Радикал целого числа

В теории чисел радикал положительного целого числа n определяется как произведение различных простых чисел, делящих n . Каждый простой множитель n встречается ровно один раз как множитель этого произведения:

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

Радикал играет центральную роль в утверждении abc-гипотезы . ^[1]

Радикальные числа для первых нескольких положительных целых чисел:

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (последовательность A007947 в OEIS ).

Например,$${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

и поэтому$${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

Функция является мультипликативной (но не полностью мультипликативной ).${\displaystyle \mathrm {рад} }$

Радикал любого целого числа является наибольшим бесквадратным делителем и поэтому также описывается как бесквадратное ядро ​​числа . ^[2] Не существует известного алгоритма полиномиального времени для вычисления бесквадратной части целого числа. ^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Определение обобщено до наибольшего -свободного делителя , , которые являются мультипликативными функциями, действующими на степенях простых чисел как${\displaystyle т}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {рад} _{т}}$

$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

Случаи сведены в таблицы в OEIS : A007948 и OEIS : A058035 .${\displaystyle т=3}$${\displaystyle т=4}$

Понятие радикала встречается в abc-гипотезе , которая утверждает, что для любого существует конечное такое, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел , и удовлетворяющих , ^[1]${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle с}$${\displaystyle а+b=c}$

$${\displaystyle c<K_{\varepsilon}\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon}}$$

Для любого целого числа нильпотентными элементами конечного кольца являются все элементы , кратные .${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} / n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {рад} (н)}$

Ряд Дирихле — это

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$