гипотеза abc

*азбука*предположение
Поле	Теория чисел
Предположительно	Джозеф Остерле; Дэвид Массер;
Предположительно в	1985
Эквивалентно	Модифицированная гипотеза Шпиро
Последствия	гипотеза Била; Проблема Эрдёша–Улама; Теорема Фалтингса; Великая теорема Ферма; Гипотеза Ферма–Каталана; Теорема Рота; Теорема Тейдемана;

Произведение различных простых множителей a, b, c, где c равно a+b, редко бывает намного меньше c

Гипотеза abc (также известная как гипотеза Эстерле–Массера ) — гипотеза в теории чисел , возникшая в результате дискуссии Джозефа Эстерле и Дэвида Массера в 1985 году. ^[1]^[2] Она сформулирована в терминах трех положительных целых чисел и (отсюда и название), которые являются взаимно простыми и удовлетворяют . Гипотеза по сути утверждает, что произведение различных простых множителей обычно не намного меньше . Ряд известных гипотез и теорем в теории чисел немедленно вытекают из гипотезы abc или ее версий. Математик Дориан Голдфельд описал гипотезу abc как «самую важную нерешенную проблему в диофантовом анализе ». ^[3] $а,б$ $с$ $а+b=c$ $abc$ $с$

Гипотеза abc возникла как результат попыток Эстерле и Массера понять гипотезу Шпиро об эллиптических кривых , ^[4] которая включает в себя больше геометрических структур в своем утверждении, чем гипотеза abc . Было показано, что гипотеза abc эквивалентна модифицированной гипотезе Шпиро. ^[1]

Были предприняты различные попытки доказать гипотезу abc , но ни одна из них не получила широкого признания. Шиничи Мочизуки заявил, что у него есть доказательство в 2012 году, но гипотеза до сих пор считается недоказанной основным математическим сообществом. ^[5]^[6]^[7]

Формулировки

Прежде чем сформулировать гипотезу, необходимо ввести понятие радикала целого числа : для положительного целого числа радикал числа , обозначаемый , является произведением различных простых множителей числа . Например, $n$ $n$ ${\text{рад}}(н)$ $n$

${\text{rad}}(16)={\text{rad}}(2^{4})={\text{rad}}(2)=2$

${\text{рад}}(17)=17$

${\text{рад}}(18)={\text{рад}}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6$

${\text{рад}}(1000000)={\text{рад}}(2^{6}\cdot 5^{6})=2\cdot 5=10$

Если a , b , и c являются взаимно простыми ^{[примечания 1]} положительными целыми числами, такими что a + b = c , то оказывается, что "обычно" . Гипотеза abc имеет дело с исключениями. В частности, она утверждает, что: $c<{\text{rad}}(abc)$

Для каждого положительного действительного числа ε существует лишь конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел, причем a + b = c , таких, что ^[8]

c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.

Эквивалентная формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε существует константа K _ε такая, что для всех троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел, где a + b = c : ^[8]

c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.

Эквивалентно (используя обозначение с маленькой буквой «о» ):

Для всех троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел, где a + b = c , rad( abc ) не меньше c ^{1- o (1)} .

Четвертая эквивалентная формулировка гипотезы включает качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ), которое определяется как

q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}{\textrm {rad}}(abc){\big )}}}.

Например:

q (4, 127, 131) = log(131) / log(рад(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0,46820...

q (3, 125, 128) = log(128) / log(рад(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1,426565...

Типичная тройка ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c будет иметь c < rad( abc ), т.е. q ( a , b , c ) < 1. Тройки с q > 1, такие как во втором примере, довольно особенные, они состоят из чисел, делящихся на высокие степени малых простых чисел . Четвертая формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε существует лишь конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел, где a + b = c, таких, что q ( a , b , c ) > 1 + ε .

В то время как известно, что существует бесконечно много троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c, таких что q ( a , b , c ) > 1, гипотеза предсказывает, что только конечное число из них имеет q > 1,01 или q > 1,001 или даже q > 1,0001 и т. д. В частности, если гипотеза верна, то должна существовать тройка ( a , b , c ), которая достигает максимально возможного качества q ( a , b , c ).

Примеры троек с малым радикалом

Условие ε > 0 необходимо, так как существует бесконечно много троек a , b , c с c > rad( abc ). Например, пусть

a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.

Целое число b делится на 9:

b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).

Используя этот факт, производится следующий расчет:

{\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&={\tfrac {2}{3}}b\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}

Заменяя показатель 6 n другими показателями, заставляющими b иметь большие квадратные множители, отношение между радикалом и c можно сделать сколь угодно малым. В частности, пусть p > 2 будет простым числом и рассмотрим

a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.

Теперь можно с полным основанием утверждать, что b делится на p ² :

{\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}

Последний шаг использует тот факт, что p ² делит 2 ^{p ( p −1)} − 1. Это следует из малой теоремы Ферма , которая показывает, что при p > 2, 2 ^{p −1} = pk + 1 для некоторого целого числа k . Возведение обеих сторон в степень p затем показывает, что 2 ^{p ( p −1)} = p ² (...) + 1.

И теперь, при аналогичном расчете, как указано выше, получаем следующие результаты:

\operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.

Список троек наивысшего качества (троек с особенно малым радикалом относительно c ) приведен ниже; наивысшее качество, 1,6299, было найдено Эриком Рейссатом (Ландо и Звонкин 2004, стр. 137) для

а = 2,

б = 3 ¹⁰ · 109 =6 436 341 ,

с = 23 ⁵ =6 436 343 ,

рад( абв ) =15 042 .

Некоторые последствия

Гипотеза abc имеет большое количество следствий. Они включают как известные результаты (некоторые из которых были доказаны отдельно только после того, как была высказана гипотеза), так и гипотезы, для которых она дает условное доказательство . Следствия включают:

Теорема Рота о диофантовых приближениях алгебраических чисел . ^[9]^[8]
Гипотеза Морделла (уже доказанная в общем Гердом Фалтингсом ). ^[10]
Как эквивалент, гипотеза Войты в размерности 1. ^[11]
Гипотеза Эрдёша –Вудса, допускающая конечное число контрпримеров. ^[12]
Существование бесконечного множества не- Вифериховых простых чисел в каждом основании b > 1. ^[13]
Слабая форма гипотезы Маршалла Холла о разделении квадратов и кубов целых чисел. ^[14]
Последняя теорема Ферма имеет известное трудное доказательство Эндрю Уайлса . Однако оно легко следует, по крайней мере для , из эффективной формы слабой версии гипотезы abc . Гипотеза abc утверждает, что предельный предел множества всех качеств (определенных выше) равен 1, что подразумевает гораздо более слабое утверждение о том, что существует конечная верхняя граница для качеств. Гипотеза о том, что 2 является такой верхней границей, достаточна для очень короткого доказательства Великой теоремы Ферма для . ^[15] $n\geq 6$ $n\geq 6$
Гипотеза Ферма –Каталана , обобщение Великой теоремы Ферма относительно степеней, являющихся суммами степеней. ^[16]
L -функция L ( s , χd ) , образованная с помощью символа Лежандра , не имеет нуля Зигеля , если _{принять} равномерную версию гипотезы abc в числовых полях , а не только гипотезу abc , сформулированную выше для рациональных целых чисел. ^[17]
Многочлен P ( x ) имеет только конечное число совершенных степеней для всех целых чисел x, если P имеет по крайней мере три простых нуля . ^[18]
Обобщение теоремы Тейдемана относительно числа решений уравнения y ^m = x ⁿ + k (теорема Тейдемана отвечает на случай k = 1) и гипотезы Пиллаи (1931) относительно числа решений уравнения Ay ^m = Bx ⁿ + k .
Эквивалентом является гипотеза Гранвиля–Ланжевена о том, что если f — бесквадратная бинарная форма степени n > 2, то для каждого действительного β > 2 существует константа C ( f , β ) такая, что для всех взаимно простых целых чисел x , y радикал f ( x , y ) превышает C · max{| x |, | y |} ^{n − β} . ^[19]
все многочлены (x^n-1)/(x-1) имеют бесконечное множество значений, свободных от квадратов. ^[20]
Как эквивалент, модифицированная гипотеза Шпиро , которая дала бы оценку rad( abc ) ^{1.2+ ε} . ^[1]
Домбровски (1996) показал, что гипотеза abc подразумевает, что диофантово уравнение n ! + A = k ² имеет лишь конечное число решений для любого заданного целого числа A.
Существует ~ c _f N положительных целых чисел n ≤ N, для которых f ( n )/B' является свободным от квадратов, причем c _f > 0 — положительная константа, определяемая как: ^[21]
$c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).$
Гипотеза Била , обобщение Великой теоремы Ферма, предполагающее, что если A , B , C , x , y и z — положительные целые числа с A ^x + B ^y = C ^z и x , y , z > 2, то A , B и C имеют общий простой множитель. Гипотеза abc подразумевала бы, что существует лишь конечное число контрпримеров.
Гипотеза Лэнга , нижняя граница высоты некрученой рациональной точки эллиптической кривой.
Отрицательное решение проблемы Эрдёша–Улама на плотных множествах евклидовых точек с рациональными расстояниями. ^[22]
Эффективная версия теоремы Зигеля о целых точках на алгебраических кривых . ^[23]

Теоретические результаты

Гипотеза abc подразумевает, что c может быть ограничена сверху почти линейной функцией радикала abc . Известны оценки, которые являются экспоненциальными . В частности, были доказаны следующие оценки:

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

(Стюарт и Тейдеман, 1986),

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

(Стюарт и Ю, 1991) и

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

(Стюарт и Ю, 2001).

В этих границах K ₁ и K ₃ являются константами , не зависящими от a , b или c , а K ₂ является константой, зависящей от ε ( эффективно вычислимым образом), но не от a , b или c . Границы применимы к любой тройке, для которой c > 2.

Существуют также теоретические результаты, которые дают нижнюю границу для наилучшей возможной формы гипотезы abc . В частности, Стюарт и Тиджеман (1986) показали, что существует бесконечно много троек ( a , b , c ) взаимно простых целых чисел с a + b = c и

c>\operatorname {rad} (abc)\exp {\left(k{\sqrt {\log c}}/\log \log c\right)}

для всех k < 4. Константа k была улучшена до k = 6,068 Ван Франкенхейзеном (2000).

Результаты вычислений

В 2006 году математический факультет Лейденского университета в Нидерландах совместно с голландским научным институтом Kennislink запустил проект ABC@Home , систему сетевых вычислений , целью которой является обнаружение дополнительных троек a , b , c с rad( abc ) < c . Хотя никакой конечный набор примеров или контрпримеров не может разрешить гипотезу abc , есть надежда, что закономерности в тройках, обнаруженные в ходе этого проекта, приведут к пониманию гипотезы и теории чисел в целом.

Распределение троек с q > 1 ^[24]
д с	д > 1	д > 1,05	д > 1,1	д > 1,2	д > 1,3	д > 1,4
с < 10 ²	6	4	4	2	0	0
с < 10 ³	31	17	14	8	3	1
с < 10 ⁴	120	74	50	22	8	3
с < 10 ⁵	418	240	152	51	13	6
с < 10 ⁶	1,268	667	379	102	29	11
с < 10 ⁷	3,499	1,669	856	210	60	17
с < 10 ⁸	8,987	3,869	1,801	384	98	25
с < 10 ⁹	22,316	8,742	3,693	706	144	34
с < 10 ¹⁰	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
с < 10 ¹¹	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
с < 10 ¹²	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
с < 10 ¹³	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
с < 10 ¹⁴	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
с < 10 ¹⁵	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
с < 10 ¹⁶	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
с < 10 ¹⁷	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
с < 10 ¹⁸	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

По состоянию на май 2014 года ABC@Home обнаружила 23,8 миллиона троек. ^[25]

Триплеты высочайшего качества^[26]
Классифицировать	д	а	б	с	Обнаружено
1	1.6299	2	3 ¹⁰ ·109	23 ⁵	Эрик Рейссат
2	1.6260	11 ²	3 ² ·5 ⁶ ·7 ³	2 ²¹ ·23	Бенне де Вегер
3	1.6235	19·1307	7·29 ² ·31 ⁸	2 ⁸ ·3 ²² ·5 ⁴	Ежи Броукин, Юлиуш Бжезинский
4	1.5808	283	5 ¹¹ ·13 ²	2 ⁸ ·3 ⁸ ·17 ³	Ежи Броукин, Юлиуш Бжезинский, Абдеррахман Нитай
5	1.5679	1	2·3 ⁷	5 ⁴ ·7	Бенне де Вегер

Примечание: качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ) определено выше.

Уточненные формы, обобщения и связанные с ними утверждения

Гипотеза abc является целочисленным аналогом теоремы Мейсона–Стозерса для многочленов.

Усиление, предложенное Бейкером (1998), утверждает, что в гипотезе abc можно заменить rad( abc ) на

ε ^{− ω} рад( abc ),

где ω — общее количество различных простых чисел, делящих a , b и c . ^[27]

Эндрю Грэнвилл заметил, что минимум функции над достигается, когда ${\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.$

Это вдохновило Бейкера (2004) предложить более точную форму гипотезы abc , а именно:

c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega !}}

с κ — абсолютной константой. После некоторых вычислительных экспериментов он обнаружил, что значение было допустимым для κ . Эта версия называется «явной гипотезой abc ». $6/5$

Бейкер (1998) также описывает родственные гипотезы Эндрю Грэнвилла , которые дали бы верхние границы для c в форме

K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),

где Ω( n ) — общее количество простых множителей числа n , а

O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},

где Θ( n ) — количество целых чисел до n, делящихся только на простые числа, делящие n .

Роберт, Стюарт и Тененбаум (2014) предложили более точное неравенство, основанное на Роберте и Тененбаум (2013). Пусть k = rad( abc ). Они предположили, что существует константа C ₁ такая, что

c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)

выполняется, тогда как существует константа C ₂ такая, что

c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)

выполняется бесконечно часто.

Браукин и Бжезинский (1994) сформулировали гипотезу n — версию гипотезы abc , включающую n > 2 целых чисел.

Заявленные доказательства

Люсьен Спиро предложил решение в 2007 году, но вскоре после этого оно было признано неверным. ^[28]

С августа 2012 года Шиничи Мочизуки заявил о доказательстве гипотезы Спиро и, следовательно, гипотезы abc . ^[5] Он выпустил серию из четырех препринтов, развивающих новую теорию, которую он назвал межуниверсальной теорией Тейхмюллера (IUTT), которая затем применяется для доказательства гипотезы abc . ^[29] Статьи не были широко приняты математическим сообществом как предоставляющие доказательство abc . ^[30] Это произошло не только из-за их длины и сложности их понимания, ^[31] но и потому, что по крайней мере один конкретный момент в аргументации был определен как пробел некоторыми другими экспертами. ^[32] Хотя несколько математиков поручились за правильность доказательства ^[33] и попытались донести свое понимание через семинары по IUTT, им не удалось убедить сообщество теории чисел в целом. ^[34]^[35]

В марте 2018 года Питер Шольце и Якоб Стикс посетили Киото для дискуссий с Мочизуки. ^[36]^[37] Хотя они не разрешили разногласия, они сделали их более ясными. Шольце и Стикс написали отчет, в котором утверждали и объясняли ошибку в логике доказательства и утверждали, что образовавшийся разрыв был «настолько серьезным, что ... небольшие изменения не спасут стратегию доказательства»; ^[32] Мочизуки утверждал, что они неправильно поняли важные аспекты теории и сделали недействительные упрощения. ^[38]^[39]^[40]

3 апреля 2020 года два математика из Киотского научно-исследовательского института , где работает Мочизуки, объявили, что его заявленное доказательство будет опубликовано в Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences , журнале института. Мочизуки является главным редактором журнала, но отказался от рецензирования статьи. ^[6] Это объявление было воспринято скептически Кираном Кедлайей и Эдвардом Френкелем , а также было описано журналом Nature как «маловероятное для многих исследователей, перешедших в лагерь Мочизуки». ^[6] В марте 2021 года доказательство Мочизуки было опубликовано в RIMS. ^[41]

Смотрите также

Список нерешенных задач по математике

Примечания

^ Когда a + b = c , любой общий множитель двух значений обязательно разделяется третьим. Таким образом, взаимная простота a , b , c подразумевает попарную взаимную простоту a , b , c . Поэтому в этом случае неважно, какое понятие мы используем .

Ссылки

^ abc Oesterlé 1988.
^ Массер 1985.
^ Голдфельд 1996.
^ Фесенко, Иван (сентябрь 2015 г.). «Арифметическая теория деформаций через арифметические фундаментальные группы и неархимедовы тета-функции, заметки о работе Шиничи Мочизуки». European Journal of Mathematics . 1 (3): 405–440. doi : 10.1007/s40879-015-0066-0 .
^ ab Ball, Peter (10 сентября 2012 г.). «Доказательство глубокой связи между простыми числами». Nature . doi : 10.1038/nature.2012.11378 . Получено 19 марта 2018 г. .
^ abc Castelvecchi, Davide (9 апреля 2020 г.). «Математическое доказательство, которое потрясло теорию чисел, будет опубликовано». Nature . 580 (7802): 177. Bibcode :2020Natur.580..177C. doi :10.1038/d41586-020-00998-2. PMID 32246118. S2CID 214786566.
↑ Дополнительный комментарий П. Шольце на сайте Not Even Wrong math.columbia.edu ^{[ самостоятельно опубликованный источник? ]}
^ abc Вальдшмидт 2015.
^ Бомбьери (1994), стр. ^{[ нужна страница ]} .
^ Элки (1991).
^ Ван Франкенхейсен (2002).
^ Ланжевен (1993).
^ Сильверман (1988).
^ Нитадж (1996).
^ Грэнвилл, Эндрю; Такер, Томас (2002). «Это так просто, как abc» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (10): 1224–1231.
^ Померанс (2008).
^ Грэнвилл и Старк (2000).
^ Гипотеза ABC, Фриц Бойкерс, ABC-DAY, Лейден, Утрехтский университет, 9 сентября 2005 г.
^ Моллин (2009); Моллин (2010, стр. 297)
^ Браукин (2000, стр. 10)
^ Грэнвилл (1998).
^ Пастен, Гектор (2017), «Определимость орбит Фробениуса и результат на рациональных множествах расстояний», Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi : 10.1007/s00605-016-0973-2, MR 3592123, S2CID 7805117
^ arXiv :math/0408168 Андреа Суррока, Теорема Зигеля и гипотеза abc, Riv. Mat. Univ. Parma (7) 3, 2004, S. 323–332
^ "Synthese resultaten", RekenMeeMetABC.nl (на голландском), заархивировано из оригинала 22 декабря 2008 г. , извлечено 3 октября 2012 г..
^ "Данные, собранные sofar", ABC@Home , архивировано из оригинала 15 мая 2014 г. , извлечено 30 апреля 2014 г.
^ «100 непобедимых троек». Рекен Ми встретил ABC . 07.11.2010.
^ Бомбьери и Гублер (2006), с. 404.
^ "Теоремы конечности для динамических систем", Люсьен Спиро, доклад на конференции по L-функциям и автоморфным формам (по случаю 60-летия Дориана Голдфельда), Колумбийский университет, май 2007 г. См. Woit, Peter (26 мая 2007 г.), "Доказательство гипотезы abc?", Not Even Wrong.
^ Mochizuki, Shinichi (4 марта 2021 г.). «Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 57 (1): 627–723. doi :10.4171/PRIMS/57-1-4. S2CID 3135393.
^ Калегари, Фрэнк (17 декабря 2017 г.). «Гипотеза ABC (все еще) не доказана» . Получено 17 марта 2018 г.
^ Ревелл, Тимоти (7 сентября 2017 г.). «Озадачивающее доказательство математики ABC теперь имеет непостижимое 300-страничное «резюме». New Scientist .
^ ab Шольце, Питер ; Стикс, Якоб . «Почему abc все еще является гипотезой» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2020 г. Получено 23 сентября 2018 г.(обновленная версия их майского отчета, архив 2020-02-08 на Wayback Machine )
↑ Фесенко, Иван (28 сентября 2016 г.). «Фукуген». Вывод . 2 (3) . Проверено 30 октября 2021 г.
^ Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки о семинаре Oxford IUT Брайана Конрада» . Получено 18 марта 2018 г.
^ Кастельвекки, Давиде (8 октября 2015 г.). «Самая большая загадка в математике: Шиничи Мочизуки и непроницаемое доказательство». Nature . 526 (7572): 178–181. Bibcode :2015Natur.526..178C. doi : 10.1038/526178a . PMID 26450038.
^ Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Титаны математики сражаются за эпическое доказательство гипотезы ABC». Журнал Quanta .
^ "Обсуждения IUTeich за март 2018 г." . Получено 2 октября 2018 г.Веб-страница Мочизуки, описывающая обсуждения и дающая ссылки на последующие публикации и дополнительные материалы.
^ Мочизуки, Шиничи . «Отчет о дискуссиях, состоявшихся в период с 15 по 20 марта 2018 г. относительно межуниверсумной теории Тейхмюллера» (PDF) . Получено 1 февраля 2019 г. ... дискуссии ... представляют собой первые подробные, ... содержательные дискуссии, касающиеся отрицательных позиций ... IUTch.
^ Mochizuki, Shinichi (июль 2018 г.). «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . S2CID 174791744 . Получено 2 октября 2018 г. .
^ Мочизуки, Шиничи . «Комментарии к рукописи (версия 2018-08) Шольце-Стикса относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Получено 2 октября 2018 г.
^ Мочизуки, Шиничи . «Доказательство Мочизуки гипотезы ABC» . Получено 13 июля 2021 г.

Источники

Бейкер, Алан (1998). «Логарифмические формы и abc -гипотеза». В Дьёри, Кальман (ред.). Теория чисел. Диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты. Труды международной конференции, Эгер, Венгрия, 29 июля – 2 августа 1996 г. Берлин: de Gruyter. стр. 37–44. ISBN 3-11-015364-5. Збл 0973.11047.
Бейкер, Алан (2004). «Опыты по abc-гипотезе». Публикации Mathematicae Дебрецен . 65 (3–4): 253–260. дои : 10.5486/PMD.2004.3348 . S2CID 253834357.
Бомбьери, Энрико (1994). «Теорема Рота и abc-гипотеза» (Препринт). ETH Zürich.^{[ ненадежный источник? ]}
Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том 4. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3. Збл 1130.11034.
Browkin, Jerzy ; Brzeziński, Juliusz (1994). "Некоторые замечания по поводу abc -гипотезы". Math. Comp . 62 (206): 931–939. Bibcode :1994MaCom..62..931B. doi :10.2307/2153551. JSTOR 2153551.
Browkin, Jerzy (2000). " ABC -гипотеза". В Bambah, RP; Dumir, VC; Hans-Gill, RJ (ред.). Теория чисел . Тенденции в математике. Базель: Birkhäuser. стр. 75–106. ISBN 3-7643-6259-6.
Домбровский, Анджей (1996). «О диофантовом уравнении x !+ A = y2 ^» . Новый архив Вискунде, IV . 14 : 321–324. Збл 0876.11015.
Elkies, ND (1991). «ABC подразумевает Морделла». International Mathematics Research Notices . 1991 (7): 99–109. doi : 10.1155/S1073792891000144 .
Фрей, Герхард (1997). «О тернарных уравнениях типа Ферма и их связи с эллиптическими кривыми». Модулярные формы и Великая теорема Ферма . Нью-Йорк: Springer. С. 527–548. ISBN 0-387-94609-8.
Голдфельд, Дориан (1996). «За пределами последней теоремы». Math Horizons . 4 (сентябрь): 26–34. doi :10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR 25678079.
Goldfeld, Dorian (2002). «Modular forms, elliptic curves and the abc-conjecture». В Wüstholz, Gisbert (ed.). A panorama in number theory or The view from Baker's garden. Основано на конференции в честь 60-летия Алана Бейкера, Цюрих, Швейцария, 1999. Кембридж: Cambridge University Press . стр. 128–147. ISBN 0-521-80799-9. Збл 1046.11035.
Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ред. (2008). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton: Princeton University Press. стр. 361–362, 681. ISBN 978-0-691-11880-2.
Granville, A. (1998). «ABC позволяет нам подсчитывать квадратные элементы» (PDF) . Международные уведомления по математическим исследованиям . 1998 (19): 991–1009. doi : 10.1155/S1073792898000592 .
Грэнвилл, Эндрю ; Старк, Х. (2000). «ABC не подразумевает «нулей Зигеля» для L-функций символов с отрицательной экспонентой» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 139 (3): 509–523. Bibcode :2000InMat.139..509G. doi :10.1007/s002229900036. S2CID 6901166.
Грэнвилл, Эндрю ; Такер, Томас (2002). «Это так просто, как abc» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (10): 1224–1231. CiteSeerX 10.1.1.146.610 .
Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7.
Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004). "Графы на поверхностях и их приложения". Энциклопедия математических наук: топология нижней размерности II . Т. 141. Springer-Verlag. ISBN 3-540-00203-0.
Ланжевен, М. (1993). «Cas d'égalité pour le theorème de Mason etapplications de la abgrowth abc ». Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 317 (5): 441–444.
Masser, DW (1985). «Открытые проблемы». В Chen, WWL (ред.). Труды симпозиума по аналитической теории чисел . Лондон: Имперский колледж.
Mollin, RA (2009). "Заметка о гипотезе ABC" (PDF) . Far East Journal of Mathematical Sciences . 33 (3): 267–275. ISSN 0972-0871. Zbl 1241.11034. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2013-06-14 .
Mollin, Richard A. (2010). Расширенная теория чисел с приложениями . Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8328-6. Збл 1200.11002.
Нитадж, Абдеррахман (1996). «Гипотеза abc ». Энсен. Математика. (на французском языке). 42 (1–2): 3–24.
Остерле, Жозеф (1988), «Новые подходы к «теореме» Ферма», Asterisque , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN 0303-1179, MR 0992208
Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. С. 361–362.
Сильверман, Джозеф Х. (1988). «Критерий Вифериха и abc-гипотеза». Журнал теории чисел . 30 (2): 226–237. doi : 10.1016/0022-314X(88)90019-4 . Zbl 0654.10019.
Роберт, Оливье; Стюарт, Кэмерон Л.; Тененбаум , Джеральд (2014). «Уточнение гипотезы abc» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 46 (6): 1156–1166. doi :10.1112/blms/bdu069. S2CID 123460044.
Роберт, Оливье; Тененбаум, Жеральд (ноябрь 2013 г.). «Sur la répartition du noyau d'un entier» [О распределении ядра целого числа]. Indagationes Mathematicae (на французском языке). 24 (4): 802–914. дои : 10.1016/j.indag.2013.07.007 .
Стюарт, CL ; Тайдеман, Р. (1986). «О гипотезе Эстерле-Массера». Монашефте по математике . 102 (3): 251–257. дои : 10.1007/BF01294603. S2CID 123621917.
Стюарт, CL ; Ю, Кунруи (1991). «О гипотезе abc ». Математические Аннален . 291 (1): 225–230. дои : 10.1007/BF01445201. S2CID 123894587.
Стюарт, CL ; Ю, Кунруй (2001). «О гипотезе abc , II». Duke Mathematical Journal . 108 (1): 169–181. doi :10.1215/S0012-7094-01-10815-6.
van Frankenhuysen, Machiel (2000). «Нижняя граница в гипотезе abc». J. Number Theory . 82 (1): 91–95. doi : 10.1006/jnth.1999.2484 . MR 1755155.
Van Frankenhuijsen, Machiel (2002). «ABC-гипотеза подразумевает неравенство высоты Войты для кривых». J. Number Theory . 95 (2): 289–302. doi : 10.1006/jnth.2001.2769 . MR 1924103.
Вальдшмидт, Мишель (2015). «Лекция о гипотезе abc и некоторых ее следствиях» (PDF) . Математика в 21 веке . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Том 98. С. 211–230. doi :10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.

Внешние ссылки

ABC@home Проект распределенных вычислений под названием ABC@Home .
Просто как дважды два: просто и понятно, подробные объяснения Брайана Хейса.
Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза abc". MathWorld .
Домашняя страница гипотезы ABC Абдеррахмана Нитажа
Веб-страница ABC Triples Барта де Смита
http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
Азбука теории чисел Ноама Д. Элкиса
Вопросы о цифрах Барри Мазура
Философия работы Мочизуки над гипотезой ABC на MathOverflow
Вики-страница проекта ABC Conjecture Polymath, ссылающаяся на различные источники комментариев к работам Мотидзуки.
abc Гипотеза Номерфил видео
Новости о IUT от Mochizuki

[8] Когда a + b = c , любой общий множитель двух значений обязательно разделяется третьим. Таким образом, взаимная простота a , b , c подразумевает попарную взаимную простоту a , b , c . Поэтому в этом случае неважно, какое понятие мы используем .

[FOOTNOTEOesterlé1988-1] Oesterlé 1988.

[FOOTNOTEMasser1985-2] Массер 1985.

[FOOTNOTEGoldfeld1996-3] Голдфельд 1996.

[4] Фесенко, Иван (сентябрь 2015 г.). «Арифметическая теория деформаций через арифметические фундаментальные группы и неархимедовы тета-функции, заметки о работе Шиничи Мочизуки». European Journal of Mathematics . 1 (3): 405–440. doi : 10.1007/s40879-015-0066-0 .

[Ball-5] Ball, Peter (10 сентября 2012 г.). «Доказательство глубокой связи между простыми числами». Nature . doi : 10.1038/nature.2012.11378 . Получено 19 марта 2018 г. .

[nature-2020-6] Castelvecchi, Davide (9 апреля 2020 г.). «Математическое доказательство, которое потрясло теорию чисел, будет опубликовано». Nature . 580 (7802): 177. Bibcode :2020Natur.580..177C. doi :10.1038/d41586-020-00998-2. PMID 32246118. S2CID 214786566.

[7] Дополнительный комментарий П. Шольце на сайте Not Even Wrong math.columbia.edu ^{[ самостоятельно опубликованный источник? ]}

[FOOTNOTEWaldschmidt2015-9] Вальдшмидт 2015.

[FOOTNOTEBombieri1994[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_January_2022]]<sup_class="noprint_Inline-Template_"_style="white-space:nowrap;">&#91;<i>[[Wikipedia:Citing_sources|<span_title="This_citation_requires_a_reference_to_the_specific_page_or_range_of_pages_in_which_the_material_appears.&#32;(January_2022)">page&nbsp;needed</span>]]</i>&#93;</sup>-10] Бомбьери (1994), стр. ^{[ нужна страница ]} .

[FOOTNOTEElkies1991-11] Элки (1991).

[FOOTNOTEVan_Frankenhuijsen2002-12] Ван Франкенхейсен (2002).

[FOOTNOTELangevin1993-13] Ланжевен (1993).

[FOOTNOTESilverman1988-14] Сильверман (1988).

[FOOTNOTENitaj1996-15] Нитадж (1996).

[16] Грэнвилл, Эндрю; Такер, Томас (2002). «Это так просто, как abc» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (10): 1224–1231.

[FOOTNOTEPomerance2008-17] Померанс (2008).

[FOOTNOTEGranvilleStark2000-18] Грэнвилл и Старк (2000).

[Ref_a-19] Гипотеза ABC, Фриц Бойкерс, ABC-DAY, Лейден, Утрехтский университет, 9 сентября 2005 г.

[20] Моллин (2009); Моллин (2010, стр. 297)

[21] Браукин (2000, стр. 10)

[FOOTNOTEGranville1998-22] Грэнвилл (1998).

[23] Пастен, Гектор (2017), «Определимость орбит Фробениуса и результат на рациональных множествах расстояний», Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi : 10.1007/s00605-016-0973-2, MR 3592123, S2CID 7805117

[24] rXiv :math/0408168 Андреа Суррока, Теорема Зигеля и гипотеза abc, Riv. Mat. Univ. Parma (7) 3, 2004, S. 323–332

[Ref_d-25] "Synthese resultaten", RekenMeeMetABC.nl (на голландском), заархивировано из оригинала 22 декабря 2008 г. , извлечено 3 октября 2012 г..

[Ref_c-26] "Данные, собранные sofar", ABC@Home , архивировано из оригинала 15 мая 2014 г. , извлечено 30 апреля 2014 г.

[27] «100 непобедимых троек». Рекен Ми встретил ABC . 07.11.2010.

[FOOTNOTEBombieriGubler2006404-28] Бомбьери и Гублер (2006), с. 404.

[29] "Теоремы конечности для динамических систем", Люсьен Спиро, доклад на конференции по L-функциям и автоморфным формам (по случаю 60-летия Дориана Голдфельда), Колумбийский университет, май 2007 г. См. Woit, Peter (26 мая 2007 г.), "Доказательство гипотезы abc?", Not Even Wrong.

[Mochizukiweb-30] Mochizuki, Shinichi (4 марта 2021 г.). «Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 57 (1): 627–723. doi :10.4171/PRIMS/57-1-4. S2CID 3135393.

[31] Калегари, Фрэнк (17 декабря 2017 г.). «Гипотеза ABC (все еще) не доказана» . Получено 17 марта 2018 г.

[32] Ревелл, Тимоти (7 сентября 2017 г.). «Озадачивающее доказательство математики ABC теперь имеет непостижимое 300-страничное «резюме». New Scientist .

[stillConj-33] Шольце, Питер ; Стикс, Якоб . «Почему abc все еще является гипотезой» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2020 г. Получено 23 сентября 2018 г.(обновленная версия их майского отчета, архив 2020-02-08 на Wayback Machine )

[34] Фесенко, Иван (28 сентября 2016 г.). «Фукуген». Вывод . 2 (3) . Проверено 30 октября 2021 г.

[35] Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки о семинаре Oxford IUT Брайана Конрада» . Получено 18 марта 2018 г.

[36] Кастельвекки, Давиде (8 октября 2015 г.). «Самая большая загадка в математике: Шиничи Мочизуки и непроницаемое доказательство». Nature . 526 (7572): 178–181. Bibcode :2015Natur.526..178C. doi : 10.1038/526178a . PMID 26450038.

[37] Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Титаны математики сражаются за эпическое доказательство гипотезы ABC». Журнал Quanta .

[38] "Обсуждения IUTeich за март 2018 г." . Получено 2 октября 2018 г.Веб-страница Мочизуки, описывающая обсуждения и дающая ссылки на последующие публикации и дополнительные материалы.

[39] Мочизуки, Шиничи . «Отчет о дискуссиях, состоявшихся в период с 15 по 20 марта 2018 г. относительно межуниверсумной теории Тейхмюллера» (PDF) . Получено 1 февраля 2019 г. ... дискуссии ... представляют собой первые подробные, ... содержательные дискуссии, касающиеся отрицательных позиций ... IUTch.

[40] Mochizuki, Shinichi (июль 2018 г.). «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . S2CID 174791744 . Получено 2 октября 2018 г. .

[41] Мочизуки, Шиничи . «Комментарии к рукописи (версия 2018-08) Шольце-Стикса относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Получено 2 октября 2018 г.

[42] Мочизуки, Шиничи . «Доказательство Мочизуки гипотезы ABC» . Получено 13 июля 2021 г.