на потоки : а именно, что существует поток, такой что является сдвигом Бернулли. Четвертая теорема утверждает, что для заданной фиксированной энтропии этот поток является единственным с точностью до постоянного масштабирования времени. Пятая теорема утверждает, что существует единственный, уникальный поток (с точностью до постоянного масштабирования времени), который имеет бесконечную энтропию. Фраза «с точностью до постоянного масштабирования времени» просто означает, что если и являются двумя потоками Бернулли с одинаковой энтропией, то для некоторой постоянной c . Разработки также включали доказательства того, что факторы сдвигов Бернулли изоморфны сдвигам Бернулли, и давали критерии для заданной сохраняющей меру динамической системы, чтобы быть изоморфной сдвигу Бернулли. Т т {\displaystyle T_{t}} Т 1 {\displaystyle T_{1}} Т т {\displaystyle T_{t}} С т {\displaystyle S_{t}} С т = Т с т {\displaystyle S_{t}=T_{ct}}

Следствием этих результатов является решение корневой проблемы для сдвигов Бернулли: так, например, если задан сдвиг T , то существует другой сдвиг , который ему изоморфен. Т {\displaystyle {\sqrt {T}}}

История

Вопрос об изоморфизме восходит к фон Нейману , который спросил, являются ли две схемы Бернулли BS(1/2, 1/2) и BS(1/3, 1/3, 1/3) изоморфными или нет. В 1959 году Я. Синай и Колмогоров ответили отрицательно, показав, что две различные схемы не могут быть изоморфными, если они не имеют одинаковой энтропии. В частности, они показали, что энтропия схемы Бернулли BS( p 1 , p 2 ,..., p n ) определяется как [3] [4]

ЧАС = − ∑ я = 1 Н п я бревно ⁡ п я . {\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}

Теорема изоморфизма Орнштейна, доказанная Дональдом Орнштейном в 1970 году, утверждает, что две схемы Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны . Результат точен, [5] в том, что очень похожие, несхемные системы не обладают этим свойством; в частности, существуют системы Колмогорова с одинаковой энтропией, которые не являются изоморфными. За эту работу Орнштейн получил премию Бёхера .

Упрощенное доказательство теоремы об изоморфизме для символических схем Бернулли было дано Майклом С. Кином и М. Смородинским в 1979 году. [6] [7]

Ссылки

  1. ^ Орнштейн, Дональд (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны». Успехи в математике . 4 (3): 337–352. doi :10.1016/0001-8708(70)90029-0.
  2. ^ Дональд Орнштейн, «Эргодическая теория, случайность и динамические системы» (1974) Yale University Press, ISBN 0-300-01745-6 
  3. ↑ Я. Г. Синай, (1959) «О понятии энтропии динамической системы», Доклады РАН 124 , стр. 768–771.
  4. ^ Я. Г. Синай, (2007) "Метрическая энтропия динамической системы"
  5. ^ Кристофер Хоффман, «AK counterexample machine», Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), стр. 4263–4280
  6. ^ М. Кин и М. Смородинский, «Теорема о финитном изоморфизме для марковских сдвигов», Bull. Amer. Math. Soc. 1 (1979), стр. 436–438
  7. ^ М. Кин и М. Смородинский, «Схемы Бернулли с одинаковой энтропией финитно изоморфны». Annals of Mathematics (2) 109 (1979), стр. 397–406.

Дальнейшее чтение

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_изоморфизма_Орнштейна&oldid=1170990638"