Алгебраический матроид
В математике алгебраический матроид — это матроид , комбинаторная структура, выражающая абстракцию отношения алгебраической независимости .
Определение
При заданном расширении поля L / K лемму Цорна можно использовать для того, чтобы показать , что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество L над K. Кроме того, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность , известную как степень трансцендентности расширения.
Для каждого конечного множества S элементов L алгебраически независимые подмножества S удовлетворяют аксиомам, определяющим независимые множества матроида . В этом матроиде ранг множества элементов — это степень его трансцендентности, а плоскость, порожденная множеством T элементов, — это пересечение L с полем K [ T ]. [1] Матроид, который может быть порожден таким образом, называется алгебраическим или алгебраически представимым . [2] Хорошая характеристика алгебраических матроидов неизвестна, [3] но известно, что некоторые матроиды неалгебраичны; наименьшим является матроид Вамоша . [4] [5]
Отношение к линейным матроидам
Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей над полем K , в которой элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а набор элементов независим, если соответствующий набор столбцов линейно независим . Каждый матроид с линейным представлением этого типа над полем F может быть также представлен как алгебраический матроид над F , [ 6] [7] выбрав неопределенность для каждой строки матрицы и используя матричные коэффициенты внутри каждого столбца, чтобы назначить каждому элементу матроида линейную комбинацию этих трансцендент. Для полей нулевой характеристики (таких как действительные числа) линейные и алгебраические матроиды совпадают, но для других полей могут существовать алгебраические матроиды, которые не являются линейными; [8] [9] действительно, непаппусов матроид алгебраичен над любым конечным полем, но не линейен и не алгебраичен над любым полем нулевой характеристики. [7] Однако, если матроид алгебраичен над полем F нулевой характеристики, то он линеен над F ( T ) для некоторого конечного множества трансцендент T над F [5] и над алгебраическим замыканием F . [7]
Свойства закрытия
Если матроид алгебраичен над простым расширением F ( t ), то он алгебраичен над F . Отсюда следует, что класс алгебраических матроидов замкнут относительно сжатия , [10] и что матроид, алгебраический над F , алгебраичен над простым полем F . [11]
Класс алгебраических матроидов замкнут относительно усечения и объединения матроидов. [12] Неизвестно, всегда ли двойственный алгебраическому матроиду матроид является алгебраическим [13] , и не существует исключенной второстепенной характеризации класса. [12]
Характерный набор
(Алгебраическое) характеристическое множество K ( M ) матроида M — это множество возможных характеристик полей, над которыми M алгебраически представимо. [7]
- Если 0 принадлежит K ( M ), то все достаточно большие простые числа принадлежат K ( M ). [7]
- Каждое простое число является уникальной характеристикой некоторого матроида. [7] [14]
- Если M алгебраичен над F, то любое сокращение M является алгебраическим над F , а следовательно, и любой минор M алгебраичен над F. [12]
Примечания
- ^ Оксли (1992) стр.216
- ^ Оксли (1992) стр.218
- ^ Оксли (1992) стр.215
- ^ Инглтон, AW; Мэйн, RA (1975). «Неалгебраические матроиды существуют». Бюллетень Лондонского математического общества . 7 (2): 144–146. doi :10.1112/blms/7.2.144. MR 0369110. Zbl 0315.05018..
- ^ ab Oxley (1992) стр.221
- ^ Оксли (1992) стр.220
- ^ abcdef Уайт (1987) стр.24
- ^ Инглтон, AW (1971). «Представление матроидов». Комбинаторная математика и ее приложения (Proc. Conf., Оксфорд, 1969) . Лондон: Academic Press. стр. 149–167. MR 0278974. Zbl 0222.05025.
- ^ Джоши, КД (1997), Прикладные дискретные структуры , New Age International, стр. 909, ISBN 9788122408263.
- ^ Оксли (1992) стр.222
- ^ Оксли (1992) стр.224
- ^ abc White (1987) стр.25
- ^ Оксли (1992) стр.223
- ^ Линдстрём, Бернт (1985). «Об алгебраическом характеристическом множестве для класса матроидов». Труды Американского математического общества . 95 (1): 147–151. doi :10.2307/2045591. JSTOR 2045591. Zbl 0572.05019.
Ссылки
- Оксли, Джеймс Г. (1992). Теория матроидов . Oxford Science Publications. Оксфорд: Oxford University Press . ISBN 0-19-853563-5. Збл 0784.05002.
- Welsh, DJA (2010) [1976]. Теория матроидов . Courier Dover Publications. ISBN 9780486474397.
- Уайт, Нил, ред. (1987), Комбинаторные геометрии , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 29, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-33339-3, ЗБЛ 0626.00007
